课时达标检测(9)等比数列的前n项和(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(九)　等比数列的前n项和 学生用书P085 基础达标 　 一、单项选择题 1.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 (　　) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 解析　在等比数列{an}中,Sn===3-2an。 答案　D 2.等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于 (　　) A.4-2100 B.4+2100 C.4-2-98 D.4-2-100 解析　q==。S100===4×(1-2-100)=4-2-98。 答案　C 3.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n的值为 (　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　D.7 解析　显然q≠1,由Sn=,得93=,解得q=2。由an=a1qn-1,得48=3×2n-1,解得n=5。故选B。 答案　B 4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且=5,则= (　　) A.5 B.16 C.17 D.25 解析　设数列的公比为q,当公比q=1时,=2≠5,故公比不为1,当公比q≠1时,==1+q2=5,所以q2=4,所以==1+q4=17。故选C。 答案　C 5.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=an-1(a是不为零的常数),则数列{an} (　　) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既非等差数列,也非等比数列 解析　由Sn=an-1,知当a=1时,Sn=0。此时数列{an}为等差数列(an=0)。当a≠1时,数列{an}为等比数列。 答案　C 6.记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a5-a3=12,a6-a4=24,则= (　　) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 解析　设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24,可得⇒所以an=a1qn-1=2n-1,Sn===2n-1,因此==2-21-n。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,则公比q的值为 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析　由题意,得若q=1,则S3=3a1=6,符合题意。若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,得S3===6,解得q=-2(q=1舍去)。综上所述,q=1,或q=-2。故选AD。 答案　AD 8.在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1·a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是 (　　) A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 解析　因为数列{an}为等比数列,又a1·a4=32,所以a2·a3=32,又a2+a3=12,所以或又公比q为整数,则即an=2n,Sn==2n+1-2。对于A,由上可得q=2,即A正确;对于B,Sn+2=2n+1,==2,则数列{Sn+2}是等比数列,即B正确;对于C,S8=29-2=510,即C正确;对于D,lg an+1-lg an=lg=lg 2,即数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列,即D错误,所以说法正确的是ABC。 答案　ABC 三、填空题 9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为　　　　。  解析　由已知4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以a2=3a3,所以{an}的公比q==。 答案　 10.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=　　　　。  解析　因为S6=4S3,所以q≠1,所以=,所以q3=3,所以a4=a1·q3=1×3=3。 答案　3 11.数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=　　　　,a4=　　　　。  解析　an-an-1=a1 qn-1=2n-1,即各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2,故an=a1+2n-2=2n-1。所以a4=24-1=15。 答案　2n-1　15 四、解答题 12.在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn。 (1)S3=,S6=,求an,Sn; (2)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q。 解　(1)解法一:由S6≠2S3知q≠1, 由题意得 ②÷①,得1+q3=9,所以q3=8,即q=2。代入①得a1=, 所以an=a1qn-1=×2n-1=2n-2, Sn==2n-1-。 解法二:因为S3=a1+a2+a3, S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3, 所以1+q3==9, 所以q3=8,即q=2, 代入S3==得a1=, 所以an=a1qn-1=×2n-1=2n-2, Sn==2n-1-。 (2)因为a2an-1=a1an,所以a1an=128。 解方程组 得①或②。 将①代入Sn==126,可得q=, 由an=a1qn-1,可得n=6。 将②代入Sn==126,可得q=2, 由an=a1qn-1,可得n=6。 综上可得,n=6,q=2或q=。 13.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N+。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn。 解　(1)因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,所以a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2), 两式相减得3n-1an=-=(n≥2), 所以an=(n≥2)。 验证当n=1时,a1=也满足上式, 故an=(n∈N+)。 (2)因为bn==n·3n, 所以Sn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n　①, ①×3得3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1　②, 由①-②,得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1, 即-2Sn=-n·3n+1, 所以Sn=·3n+1+(n∈N+)。 素养升级 14.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于 (　　) A.-6×(1-3-10) B.×(1-3-10) C.3×(1-3-10) D.3×(1+3-10) 解析　因为3an+1+an=0,所以=-,因为a2=-,所以a1=4,所以数列{an}是以-为公比的等比数列。所以S10==3×(1-3-10)。故选C。 答案　C 15.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn (x≠0)。 解　当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=; 当x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+nxn, xSn=x2+2x3+3x4+…+(n-1)xn+nxn+1, 所以(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1=-nxn+1, 所以Sn=-。综上可得, Sn= 学科网（北京）股份有限公司 $$