26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质 导 学案 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

26.2　二次函数的图象与性质 1.二次函数y=ax2的图象与性质 课时学习目标 素养目标达成 1.了解抛物线及有关概念 模型观念、抽象能力 2.会用描点法画二次函数y=ax2的图象 几何直观、抽象能力 3.能根据图象说出二次函数y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质 几何直观、抽象能力、推理能力 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0) 图象 开口方向 　向上　  　向下　  对称轴 y轴(直线　x=0　)  顶点坐标 　(0,0)　  增减性 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大 当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小 最值 当x=0时, y最小=0 当x=0时, y最大=0 区别与 联系 抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于　x轴　对称,对称轴都为y轴,形状相同,开口方向相反  1.抛物线y=-x2开口方向是(B) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.抛物线y=x2的对称轴是(D) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.x轴 D.y轴 3.抛物线y=x2的顶点坐标是　(0,0)　.  4.已知二次函数y=-3x2,当x<0时,y随x的增大而　增大　.(填“增大”或“减小”)  重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 二次函数y=ax2的图象(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P5例1拓展)在平面直角坐标系中,画出函数y=2x2的图象(取值、描点、连线、画图). 列表: x -2 -1 0 1 2 y 8 2 0 2 8 【解析】描点:如图,描出点:(-2,8),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,8), 连线:如图所示, 【举一反三】 (2024·梧州期末)二次函数y=ax2(a>0)的图象一定经过(A) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 【技法点拨】 二次函数y=ax2的图象的特征 1.a>0⇔开口向上;a<0⇔开口向下. 2.对称轴是y轴. 3.顶点坐标为(0,0). 重点2 二次函数y=ax2的性质(几何直观、推理能力) 【典例2】已知函数y=(m+1)是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值; (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小? 【自主解答】(1)∵函数y=(m+1)是关于x的二次函数,∴m2+2m=2,m+1≠0, 解得m1=-1+,m2=-1-. (2)∵m=-1±, ∴m+1=或-, 当m+1=,即m=-1+时,抛物线有最低点,该点坐标为(0,0); 当x>0时,y随x的增大而增大. (3)当m+1=-,即m=-1-时,函数有最大值,最大值是0; 当x>0时,y随x的增大而减小. 【举一反三】 二次函数y=x2的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<x2<0,则y1与y2的大小关系为　y1>y2　.  【技法点拨】 二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a>0⇔开口向上⇔有最小值⇔ 2.a<0⇔开口向下⇔有最大值⇔ 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)对于抛物线y=-3x2,下列说法不正确的是(B) A.图象开口向下 B.y随x的增大而减小 C.顶点坐标为(0,0) D.对称轴为y轴 2.(4分·推理能力)已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在函数y=-2x2的图象上,且x1>x2>x3>0,则(A) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 3.(4分·几何直观)二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为　k>-1　.  4.(8分·抽象能力、几何直观)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y=5x2;(2)y=-5x2; (3)y=x2;(4)y=-x2. 【解析】(1)y=5x2,∵a=5>0,∴开口向上, 对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0); (2)y=-5x2,∵a=-5<0,∴开口向下, 对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0); (3)y=x2, ∵a=>0,∴开口向上, 对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0); (4)y=-x2, ∵a=-<0,∴开口向下, 对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2　二次函数的图象与性质 1.二次函数y=ax2的图象与性质 课时学习目标 素养目标达成 1.了解抛物线及有关概念 模型观念、抽象能力 2.会用描点法画二次函数y=ax2的图象 几何直观、抽象能力 3.能根据图象说出二次函数y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质 几何直观、抽象能力、推理能力 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0) 图象 开口方向 对称轴 y轴(直线 )  顶点坐标 增减性 当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随x的增大而增大 当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随x的增大而减小 最值 当x=0时, y最小=0 当x=0时, y最大=0 区别与 联系 抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于 对称,对称轴都为y轴,形状相同,开口方向相反  1.抛物线y=-x2开口方向是( ) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.抛物线y=x2的对称轴是( ) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.x轴 D.y轴 3.抛物线y=x2的顶点坐标是 .  4.已知二次函数y=-3x2,当x<0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)  重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 二次函数y=ax2的图象(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P5例1拓展)在平面直角坐标系中,画出函数y=2x2的图象(取值、描点、连线、画图). 列表: x -2 -1 0 1 2 y 8 2 0 2 8 【解析】描点:如图,描出点:(-2,8),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,8), 连线:如图所示, 【举一反三】 (2024·梧州期末)二次函数y=ax2(a>0)的图象一定经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 【技法点拨】 二次函数y=ax2的图象的特征 1.a>0⇔开口向上;a<0⇔开口向下. 2.对称轴是y轴. 3.顶点坐标为(0,0). 重点2 二次函数y=ax2的性质(几何直观、推理能力) 【典例2】已知函数y=(m+1)是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值; (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小? 【举一反三】 二次函数y=x2的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<x2<0,则y1与y2的大小关系为 .  【技法点拨】 二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a>0⇔开口向上⇔有最小值⇔ 2.a<0⇔开口向下⇔有最大值⇔ 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)对于抛物线y=-3x2,下列说法不正确的是( ) A.图象开口向下 B.y随x的增大而减小 C.顶点坐标为(0,0) D.对称轴为y轴 2.(4分·推理能力)已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在函数y=-2x2的图象上,且x1>x2>x3>0,则( ) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 3.(4分·几何直观)二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 .  4.(8分·抽象能力、几何直观)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y=5x2;(2)y=-5x2; (3)y=x2;(4)y=-x2. 学科网（北京）股份有限公司 $$