微专题03 二次函数的图像问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

微专题03：二次函数的图像问题 一、单选题 1．（2023·广东肇庆·三模）在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　）    A．4 B． C．5 D． 3．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·江苏扬州·三模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B．C．D． 9．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·广东汕头·一模）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在抛物线上，则，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024·广东肇庆·二模）如图， 已知抛物线 经过等边的三个顶点O， A， B， 点A在x轴上，点B 是抛物线的顶点，则（     ） A． B． C． D． 12．（2024·四川达州·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 15．（2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 16．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 17．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ． 18．（2024·广东肇庆·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为 ． ① ②对任意实数，满足 ③ ④多项式可因式分解为    19．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时， ． 20．（2023·广东清远·一模）如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有 ． 21．（2024·广东惠州·一模）二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有    22．（2023·广东江门·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①；②图象与x轴的另一个交点为；③当时，y随x的增大而增大，④．    正确结论的序号是 ． 23．（2023·广东江门·二模）如图，二次函数的图象的顶点坐标为，则以下五个结论中：①，②，③，④，⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有： （写序号）．    24．（2023·广东广州·二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①； ②； ③； ④． 25．（2023·广东东莞·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④其中正确的是 ．(填序号) 26．（2023·广东佛山·一模）如图，二次函数（）图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①；②图象与轴的另一个交点为；③当时，随的增大而增大，正确结论的序号是 ． 27．（2022·广东湛江·一模）如图，二次函数的图象，在下列说法中：① ；② ；③ 当时，y随x的增大而增大； ④ 方程的两根为，．正确的说法有 ．（请写出所有正确的说法序号）    28．（2022·广东河源·二模）如图，函数（a，b，c为常数，且）经过点、，且，下列结论：①；②﹔③若点，在抛物线上，则；④，必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有 ．（填序号） 29．（2022·广东珠海·二模）已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是 ． ①当时，点在抛物线上； ②对于任意的实数m，都是方程的一个根； ③若，当时，y随x的增大而增大； ④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点． 30．（2022·广东韶关·一模）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−2．抛物线与x轴的一个交点在点(−4，0)和点(−3，0)之间，其部分图象如图所示，（1）4a−b=0；（2）c<3a；（3）a+b+c>0；（4）b2+2b>4ac．所述4个结论中正确的是 ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03：二次函数的图像问题 一、单选题 1．（2023·广东肇庆·三模）在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图像，解题的关键是根据题目中的函数解析式和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故选：B． 2．（2023·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　）    A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解． 【详解】解：把点代入中得， 解得， ∴， ∵点，四边形为正方形， ∴， 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式． 3．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 4．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据二次函数的对称性可判断①，根据该抛物线与x轴的另一个交点在点和，并结合图像可知，当时，，可判断②，根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线有唯一一个交点，进而可得方程有两个相等的实数根，由可判断③，由抛物线顶点坐标得到，即可得到直线与抛物线没交点，即一元二次方程没实数根，进而可得判断④． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 该抛物线与x轴的另一个交点在点和，故①不符合题意； 该抛物线与x轴的另一个交点在点和， 当时，，故②符合题意； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， ，故③符合题意； 抛物线的开口向下，顶点坐标为， ， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论是②③， 故选：． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 7．（2024·江苏扬州·三模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；，，判断，由此即可判断②；求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ，， 对称轴为直线 ，， 故①正确； ，， ， 故 故②错误； 二次函数的图象与轴的一个交点坐标为； 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为； 时，； 将代入中，则 故③正确； 由函数图象可知，当当时，，故④正确； 故正确的个数为：个 故选：C 8．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可． 【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，，，， ∴， 设， 当点在线段上， ，， ∴的面积：， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分； 当点在线段上， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积：， 此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分； 当点在线段上， 则， ∴， ∴的面积： ， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 9．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系． 根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④． 【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵其对称轴为直线 ∴，则， 由图可知，当时，函数值大于0， ∴，故②正确，符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，， ∴ ；故③不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，交y轴于点， ∴抛物线经过， ∴当或时，， 即当或时，，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④，共3个， 故选：C． 10．（2024·广东汕头·一模）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在抛物线上，则，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数图象的性质，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，得到，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①②；根据函数图象可得抛物线与直线有两个不相同的交点，据此可判断③；点关于抛物线对称轴对称，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，故①②正确； ∵抛物线的顶点的纵坐标大于3， ∴抛物线与直线有两个不相同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； ∵点在抛物线上，对称轴是直线 ∴关于抛物线对称轴对称， ∴，故④正确； 故选：D． 11．（2024·广东肇庆·二模）如图， 已知抛物线 经过等边的三个顶点O， A， B， 点A在x轴上，点B 是抛物线的顶点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，数形结合和熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.先求出点A的坐标是，则，过点B作于点H，根据等边三角形的性质和解直角三角形可以得到点B的坐标是，把点B的坐标代入函数解析式即可求出答案. 【详解】解：令, 解得或， ∴点A的坐标是， ∴， 过点B作于点H， ∵是等边三角形， ∴垂直平分， ∴，， ∴点B的坐标是， ∵点B在 抛物线 上， ∴ ∴， 由图象得，， ∴ 解得， 故选：D 12．（2024·四川达州·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象得，，，即得，即可判断；根据对称轴及图象过点，得，，即可判断；由点是图象上任意两点，且，得点离对称轴近，点离对称轴远，再结合，即可判断；求出抛物线与轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵点是图象上任意两点，且， ∴点离对称轴近，点离对称轴远， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线为轴的另一个交点为， ∵， ∴方程的所有整数根为， ∴所有整数根的绝对值的和为，故错误； ∴正确的结论有，共个， 故选：． 13．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可 【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误； 抛物线对称轴在y轴右边或左边，故无法确定，故B错误； 抛物线一定经过第一、二、四象限，故抛物线与x轴有2个交点， 故，故C正确、D错误； 故选：C． 14．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 15．（2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 关于直线对称的点为， 又， ，故②正确， 方程的解可看作抛物线向上平移一个单位， 由图象可知抛物线与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， 关于直线对称的点为， 的取值范围为，故④正确． 故正确的有①②④； 故选：C． 二、填空题 16．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵由抛物线的开口向下， ， ∵对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ， ∴①正确； ②如图，当时，， ∴②正确； ③对称轴为，即， ， ，即， ∴③错误； ④当时，， 又， ，即． ∴④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 17．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 抛物线有两个交点，，①正确；抛物线开口、对称轴和y轴的交点可以判断出，，，②正确；③利用对称轴，即，替换掉，把代入函数，可得；③正确；④把代入后得到，其对应的值小于0，故④正确；把代入后相乘可得到，所以⑤错误． 【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此，故①正确； 抛物线开口向上，因此， 对称轴为，a、b异号，因此， 抛物线与y轴交在负半轴，因此，所以，故②正确； 由图象可知，当时，，又对称轴，即：，所以，故③正确； 当时，，因此④正确； 当时，，当时，， 所以，即，也就是，故⑤错误， 综上所述，正确结论有：①②③④． 故答案为：①②③④． 18．（2024·广东肇庆·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为 ． ① ②对任意实数，满足 ③ ④多项式可因式分解为    【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；把解析式化成交点式即可判断③；根据函数的最值即可判断④． 【详解】解：抛物线的开口方向下， ； 对称轴为直线， ， 即， 故结论①正确； 当时， ∴，即 故结论③不正确； 抛物线过点，， ， 多项式可因式分解为 ， 故结论④不正确； 当时，， 当时， 有最大值：， 无论为何值时， 则有 故结论②正确， 故答案为：①②． 19．（2024·广东·二模）如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时， ． 【答案】 【分析】根据，两点可求出抛物线解析式，进而求得点C、点D的坐标，过点D作轴交有y轴于点M，过点D作轴交有x轴于点N，证得，进而计算即可． 【详解】解：过点D作轴交y轴于点M，过点D作轴交x轴于点N，如图 ∵抛物线过，两点 ∴ 解得 ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∵抛物线图象开口向下 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．（2023·广东清远·一模）如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线开口向上可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴的交点可得，进而判断①，根据抛物线的对称性可得当与时的函数值相等，进而可知时，函数值小于0，进而判断②，根据抛物线的对称性可得与时的函数值相等，进而根据在对称轴右侧时，随的增大而增大，即判断③，根据直线经过二次函数图象的顶点，可得，进而可得，即可判断④． 【详解】解：根据抛物线开口向上可得，对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点可得， ，故①正确； 对称轴是直线， 当与时的函数值相等， 即 又 故②正确； 对称轴是直线， 与时的函数值相等， 由 ∴在二次函数图象上， 对称轴右侧时，随的增大而增大， 又 ，故③不正确； 直线经过二次函数图象的顶点， 即时，两函数值相等 即 当时，方程，即 是方程的一个根，故④正确 故正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 21．（2024·广东惠州·一模）二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有    【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等可判断②正确；由图知时二次函数有最小值，可判断③错误：由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图象可判断④正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得， ，故①正确； ②由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等， 由图知时，， ∴时，， 即．故②正确； ③由图知时二次函数有最小值， ， ， 故③错误． ④由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时， ，故④正确． 综上所述：正确的是①②④． 故答案为：①②④． 22．（2023·广东江门·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①；②图象与x轴的另一个交点为；③当时，y随x的增大而增大，④．    正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的图象与性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴与轴的一个交点坐标为，故②正确； 由图象可知，当时，随的增大而增大，故③正确， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，，故④正确， 综上，正确结论的序号是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握抛物线的位置与系数间的关系是正确判断的关键． 23．（2023·广东江门·二模）如图，二次函数的图象的顶点坐标为，则以下五个结论中：①，②，③，④，⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有： （写序号）．    【答案】②④⑤ 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴以及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，即可得到答案． 【详解】解：①抛物线开口方向向下，则， 抛物线对称轴位于轴右侧，则异号，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； ②抛物线对称轴为直线， ，即，故②正确； ③由交点的位置可得：， ， ， ， ， ， ，故③错误； ④由图象可知，当时，， 此时点在第三象限， ， ， ，故④正确； ⑤方程有两个相等的实数根， ， ， 方程为， ， 方程为有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上所述，正确的为②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，是解题的关键． 24．（2023·广东广州·二模）已知二次函数满足：（1）； （2）；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】由可得图像过点，由、可得可判断①；图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在右侧，再代入解析式可判断②且图像对称轴一定在x轴的正半轴，即；再结合a，b异号可判定③；由可得，再代入可得，然后再根据不等式的性质给两边同除以即可解答． 【详解】解：∵ ∴图像过点 ∵，， ∴，故①正确； ∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2 ∴图像一定不过，且另一交点坐标在右侧， ∴，即②正确； ∴图像对称轴一定在x轴的正半轴， ∴， ∵a，b异号， ∴，故③此选项错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④选项正确． 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、不等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键． 25．（2023·广东东莞·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④其中正确的是 ．(填序号) 【答案】①②/②① 【分析】利用抛物线开口方向确定，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对①进行判断；根据二次函数的性质可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则根据抛物线与轴的交点问题可对③进行判断；然后利用可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，所以正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，所以正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 方程的解是，，所以错误； ， ，所以错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 26．（2023·广东佛山·一模）如图，二次函数（）图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①；②图象与轴的另一个交点为；③当时，随的增大而增大，正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据二次函数的图象与性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴与轴的一个交点坐标为，故②正确； 由图象可知，当时，随的增大而增大，故③正确， 综上，正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握抛物线的位置与系数间的关系是正确判断的关键． 27．（2022·广东湛江·一模）如图，二次函数的图象，在下列说法中：① ；② ；③ 当时，y随x的增大而增大； ④ 方程的两根为，．正确的说法有 ．（请写出所有正确的说法序号）    【答案】①③④ 【分析】根据图象开口向上可得，与y轴的交点在负半轴可得，可得，可判断①；当时，，可得，可判断②；③由于对称轴是，可判断③；由抛物线与x轴的交点的横坐标是和3，可判断④． 【详解】解：①图象开口向上， ， 与轴的交点在负半轴， ， ，故①符合题意； ②当时，， ，故②不符合题意； ③抛物线与x轴的交点的横坐标是和3， 由二次函数的对称性可得：对称轴是， 时，y随x的增大而增大，故③符合题意； ④抛物线与x轴的交点的横坐标是和3， 方程的两根为，，故④符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，掌握利用函数图象确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如，对应的y值． 28．（2022·广东河源·二模）如图，函数（a，b，c为常数，且）经过点、，且，下列结论：①；②﹔③若点，在抛物线上，则；④，必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的图像与系数关系，即可判断①对错；利用抛物线的对称性，通过对称点求出对称轴，即可判断②对错；利用点到对称轴的距离，即可判断③对错；观察抛物线与轴的交点，即可判断④对错． 【详解】解：解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ，①错误； 函数图像经过点、， 对称轴， ， ， ，②正确； 点，到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ，③错误 由图像可得：函数与x轴有两个交点， ，有两个不相等的实数根，④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 29．（2022·广东珠海·二模）已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是 ． ①当时，点在抛物线上； ②对于任意的实数m，都是方程的一个根； ③若，当时，y随x的增大而增大； ④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点． 【答案】② 【分析】①将点代入解析式中即可判断； ②解方程即可判断； ③根据函数解析判断开口方向，根据对称轴及开口方向即可判断； ④解方程，根据题意，利用的取值范围及即可判断． 【详解】解：抛物线（为常数）中， 当时，抛物线，若，则， 点不在抛物线上， 即①说法错误，不符合题意， 方程即， 或， 解得，， 对于任意实数，都是方程的一个根， 即②说法正确，符合题意， 抛物线（为常熟）中，，开口向上， 对称轴是直线，当时，随的增大而增大， 即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确， 即③说法错误，不符合题意， 抛物线（为常数）中， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为、， 当时，， “④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意， 综上所述，说法正确的是②， 故答案为：②． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的图象及性质，对称的性质，灵活运用二次函数的图象及性质是解题的关键． 30．（2022·广东韶关·一模）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−2．抛物线与x轴的一个交点在点(−4，0)和点(−3，0)之间，其部分图象如图所示，（1）4a−b=0；（2）c<3a；（3）a+b+c>0；（4）b2+2b>4ac．所述4个结论中正确的是 ． 【答案】①④/④① 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x=-1时y＞0可判断②，当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2， ∴4a-b=0，所以①正确； ∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间， ∴x=-1时，y＞0，且b=4a， 即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0， ∴c＞3a，所以②错误； 当x=1时，y=a+b+c<0，所以③错误； ∵抛物线的顶点坐标为（-2，3）， ∴=3， ∴b2+12a=4ac， ∵b=4a， ∴b2+3b=4ac， ∵a＜0， ∴b=4a＜0， ∴b2+2b＞4ac，所以④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向与系数的关系，对称轴公式，顶点坐标公式，抛物线与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系是正确判断的前提． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$