综合测试卷(2)(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

综合测试卷(二) (时间:120分钟　满分:150分) 　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q= (　　) A. B. C. D. 解析　由题意知an=an+1+an+2=anq+anq2,即q2+q-1=0,解得q=(负值舍去),故选C。 答案　C 2.函数y=x+的导数是 (　　) A.1- B.1- C.1+ D.1+ 解析　由y=x+,可得y'=1-,故选A。 答案　A 3.在曲线y=x2上,切线倾斜角为的点是 (　　) A.(0,0) B.(2,4) C. D. 解析　y'=2x,设切点为(a,a2),则切线的斜率为2a,所以2a=tan=1,所以a=,所求切点是。故选D。 答案　D 4.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2] C.(-∞,1) D.(-∞,1] 解析　由f(x)-m≥0,得f(x)≥m,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-=,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,此时,函数f(x)单调递增,所以f(1)≤f(x)≤f(e),即1≤f(x)≤e2-2,要使f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,只需m≤e2-2。 答案　B 5.在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则= (　　) A.或 B. C. D.或- 解析　在等比数列{an}中,a7a11=a4a14=6,因为a4+a14=5,所以或因为a14=a4q10,所以q10=或q10=,又=q10,所以=或=。 答案　A 6.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是 (　　) A.[-,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[-,+∞) D.[-,] 解析　由已知得f'(x)=x2+2ax+5,若f(x)在[1,3]上为单调函数且单调递增,则当x∈[1,3]时,x2+2ax+5≥0恒成立,即2a≥-,而当x∈[1,3],x+≥2,当且仅当x=时取等号,所以-≤-2,所以2a≥-2,a≥-,若f(x)在[1,3]上单调递减,则当x∈[1,3]时,x2+2ax+5≤0恒成立,即2a≤-,而当x∈[1,3]时,记h(x)=x+,hmax=h(1)=6,所以-≥-6,所以2a≤-6,a≤-3,所以a的取值范围是(-∞,-3]∪[-,+∞)。 答案　C 7.在各项均为正数的等比数列{an}中,公比q∈(0,1)。若a3+a5=5,a2·a6=4,bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,则当++…+取最大值时,n的值为 (　　) A.10 B.9 C.8或9 D.17 解析　因为a2·a6=a3·a5=4,且a3+a5=5,所以a3,a5是方程x2-5x+4=0的两个根。因为等比数列{an}各项均为正数且q∈(0,1),所以a3=4,a5=1,所以q2==,解得q=,所以an=4·,bn=log2an=5-n,所以Sn=,=。则Tn=++…+=(-n2+17n)=-n-2+,所以当n=8或9时,Tn取得最大值。 答案　C 8.已知定义域为R的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0,且f(2)=0。则关于x的不等式(x+1)·f(x)>0的解集为 (　　) A.(-2,-1)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,0) D.(1,2) 解析　由于f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-1,0),(0,1)上单调递增,在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,易知f(2)=f(-2)=0。当x+1>0,即x>-1时,由(x+1)f(x)>0,得f(x)>0,解得x<-2或0<x<2,所以0<x<2;当x+1<0,即x<-1时,由(x+1)f(x)>0,得f(x)<0,解得-2<x<0或x>2,所以-2<x<-1。综上,不等式的解集为(-2,-1)∪(0,2)。 答案　A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知数列{an}是正项等比数列,且+=,则a5的值可能是 (　　) A.2 B.4 C. D. 解析　因为数列是正项等比数列,所以a3>0,a7>0,由+≥2==,即a5≥2,符合题意的有A,B,D。 答案　ABD 10.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法中错误的是 (　　) A.函数y=f(x)在区间上单调递增 B.当x=-2时,函数y=f(x)有极小值 C.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增 D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值 解析　对于A,函数y=f(x)在区间上有增有减,故A不正确;对于B,由题图知当x<-2时,f'(x)<0;当-2<x<2时,f'(x)>0,故当x=-2时,函数y=f(x)有极小值,故B正确;对于C,当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故C正确;对于D,当x=3时,f'(x)≠0,故D不正确。故选AD。 答案　AD 11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中正确的是 (　　) A.∃x0∈R,f(x0)=0 B.函数y=f(x)的图象一定关于原点成中心对称 C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0 解析　对于A,因为当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞,由题意知函数f(x)为定义在R上的连续函数,所以∃x0∈R,f(x0)=0,故A正确;对于B,因为f+f(x)=++b-a-x+c+x3+ax2+bx+c=-+2c,f=-+c,所以f+f(x)=2f,即点-,f为函数f(x)的对称中心,当a≠0时,函数y=f(x)的图象不关于原点对称,故B错误;对于C,若取a=-1,b=-1,c=0,则f(x)=x3-x2-x,所以f'(x)=3x2-2x-1,由f'(x)>0可得,x>1或x<-,由f'(x)<0可得,-<x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为,所以x=1为函数f(x)的极小值点,但f(x)在区间(-∞,1)上并不单调递减,故C错误;对于D,若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义知f'(x0)=0,故D正确。故选AD。 答案　AD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知等比数列{an}为递增数列,若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=　　　　。  解析　因为{an}是递增的等比数列,且a1>0,所以q>1。因为2(an+an+2)=5an+1,所以2an+2anq2=5anq,因为an≠0,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=(舍去),所以公比q为2。 答案　2 13.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式x2f-f(x)>0的解集为　　　　　　　　。  解析　因为f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf'(x)恒成立,所以'=<0在(0,+∞)上恒成立,即在(0,+∞)上单调递减。又x2f-f(x)>0可化为>,所以<x,解得x>1。 答案　(1,+∞) 14.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为　　　　。  解析　f'(x)==,当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,令f(x)==,得=<1,不符合题意,所以f(x)max=f(1)==,解得a=-1。 答案　-1 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式。 解　设{an}的公差为d,{bn}的公比为q。 由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,　① 由T3-S3=12得q2+q-d=4,　② 由①②及q>0,解得q=2,d=2。 故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1(n∈N+)。 16.(本小题满分15分)已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切。求a的值和切点的坐标。 解　设直线l与曲线C相切于点(x0,y0),则4x0+a=y0,y0=-2+3。 因为f(x)=x3-2x2+3的导数为f'(x)=3x2-4x, 所以f'(x0)=4,即3-4x0=4, 解得x0=-或x0=2。 所以切点坐标为或(2,3)。 当切点为时,有=4×+a, 解得a=。 当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,解得a=-5。 所以a=,切点为,或a=-5,切点为(2,3)。 17.(本小题满分15分)已知a<2,函数f(x)=(x2+ax+a)ex。 (1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)的极大值是6e-2,求a的值。 解　(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex, 所以f'(x)=(x2+3x+2)ex。 由f'(x)≥0,得x2+3x+2≥0,解得x≤-2或x≥-1。 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],[-1,+∞)。 (2)因为f(x)=(x2+ax+a)ex, 所以f'(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex。 由f'(x)=0,得x=-2或x=-a。 因为a<2,所以-a>-2。 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞, -2) -2 (-2,-a) -a (-a, +∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 (4-a)e-2 单调递减 ae-a 单调递增 所以当x=-2时,f(x)取得极大值。 因为f(x)的极大值是6e-2,所以(4-a)e-2=6e-2, 所以a=-2。 18.(本小题满分17分)已知数列{an}为“二阶等差数列”,即当an+1-an=bn(n∈N*)时,数列{bn}为等差数列。其中a1=25,a3=67,a5=101。 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的最大值。 解　(1)由定义知:b1=a2-a1,b2=a3-a2,b3=a4-a3,b4=a5-a4,所以b1+b2=a3-a1=42,b3+b4=a5-a3=34。设数列{bn}的公差为d,(b3+b4)-(b1+b2)=4d=-8,即得d=-2,b1=22,所以数列{bn}的通项公式为bn=-2n+24。 (2)由于:b1=a2-a1,b2=a3-a2,b3=a4-a3,b4=a5-a4,…,bn-1=an-an-1,累加可得:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=bn-1+bn-2+…+b1+a1=+25=-n2+25n-24+25=-n2+25n+1,由于二次函数y=-x2+25x+1在x=时取得最大值,所以数列{an}的最大值为a12=a13=157。 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=(x+2)ln x+ax2-4x+7a(a∈R)。 (1)若a=,求函数f(x)的所有零点; (2)若a≥,证明:函数f(x)不存在的极值。 解　(1)当a= 时,f(x)=(x+2)ln x+x2-4x+, 函数f(x)的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=ln x++x-3。 设g(x)=ln x++x-3, 则g'(x)=-+1==(x>0)。 当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0, 即函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当x>0时,g(x)≥g(1)=0(当且仅当x=1时取等号), 即当x>0时,f'(x)≥0(当且仅当x=1时取等号), 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点。 因为f(1)=0,所以x=1是函数f(x)唯一的零点。 所以若a=,则函数f(x)的所有零点只有x=1。 (2)证明　证法一:因为f(x)=(x+2)ln x+ax2-4x+7a, 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x++2ax-4。 当a≥时,f'(x)≥ln x++x-3, 由(1)知ln x++x-3≥0。 即当x>0时f'(x)≥0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。 所以f(x)不存在极值。 证法二:因为f(x)=(x+2)ln x+ax2-4x+7a, 函数f(x)的定义域为(0,+∞) ,且f'(x)=ln x++2ax-4。 设m(x)=ln x++2ax-4, 则m'(x)=-+2a= (x>0)。 设h(x)=2ax2+x-2(x>0) ,则m'(x)与h(x)同号。 当a≥ 时,由h(x)=2ax2+x-2=0, 解得x1=<0,x2=>0。 可知当0<x<x2时,h(x)<0,即m'(x)<0,当x>x2时,h(x)>0,即m'(x)>0, 所以f'(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增。 由(1)知ln x++x-3≥0。 则f'(x2)=ln x2++x2-3+(2a-1)x2≥(2a-1)x2≥0, 所以f'(x)≥f'(x2)≥0,即f(x)在定义域上单调递增, 所以f(x)不存在极值。 学科网（北京）股份有限公司 $$