微专题01 数与式的运算-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

微专题01：数与式的运算 一、单选题 1．（2025·广东广州·模拟预测）则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东阳江·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 5．（2024·广东汕头·二模）化简的结果是（    ） A．2 B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东揭阳·模拟预测）在下列算式中，运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题 9．（2025·广东广州·模拟预测）若，且，则 ． 10．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 11．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 12．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 13．（2024·广东中山·模拟预测） ． 14．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 三、解答题 15．（2025·广东广州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 16．（2024·广东·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组 17．（2024·广东·模拟预测）计算： (1)． (2)． 18．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：从，0，1，2 中选一个合适的数，代入求值． 19．（2024·广东·模拟预测）（1）化简：； （2）计算：． 20．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 21．（2024·广东惠州·模拟预测）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 22．（2024·广东云浮·一模）（1）计算： （2）解不等式组： 23．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01：数与式的运算 一、单选题 1．（2025·广东广州·模拟预测）则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，根据二次根式的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算错误； C、与的被开方数不同，不能合并，故本选项的运算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 2．（2025·广东阳江·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·广东揭阳·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，异分母分式的减法，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 4．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 5．（2024·广东汕头·二模）化简的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则． 分母相同，分母不变，分子相加减，再约分即可． 【详解】解：． 故选：A． 6．（2024·广东·模拟预测）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】A.，原说法错误，不符合题意； B. ，，则，说法正确； C. ，则，原说法错误，不符合题意； D. ，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．（2024·广东揭阳·模拟预测）在下列算式中，运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算，合并同类项，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．根据同底数幂的运算法则，合并同类项和完全平方公式，一一计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．（2025·广东广州·模拟预测）若，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据异分母分式相减得出，再把代入中化简求值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：2 10．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、不等式的性质、二次根式的性质，由题意可得，从而可得，结合题意得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴或． ∵，， ∴． ∴的最小值为． 答案为：． 11．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 13．（2024·广东中山·模拟预测） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：6． 三、解答题 15．（2025·广东广州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值及解一元二次方程，熟练掌握分式运算法则是解题关键．先运用分式的加减法乘除法将化简，再根据一元二次方程根的定义得到a的式子，整体代入即可求值． 【详解】解：原式 ， 解方程，得， ∵  ， ∴  不合题意，舍去， ∴ 把代入得， 原式=． 16．（2024·广东·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，零指数幂，解一元一次不等式组； （1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算乘法和去绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为。 17．（2024·广东·模拟预测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，实数的运算． （1）原式利用零指数幂，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：从，0，1，2 中选一个合适的数，代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 19．（2024·广东·模拟预测）（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简即可得到答案； （2）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简后，再由整式乘法运算求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的化简，涉及异分母分式减法运算、通分、分式乘除运算、因式分解及整式乘法运算等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键． 20．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 21．（2024·广东惠州·模拟预测）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）5；（2）2 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的性质、分式的化简求值等知识点，灵活运用相关运算法则以及整体思想成为解题的关键． （1）先根据特殊角三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质化简等知识点，然后合并同类二次根式即； （2）先根据分式的运算法则进行化简，再将变形整体代入化简好的分式中计算即可． 【详解】解： ． （2）， 由可得， 将代入原式可得，原式． 22．（2024·广东云浮·一模）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值，绝对值化简，负整数指数幂，以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． （1）先化简二次根式，计算三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再计算加减运算即可； （2）先分别求解两个一元一次不等式的解集，然后再求两个解集的公共解集即可； 【详解】解：（1） ； （2） 由，得 ， 解得； 由得， 解得， 不等式组的解集为． 23．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$