综合测试卷(1)(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

综合测试卷(一) (时间:120分钟　满分:150分) 　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线方程为 (　　) A.y=2x-e B.y=-2x-e C.y=2x+e D.y=-x-1 解析　y'=ln x+1,则曲线在点(e,e)处的切线斜率为ln e+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选A。 答案　A 2.已知数列{an}满足an-an-1=2(n≥2),且a1,a3,a4成等比数列,则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=2n B.an=2n+10 C.an=2n-10 D.an=2n+4 解析　因为数列{an}满足an-an-1=2(n≥2),所以数列{an}是公差为2的等差数列。因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,所以an=-8+2(n-1)=2n-10,故选C。 答案　C 3.在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前14项和为 (　　) A.20 B.21 C.42 D.84 解析　由4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,得12a4+12a11=36,即a4+a11=3,则数列{an}的前14项和为=7(a4+a11)=21。故选B。 答案　B 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则S6= (　　) A.-63 B.-21 C.21 D.63 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠±1),由已知条件可得则=,解得q=-2,所以a1=1,S6===-21,故选B。 答案　B 5.设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则下列结论正确的是 (　　) A.Sn=2n-1-1 B.an=2n C.Sn+1-Sn=2n+1 D.Sn=2n-1 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为a2a3a4=64,所以=64,解得a3=4。又a2+a4=10,所以+4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=。又等比数列{an}是递增数列,所以q=2,a1=1,所以an=2n-1,所以Sn==2n-1,Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n。故选D。 答案　D 6.已知函数f(x)=(e=2.718…为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β= (　　) A.2　　　　B.1　　　　C.0　　　 D.-1 解析　f(x)=的零点为α=2,极值只能在x<0时取得。当x<0时,f'(x)=(1+x)ex,则当x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在β=-1时取得极小值。从而α+β=1。故选B。 答案　B 7.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (　　) A　　　B C　　　D 解析　观察导函数f'(x)的图象可知,f'(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的单调性从左到右依次为单调递减、单调递增、单调递减、单调递增。观察选项可知,排除A,C。如图所示,f'(x)有3个变号零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是f(x)的极小值点,x2是f(x)的极大值点,且x2>0,故选项D正确。 答案　D 8.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,且f(x)-2 019为奇函数,则不等式f(x)-2 018ex<1的解集为 (　　) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.-∞, D.,+∞ 解析　构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,所以函数g(x)=在R上单调递减。因为函数y=f(x)-2 019为奇函数,所以f(0)-2 019=0,则f(0)=2 019所以g(0)==2 018。由f(x)-2 018ex<1,得f(x)-1<2 018ex,即<2 018,即g(x)<g(0)。由于函数y=g(x)在R上单调递减,所以x>0,故选A。 答案　A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=,且an+1(2-an)=2,则 (　　) A.a3= B.{an}是周期数列且周期为4 C.S4= D.S21= 解析　由an+1(2-an)=2可得an+1=,所以a2==-4,a3==,A错误;a4==,a5===a1,所以数列{an}是周期数列且周期为4,B正确;S4=a1+a2+a3+a4=,C正确;S21=5×+=,D正确。故选BCD。 答案　BCD 10.若函数f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点,则实数a的值可能为 (　　) A.2 B.0 C.1 D.-1 解析　f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恒过(0,0)。如图所示, 当a≤0时,两函数图象恰有一个公共点;当a>0时,函数f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点,则g(x)=ax为f(x)=ex-1的切线,且切点为(0,0),由f'(x)=ex,所以a=f'(0)=e0=1,综上所述,a≤0或a=1。故选BCD。 答案　BCD 11.设函数f(x)=,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域是(0,+∞) B.x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有且仅有两个极值点 解析　由题意,函数f(x)=满足解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;由f(x)=,当x∈(0,1)时,ln x<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图象都在x轴的下方,所以B正确;由f'(x)=,令g(x)=ln x-,则g'(x)=+(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,则函数f'(x)=0只有一个根x0,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,函数单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,函数单调递增,所以函数只有一个极小值点,所以C正确,D不正确。故选BC。 答案　BC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.函数f(x)=aln x+bx2在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-3,则a=　　　　,b=　　　　。  解析　由题意得f'(x)=+2bx,由导数的几何意义可得f(1)=b=1,f'(1)=a+2b=4,所以a=2,b=1。 答案　2　1 13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=6,则a8=　　　　。  解析　因为S3,S9,S6成等差数列,所以2S9=S3+S6,所以等比数列{an}的公比q≠1,所以=+,得2q6-q3-1=0,即(2q3+1)·(q3-1)=0,所以q3=-。由a2+a5=6,得+=6,所以a8===3。 答案　3 14.已知数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若1≤a2≤5,2≤a3≤7,则S6的取值范围是　　　　。  解析　依题意设S6=6a1+15d=x(a1+d)+y(a1+2d),由解得则两式相加得3≤S6≤60,即S6的取值范围是[3,60]。 答案　[3,60] 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S4=4S2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若am+am+1+am+2+…+am+9=180(m∈N+),求m的值。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d, 由S4=4S2,得4a1+6d=8a1+4d, 整理得d=2a1。 又a1=1,所以d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N+)。 (2)am+am+1+am+2+…+am+9=180可化为10am+45d=20m+80=180,解得m=5。 16.(本小题满分15分)设a∈R,函数f(x)=x3-(2a+1)x2+(a2+a)x。 (1)若函数g(x)=(x≠0)为奇函数,求实数a的值; (2)若函数f(x)在x=2时取得极小值,求实数a的值。 解　(1)由已知,得f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a, g(x)==x+-2a-1,x≠0。 因为g(x)=(x≠0)为奇函数, 所以∀x≠0,g(-x)+g(x)=0, 即-2a-1=0, 所以a=-。 (2)f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a =(x-a)[x-(a+1)]。 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,a) a (a,a+1) a+1 (a+1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以a+1=2,所以a=1。 17.(本小题满分15分)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n。 (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明; (2)求数列{2nan}的前n项和Sn。 解　(1)a2=5,a3=7。 猜想an=2n+1。 证明:由已知可得, an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)], an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)], … a2-5=3(a1-3)。 因为a1=3,所以an=2n+1。 (2)由(1)得2nan=(2n+1)2n, 所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n。① 从而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1。② ①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1。 所以Sn=(2n-1)2n+1+2。 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=ln x-(a∈R)。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:对于任意x∈(1,2),不等式-<恒成立。 解　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=。 ①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减, 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增。 综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a)。 (2)证明:因为1<x<2, 所以-<等价于(x+1)ln x-2(x-1)>0, 令F(x)=(x+1)ln x-2(x-1), 则F'(x)=ln x+-2=ln x+-1。 由(1)知,当a=1时,f(x)=ln x-1+在[1,+∞)上单调递增, 所以当x∈[1,2)时,f(x)≥f(1)=0, 即ln x+-1≥0,F'(x)≥0, 所以F(x)在[1,2)上单调递增, 所以当x∈(1,2)时,F(x)>F(1)=0, 即当1<x<2时,-<恒成立。 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a。 (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积; (2)若f(x)≥1,求a的取值范围。 解　f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-。 (1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(x)=ex-,f(1)=e+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2。 直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为,2。 因此所求三角形的面积为。 (2)由题意知a>0。当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1。 当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f'(x)=ex-1-。 当x∈(0,1)时,f'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0。 所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1。 当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a>ex-1-ln x≥1。 综上,a的取值范围是[1,+∞)。 学科网（北京）股份有限公司 $$