重难点02 二次函数综合压轴问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

重难点02： 二次函数综合压轴问题 题型01 利用二次函数解决线段周长问题 1．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 2．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)①当时，；②周长的最大值为9 【分析】本题考查了二次函数的线段周长综合，待定系数法求解析式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出直线的解析式为，再得出，结合，代入，进行计算即可作答． （2）①先设，则，所以因为所以，且，化简计算，得，故当时，；②当点在轴下方时，，同理得代入得，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， 将点分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）①设，则， 过点作轴的平行线，与直线交于点， 令， 解得或． ②当点在轴上方时，， 或（舍去） 当时，； ②由①得 ， 当点在轴下方时，， 点 当时，的周长最大，最大值为9． 3．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得：， 解得：， 抛物线表达式为 将点，分别代入得：， 解得： 直线的表达式为； （2）解：设点坐标为， 轴， 点与点的横坐标相同，即点坐标为， ， 轴， 点与点的纵坐标相同， ， ， 即点坐标为， ， ，开口向下， 的最大值为． 题型02 利用二次函数解决面积问题 4．（2024·广东中山·一模）如图，抛物线顶点坐标为，交y轴于点，交x轴于A，B两点，连接，． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线在轴下方上一点，若与面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)满足条件的点的坐标为，． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在于明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题． （1）设抛物线的解析式为，把代入求解即可； （2）先求得抛物线与x轴两个交点的坐标，利用三角形面积公式求得的面积，再利用，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得， ∴； （2）解：令， 则， 解得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∵点M在x轴下方， ∴， ∴， 解得，， ∴满足条件的点M的坐标为，． 5．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的面积最大． (3)存在，或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴ 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）存在．如图，设点，交于点E， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得， ∴或 6．（2023·广东茂名·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交直线于点N，连接，求四边形面积S的最大值，并求出此时点M的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)当时，的最大值，此时点 【分析】（1） 利用直线解析式求出点B，C的坐标，代入抛物线解析式即可； （2）先求出线段，设，求出，根据求出解析式，再利用函数的性质解答． 【详解】（1）解：由得， ∴，令，得， ∴， 由题意得：， 解得， ∴抛物线解析式为 ． （2）当时，， 解得， ∴， ∴， 如图，设 ， ∴， ∴ ∵， ∴当时，的最大值，此时点． 【点睛】此题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，图形面积问题，正确掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 题型03 利用二次函数解决角度问题 7．（2023·山东泰安·一模）抛物线与坐标轴分别交于，，三点．点是第一象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线解析式： (2)连接，若，求点的坐标； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据坐标得出，根据建立方程，解方程即可求解； （3）作点角平分线交抛物线于点，交轴于点，交对称轴于点，则点关于对称轴，等面积法得出，得出，直线的解析式为：，联立抛物线解析式得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，过点作轴于点， 设，则 ∴ 解得：或 ∵点是第一象限内抛物线上的一点． ∴ （3）解：如图所示，作点角平分线交抛物线于点，交轴于点，交对称轴于点， ∵ ∴对称轴为直线， ∵ ∴， ∴点关于对称轴， ∵ ∴，则 设到的距离为，则 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴， ∵关于对称， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，角度问题，轴对称的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 8．（2023·广东深圳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．                图1                                                备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可； （3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，过点作轴于点，过点作轴于点， ，， ， ， ，即，， ，， 又点在直线上， ， 解得或， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为； （3）解：存在点使得，如图， ①当点是抛物线上与点对称的点时，则有， 点关于对称轴的对称点坐标为， ； ②当时，则有， 直线的解析式， 直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得，（舍去）， ， 综上，存在点使得，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键． 9．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 题型04、利用二次函数解决特殊三角形问题 10．（2024·广东梅州·一模）如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或4时，为等腰三角形 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得：， 所以． （2）解：设直线，因为， ∴，解得：， 所以直线， ∴， ∴， 根据题意设有，，，过点作，垂足为点， ∴轴， ∴， ∴； ∴ ∴；； ∴；； 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①当时，有，解得：或5或0，而又，因此． ②当时，有，即，解得：或0，而又，因此． ③当时，有，解得：或0，而又，因此． 综上所述，当或或4时，为等腰三角形． 11．（2024·安徽合肥·一模）如图，抛物线过点和．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． ①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； ②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①最大值为，点P坐标为； ②点M的坐标为或或或 【分析】（1）将点和代入，得到方程组，解方程组即可． （2）①设点，求出直线表达式，则，再用a的代数式表达出，最后转化为二次函数求最值即可； ②设点M的坐标为，而点B、C坐标已知，用两点之间距离公式求出以及表示出、，分类三种情况讨论，由勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，，点C的坐标为； 当时，，解得或， ∵点A位于点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为． ①设点P的横坐标为，则点P的纵坐标为， 设直线的函数表达式为， 根据题意得，解得， 直线的函数表达式为，点Q的纵坐标为，， ，此抛物线的开口向下， ，当时，有最大值，此时点P的坐标为； ②存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形． 抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为． 分两种情况：i）以为直角边，如图，则或， 或，解得或， 点的坐标为，点的坐标为； ii）以为斜边，如图，则，，整理得，解得，点的坐标为，点的坐标为， 综上，点M的坐标为或或或．    【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求最值，勾股定理的运用，其中直角三角形的存在性问题和分类讨论的思想是函数综合题常考题型． 12．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． (4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当N的坐标为，MN有最大值 (3)或或 (4)存在，点E的坐标为或或或 【分析】（1）由求得,再分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可； （2）求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，配方即可； （3）根据平行四边形的性质，以为边，以为对角线，分类讨论即可； （4）设出E的坐标，分别表示出的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，MN有最大值； （3）①当以为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， ∴必过， ∴L必在抛物线上的顶点D处， ∵， ∴ ②当以为边时，， ∵K在对称轴上， ∴L的横坐标为3或， 代入抛物线得或，此时K都为， 综上，或或； （4）存在， 由，得抛物线顶点坐标为 ∵， ∴， 设，则，， ①为斜边，由得：， 解得：， ②为斜边，由得：， 解得：， ③为斜边，由得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程． 题型05、利用二次函数解决四边形问题 13．（2024·广东珠海·三模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能成为平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．平行四边形的性质以及一元二次方程的解法． （1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式； （2）由轴，，得到，则，设点的坐标为，那么点的坐标为，因此列方程，解方程得到，即可得到点坐标； （3）由，若，以点为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点在点上方，②当点在下方，分别求解即可得到点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 二次函数的解析式为； 设一次函数的解析式为， 把分别代入得，， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：轴， ， ， ， ，即， 设点的坐标为，那么点的坐标为， ，， 又直线与轴交于点， 当时， 点的坐标为，， ， 解得（不合题意，舍去），， 点的坐标为； （3）解：以点为顶点的四边形能成为平行四边形． 理由如下： 若，则以点为顶点的四边形为平行四边形， ①当点在点上方，， 得（舍去），， （2）当点在下方，，得． 当，； 当，． 所以点的坐标为：或或． 14．（2024·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，菱形的性质，图形的面积： （1）运用待定系数支求解即可； （2）如图，作轴交于点，求出直线的表达式为．设点，则点，根据可列出式子求解 （3）根据菱形的性质求解即可 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ， 点的坐标为，对称轴为直线， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的表达式为． （2）解：如图，作轴交于点， 设直线的解析式为， 把代入得： 解得，， 直线的表达式为． 设点，则点， ， ， ， 当时，的最大值为，此时点， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在．点的坐标为或． 理由：直线的表达式为， 设点． 点， ， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， （舍去）或， 点， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， 解得（舍去）或， 点． 15．（2024·广东汕头·一模）综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D． (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为直角边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，直线的解析式为，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出A、B、C的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍）； （3）先设，当为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，再将点P代入直线的解析式中求出n的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，再由E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，则，得到方程，求出n的值即可求P点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 平移后的直线解析式为， ∴， ∴，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 解得或（舍）； （3）解：存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下： 当时，解得 ∴， 当为邻边时，与为菱形的对角线， ∴， ∴轴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当为菱形的对角线时，， ∴， ∵， ∴E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述：P点坐标为或． 题型06、利用二次函数解决相似三角形问题 16．（2024·广东惠州·一模）如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． (1)求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； (2)如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①，② 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，可得顶点坐标，利用抛物线解析式求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）①设，代入直线：，求得，即点G的坐标为，即可求解②证明，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为，即， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线． ∵A，B两点关于直线对称， ∴点B的坐标为． 设直线的表达式为，且， ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：（2）①设， 把代入， 得， ∴点G的坐标为， ∴． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当时，有最大值， 的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，三角形相似的判定与性质，一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 17．（2023·广东茂名·二模）如图，抛物线与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， ，顶点 D ， 对称轴交 x 轴于点 Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线 与对称轴形成的夹角为 45°，动点M在对称轴上运动且位于点 D下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)存在，点 M 的坐标为或 【分析】（1）由顶点D 设 ，再将B点的坐标代入即可． （2）首先确定B、D是对应顶点，设点，表示和的边长，再根据对应边成比例分别列方程即可． 【详解】（1）由顶点D 设 ， ∵， ∴ ，代入得：， 解得：， ∴抛物线对应二次函数的表达式为：． （2）存在点 M，使得和 相似，如图：    连接，设 ， ∵， ∴， 由题知，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ，， ∴，， ①当时， ，， 解得 ， ∴， ②当时， ， 解得 ， ∴， 综上所述，点 M 的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，相似三角形的综合知识，解题的关键是设所求点的坐标，表达出相关的线段长，列方程求解． 18．（2022·广东深圳·三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)A的坐标为 (3)存在，（2，4）或 【分析】（1）先求出点O，E，P的坐标，利用待定系数法求解即可． （2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，利用正方形的边长相等求解． （3）分两种情况：①当∠BAO=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；②当∠AOB=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；利用比例式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E，且OE=4， ∴O（0，0），E（4，0）， ∵AB⊥x轴于点B，线段AB的最大值是PM=4． ∴P（2，4）， ∵抛物线OPE过原点，设它的解析式为， 把E（4，0），P（2，4），代入，得 ， 解得：， ∴抛物线OPE的解析式为； （2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形， ∵OM=2， ∴, BC=2BM=, ∵AB=, ∴, 解得（舍去）． ∴ ∴A的坐标为 （3）存在． 设点A的坐标为时，△ABO与△PMO相似， ①当∠BAO=∠MPO时， ∵ ∴ 解得x=2或x=0（舍去）， 点A的坐标为（2，4）时，即与点P重合， ②当∠AOB=∠MPO时， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴A的坐标为， 综上所述，当A的坐标为（2，4）或时，△ABO与△PMO相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及三角形相似，二次函数解析式及正方形性质，解题的关键是利用三角形相似列出方程． 题型07、利用二次函数解决压轴综合问题 19．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 【答案】(1) (2)t的值为4或3 (3)n的值为1或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的解析式，以及与轴的交点，计算即可作答． （2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答． （3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． ∴令， ∴ 结合图象，得出 （2）解：如图： ∵点F是直线与抛物线的交点， ∴ 当时， 则， ∴ ∵， ∴ 解得 (舍去)或 当时， 过点作轴于点T ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 解得 (舍去)或 综上所述，t的值为4或3 （3）解：由点C的坐标为， ∵ ∴对称轴 ∵过点C作轴，交抛物线于点G ∴点G的坐标为 如图： 画出直线， 通过平移直线，得到直线 ①发现当直线经过点G时， 直线与新图象只有2个公共点． 将点代入， 得 解得； ②当直线与抛物线只有一个公共点时， 直线与新图象只有2个公共点． 令 化简得 ∴ 解得 综上所述，n的值为1或 20．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得； （3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：由，可得直线解析式为， 设，则， ， ，要使四边形恰好是平行四边形，只需， ， 解得， ； （3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下： 是的中点，点， 点， 由（2）知， 直线的表达式为， ， 在直线上，，， 过点作轴于点，过作轴于，如图： ，故， ， ， 直线和直线关于直线对称， ，， ， 由点，可得直线的表达式为， 联立， 解得或， 点的坐标为， ， ，，， ， ， ， ， ，即， 与相似，点与点是对应点， 设点的坐标为，则， 当时，有， ， 解得或（在右侧，舍去）， ； 当时，， ， 解得（舍去）或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点． 21．（2023·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，点P关于点Q的对称点为点C，过点P、C分别作的垂线，交过点A且垂直于x轴的直线于点E、D． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)求该抛物线的顶点坐标； (3)当线段的长随m值的增大而增大时，求m的取值范围； (4)抛物线在点P、A之间的部分（包括点P、A）的最低点到x轴的距离记为，四边形PCDE截该抛物线的图象（包括边界的点）的最低点到x轴的距离记为，若，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，利用待定系数法求函数解析式． （1）将代入，求出b和c的值，即可解答； （2）将（1）中得出的函数解析式化为顶点式，即可解答； （3）令，求出x的值，得出该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为．根据该抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的增减性，即可解答； （4）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入得， ， 解得， ∴该抛物线对应的函数关系式为y＝． （2）解：， ∴该抛物线的顶点坐标为． （3）解：令，则， 解得， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴当或时，线段的长随m值的增大而增大． （4）解：①当时，， ∵， ∴此时不成立． ②当时， ， ∴此时不成立． ③当时，，， ∵， ∴， 解得（舍去）． ④当时，，， ∵， ∴， 解得（舍去）． 综上，或． 22．（2023·广东潮州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若，求t； (2)若，写出m，n，c的大小关系； (3)设点，（）在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由题意，根据m=n得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）依据抛物线的对称性，把三点A、C、B的对称点放在对称轴的同侧，再利用函数的增减性即可得解． （3）由题意得，将A、B两点代入解析式，进而结合，即可求出t的取值范围，又根据A、E关于对称轴对称，借助t的范围即可求出x0的范围． 【详解】（1）解：∵，，在抛物线上，抛物线的对称轴为． ∴点A与点B关于抛物线的对称轴为对称． ∴． 即； （2）解：由题意，作图，    ∴； （3）由题意，由抛物线的对称轴为，得， ∴． ∴． ∵，在抛物线上， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点与是对称点， ∴． ∴． ∴． 综上可得，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02： 二次函数综合压轴问题 题型01 利用二次函数解决线段周长问题 1．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 2．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 3．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 题型02 利用二次函数解决面积问题 4．（2024·广东中山·一模）如图，抛物线顶点坐标为，交y轴于点，交x轴于A，B两点，连接，． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线在轴下方上一点，若与面积相等，请求出点的坐标． 5．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 6．（2023·广东茂名·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交直线于点N，连接，求四边形面积S的最大值，并求出此时点M的坐标． 题型03 利用二次函数解决角度问题 7．（2023·山东泰安·一模）抛物线与坐标轴分别交于，，三点．点是第一象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线解析式： (2)连接，若，求点的坐标； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2023·广东深圳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．                图1                                                备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 9．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 题型04、利用二次函数解决特殊三角形问题 10．（2024·广东梅州·一模）如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 11．（2024·安徽合肥·一模）如图，抛物线过点和．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． ①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； ②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． (4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 题型05、利用二次函数解决四边形问题 13．（2024·广东珠海·三模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 14．（2024·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2024·广东汕头·一模）综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D． (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为直角边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06、利用二次函数解决相似三角形问题 16．（2024·广东惠州·一模）如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． (1)求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； (2)如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 17．（2023·广东茂名·二模）如图，抛物线与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， ，顶点 D ， 对称轴交 x 轴于点 Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线 与对称轴形成的夹角为 45°，动点M在对称轴上运动且位于点 D下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．（2022·广东深圳·三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07、利用二次函数解决压轴综合问题 19．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 20．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2023·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，点P关于点Q的对称点为点C，过点P、C分别作的垂线，交过点A且垂直于x轴的直线于点E、D． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)求该抛物线的顶点坐标； (3)当线段的长随m值的增大而增大时，求m的取值范围； (4)抛物线在点P、A之间的部分（包括点P、A）的最低点到x轴的距离记为，四边形PCDE截该抛物线的图象（包括边界的点）的最低点到x轴的距离记为，若，直接写出m的值． 22．（2023·广东潮州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若，求t； (2)若，写出m，n，c的大小关系； (3)设点，（）在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$