专题突破：概率重点题型突破（16大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题突破：概率重点题型突破 1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析． 2.求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得. 3.利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算． 4.利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝求解． 5..求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 6.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 7.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生． 8．求复杂事件的概率一般可分三步进行 (1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； (2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 9.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法． 10.判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 11.离散型随机变量的分布列问题的解题策略： (1) 先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”； (2) 选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率； (3)列出分布列． 12.求离散型随机变量的分布列应注意的问题 (1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和． (2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识． 13.离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用随机变量分布列的性质“pi≥0”与“p1＋p2＋…＋pn＝1”，可以求出分布列中某个未知概率或参数； (2)根据给出的分布列可求出随机变量在某一范围内的概率； (3)利用分布列的性质可检验所求分布列及某些事件的概率是否正确． 14.求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值． (2)求概率：求X取每个值的概率． (3)写分布列：写出X的分布列． (4)求均值：由均值的定义求出E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． 15.求离散型随机变量X的方差的基本步骤： （1）理解X的意义，写出X可能的全部取值； （2）写出X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值定义求出E(X) （5）求出方差. 16．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 17.解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次． 18.求二项分布的最值的方法： ①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n. ②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小． ③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间． ④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值． 19.求超几何分布的分布列的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列． 20.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 21.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 题型一 条件概率的计算 【例1】（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【变式1-1】（24-25高二上·江西上饶·期末）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 题型二 全概率公式的应用 【例2】（多选）（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若和是两个互斥事件，则 D．当时， 【变式2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某公司老、中、青三类员工的人数和男性比例如下表所示： 老员工 中年员工 青年员工 人数比例 男性人数比例 在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2-3】（多选）（24-25高二上·江西·期末）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 题型三 贝叶斯概率公式的应用 【例3】（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【变式3-3】（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ． 题型四 概率乘法公式的应用 【例4】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日举办，该届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．如图，假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【变式4-1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 【变式4-2】（24-25高二下·全国·课后作业）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·云南·阶段练习）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 题型五 分布列性质的应用 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式5-2】（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 题型六 随机变量的分布列 【例6】（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【变式6-1】（23-24高二下·甘肃张掖·期中）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏·假期作业）高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. (1)求，的值； (2)求甲、乙选择不同手机的概率； (3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【变式6-3】（2024高一·全国·专题练习）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 题型七 两点分布问题 【例7】（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【变式7-1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【变式7-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【变式7-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求的分布列． 题型八 二项分布 【例8】（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【变式8-1】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【变式8-2】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【变式8-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 题型九 超几何分布 【例9】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 【变式9-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 【变式9-2】（23-24高二下·福建福州·期末）节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 (1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； (2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 【变式9-3】（21-22高二下·湖北·阶段练习）襄阳市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲小组答对题数的分布列； (2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请从答对题数的均值和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 题型十 随机变量的期望、方差 【例10】（21-22高二上·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求: (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率; (2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差. 【变式10-1】（23-24高二下·安徽·期中）已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，. (1)求此三人闯过此关的概率； (2)若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望. 【变式10-2】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． (1)求问题被回答正确的概率； (2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【变式10-3】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列与方差． 题型十一 根据随机变量的期望方差求参数 【例11】（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·江西上饶·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二上·广西梧州·期末）已知随机变量，若，则 . 题型十二 随机变量的期望、方差的应用 【例12】（2024·广东广州·模拟预测）小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立. (1)若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列； (2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由； (3)设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由. 【变式12-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【变式12-2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. (1)若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 【变式12-3】（24-25高二上·辽宁·期末）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 题型十三 正态曲线的性质及应用 【例13】（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【变式13-1】（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 【变式13-3】（多选）（23-24高三上·江苏·期末）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（    ） A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B．甲村的平均分低于乙村的平均分 C．甲村的高度满意率与不满意率相等 D．乙村的高度满意率比不满意率大 题型十四 区间上的概率计算 【例14】（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【变式14-1】（24-25高二下·全国·课后作业）在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【变式14-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 题型十五 正态分布的实际应用 【例15】（2023·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 【变式15-1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【变式15-2】（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【变式15-3】（23-24高三下·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 题型十六 概率分布的综合应用问题 【例16】（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式16-1】（24-25高二上·江西宜春·期末）下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-2】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【变式16-3】（23-24高二下·广东梅州·期末）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是． (1)若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率； (2)若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率； (3)已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？ 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：概率重点题型突破 1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析． 2.求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得. 3.利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算． 4.利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝求解． 5..求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 6.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 7.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生． 8．求复杂事件的概率一般可分三步进行 (1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； (2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 9.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法． 10.判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 11.离散型随机变量的分布列问题的解题策略： (1) 先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”； (2) 选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率； (3)列出分布列． 12.求离散型随机变量的分布列应注意的问题 (1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和． (2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识． 13.离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用随机变量分布列的性质“pi≥0”与“p1＋p2＋…＋pn＝1”，可以求出分布列中某个未知概率或参数； (2)根据给出的分布列可求出随机变量在某一范围内的概率； (3)利用分布列的性质可检验所求分布列及某些事件的概率是否正确． 14.求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值． (2)求概率：求X取每个值的概率． (3)写分布列：写出X的分布列． (4)求均值：由均值的定义求出E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． 15.求离散型随机变量X的方差的基本步骤： （1）理解X的意义，写出X可能的全部取值； （2）写出X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值定义求出E(X) （5）求出方差. 16．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 17.解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次． 18.求二项分布的最值的方法： ①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n. ②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小． ③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间． ④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值． 19.求超几何分布的分布列的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列． 20.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 21.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 题型一 条件概率的计算 【例1】（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案； （2）利用条件概率公式即可. 【详解】（1）若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球， 则第二次取出红球的概率为. （2）用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球的概率为. 【变式1-1】（24-25高二上·江西上饶·期末）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率 【分析】根据条件概率的计算公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由，解得，故A正确； 由，则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 【变式1-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件概率性质的应用、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【答案】(1) (2)它分别是第1，2，3台机器生产的概率为，， 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解； （2）利用条件概率，结合贝叶斯公式，即可求解． 【详解】（1）任取一个芯片是次品的概率为：， 则它是正品的概率为：； （2）次品是第1台机器生产的概率为：； 次品是第2台机器生产的概率为：， 次品是第3台机器生产的概率为：． 题型二 全概率公式的应用 【例2】（多选）（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若和是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】AD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】对于A：根据条件概率分析判断；对于B：根据条件概率分析判断；对于C：根据条件概率结合互斥事件分析判断；对于D：根据条件概率公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以，故A正确． 对于选项B：，故B错误． 对于选项C：若B和C是两个互斥事件， 则， 且， 因为与不一定相等， 则不一定相等，故C错误； 对于选项D：因为，所以． ，故D正确． 故选：AD. 【变式2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某公司老、中、青三类员工的人数和男性比例如下表所示： 老员工 中年员工 青年员工 人数比例 男性人数比例 在该公司任选一名员工，该员工为男性的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】利用全概率公式可得员工为男性的概率是 . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由即可求解 【详解】因为， 所以. 故选：B 【变式2-3】（多选）（24-25高二上·江西·期末）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【知识点】不相邻排列问题、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】根据独立事件乘法公式计算判断A，应用全概率公式结合对立事件概率计算判断B，应用乘法原理结合组合公式计算判断C，先求所有排序情况减去小明和小刚相邻时的排法判断D. 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 题型三 贝叶斯概率公式的应用 【例3】（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】先根据全概率公式求出，再带入贝叶斯公式计算即可． 【详解】设“从待出厂产品中取出个是次品”为事件A，从待出厂产品中取出个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件，，， 则，，，，，， 由全概率公式得 ， 现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是． 故答案为：. 题型四 概率乘法公式的应用 【例4】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日举办，该届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．如图，假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)， (2)． (3)双败赛制下对强者更有利． 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、游戏的公平性 【分析】（1）由AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出和CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）求得淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为，利用相互独立事件的概率公式，分两种情况讨论，即可求得“双败赛制”赛制下，A获得冠军的概率；． （3）令，结合，得到，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意得，若A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， A获得冠军的概率为， 若C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， C获得冠军的概率为． （2）解：淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，A获得冠军的概率． （3）解：令， 若A为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利． 【变式4-1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·全国·课后作业）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 从而得到选手能进入第三关的事件为再由互斥事件和事件及独立事件乘法公式求解即可； 【详解】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 由题意知选手能进入第三关的事件可表示为：， 所以选手能进入第三关的概率： ． 故选：C． 【变式4-3】（24-25高二上·云南·阶段练习）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】(1)①② (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）设出事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）由已知，整理得，即可得当时，概率最小，求解可得. 【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； （2）由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 题型五 分布列性质的应用 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】由分布列的性质得到，再由求解即可； 【详解】由分布列的性质，得， ． ． ， ． 故选：B 【变式5-1】（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【详解】由表可得， 又可得,解得， 故选：A 【变式5-2】（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则 . 【答案】/0.9 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】由分布列的性质得，，且，解得， . 故答案为：. 题型六 随机变量的分布列 【例6】（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由题知甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），进而根据古典概型与独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求出随机变量的分布列. 【详解】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． （2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式6-1】（23-24高二下·甘肃张掖·期中）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】先应用分布列性质求参，再分别写出分布列即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 【变式6-2】（24-25高二上·江苏·假期作业）高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. (1)求，的值； (2)求甲、乙选择不同手机的概率； (3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【答案】(1)，； (2)； (3) 700 800 900 1000 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由题意可知，进而求出的值，再根据求出的值即可； （2）利用独立事件的概率乘法公式求解； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，再得到的分布列即可． 【详解】（1）由题表中数据及题意，得，所以， 又因为，所以； （2）设甲、乙选择不同手机为事件，则； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000， 则，，，， 所以的分布列为： 700 800 900 1000 【变式6-3】（2024高一·全国·专题练习）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据表中的数据求出A，B两种支付方式都使用的人数，从而可估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列． 【详解】（1）由题意得A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人． ∴A，B两种支付方式都使用的人数为， ∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． （2）X的可能取值为0，1，2．样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在的有18人，支付金额超过1000元的有12人； 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在的有10人，支付金额超过1000元的有15人． ，，． ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 题型七 两点分布问题 【例7】（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】两点分布、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】先确定服从两点分布，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 【变式7-1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 【变式7-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意可知服从两点分布，求出对应概率，即可求出的分布列． 【详解】由题设可知服从两点分布， ， ， 所以的分布列为： 0 1 题型八 二项分布 【例8】（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【答案】7 【知识点】组合数的计算、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 【变式8-1】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：B 【变式8-2】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 （2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 【变式8-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】二项分布的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. （2）根据二项分布的知识求得的期望 （3）根据独立重复试验概率计算公式列不等式，由此求得最有可能的位置坐标. 【详解】（1） （2）依题意可知，所以. （3）设质点在经过次移动以后，最有可能的位置坐标为， 则， 即， 解得， 故所求位置坐标为或. 题型九 超几何分布 【例9】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用古典概型概率公式和组合数公式计算即可； （2）分析易得的所有可能取值为0,1,2,且，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，即可列出分布列. 【详解】（1）设事件为“从这18名队员中随机选出两人，这两人来自同一个班级” 则 . （2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,依题意，, 故 ,, . 所以的分布列为: X 0 1 2 P 【变式9-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】超几何分布的分布列、补全频率分布直方图 【分析】根据频率和为1求解即可； 根据各段人数可得的可能取值为0，1，2，再求解分布列求解即可. 【详解】（1）由，解得． （2）分数在，的人数分别是（人），（人）， 所以的可能取值为0，1，2，其服从参数为，，的超几何分布． 则，， ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 【变式9-2】（23-24高二下·福建福州·期末）节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 (1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； (2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)方案二 (3)分布列见解析，数学期望为 【知识点】独立事件的乘法公式、均值的实际应用、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）求解方案二中糖果的售价为，即可比较求解， （3）由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望. 【详解】（1）设事件“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则．   现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为，则， 所以恰好有2袋是三等品的概率 （2）设方案二中糖果的售价为，则 （元），     因为，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二． （3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋． 依题意，X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3． ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 【变式9-3】（21-22高二下·湖北·阶段练习）襄阳市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲小组答对题数的分布列； (2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请从答对题数的均值和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 【答案】(1)答案见解析； (2)甲，答案见解析. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值、二项分布的方差、方差的实际应用 【分析】（1）由题意，判断甲答对题数的可能值，并求出对应值的概率，即可得分布列. （2）由（1）所得分布列求出甲小组的期望和方差，由题设乙答对题数，利用二项分布的期望、方差公式求期望和方差，比较它们的大小关系，即可确定选择哪个小组. 【详解】（1）设甲答对题数为，可能取值为1，2，3， 则，，， ∴甲答对题数的分布列为： 1 2 3 （2）由（1）得：，. 设乙答对题数为，则随机变量，故，， ∵，， ∴甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，故选择学生甲. 题型十 随机变量的期望、方差 【例10】（21-22高二上·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求: (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率; (2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差. 【答案】(1) (2)， 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、随机变量函数的分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）利用排列公式即可得到答案； （2）首先得到X的可能取值，再利用排列公式即可对应概率，得到分布列，再利用均值和方差公式即可. 【详解】（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A， 则P(A)= 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为 （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4. P(X=0)=， P(X=1)=， P(X=2)=， P(X=3)=， P(X=4)= 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 因此，， . 【变式10-1】（23-24高二下·安徽·期中）已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，. (1)求此三人闯过此关的概率； (2)若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解； （2）分析可知的可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【详解】（1）因为三人答对此题的概率分别为，，，则三人答错此题的概率分别为，， 且三人闯过此关的对立事件为三人均答错， 所以三人中至少一人答对此题的概率为. （2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3， 此三人闯此关时没有人答对题目的概率； 此三人闯此关时只有1人答对题目的概率； 此三人闯此关时有2人答对题目的概率； 此三人闯此关时有3人答对题目的概率； 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 【变式10-2】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． (1)求问题被回答正确的概率； (2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)． (2)分布列见解析，． 【知识点】随机变量函数的分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得 所以问题被回答正确的概率为． （2）由题意可知：的可能取值有：，，，则有： ， ， ， 所以的分布列为 期望． 【变式10-3】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列与方差． 【答案】分布列见解析，， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【详解】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． 题型十一 根据随机变量的期望方差求参数 【例11】（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 【变式11-1】（24-25高二上·江西上饶·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据二项分布均值与方差的性质公式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、均值的性质 【分析】根据期望的性质可得，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 【变式11-3】（24-25高二上·广西梧州·期末）已知随机变量，若，则 . 【答案】 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】根据可得，求出，结合二项分布求出概率即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型十二 随机变量的期望、方差的应用 【例12】（2024·广东广州·模拟预测）小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立. (1)若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列； (2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由； (3)设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不会，理由见解析 (3)应按的顺序答题，理由见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得分布列. （2）计算通过的概率，从而作出判断. （3）计算按的顺序、的顺序、的顺序、的顺序答题时，累计答题数目的均值，从而作出判断. 【详解】（1）按的顺序答题，的可能取值为， 则,，， 所以的分布列为： （2）小张考试通过的概率不受答题次序的影响，理由如下： 由题意，小张没有通过考试的情况只有三题全部答错， 所以小张考试通过的概率均为 （3）应按的顺序答题，理由如下： 设，， . 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 由（1）得 . 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 则， 所以 ， 则 ， 则. 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. ， 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. . 所以累计答题数目的均值最小的，是、、中最小的一个， ， ， 所以， ， ， 所以， 所以最小的是， 所以应按的顺序答题. 【变式12-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)选择方案一，能使得该生的得分更高 【知识点】均值的实际应用、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的取值可能是0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）选择方案二，记得分为变量，可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，结合，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意知，随机变量的取值可能是0，20，40，60， 可得， ， ， ， 则变量的分布列如下表所示： 0 20 40 60 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为． （2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量，则的取值可能为， 可得，， ， ， ， ， ， 则变量的分布列为： 0 10 20 30 40 50 70 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为 ． 结合（1）知， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高． 【变式12-2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. (1)若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】(1) (2)至少要进行16轮比赛 【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的均值 【分析】（1）分答对题为3道或4道两类情况，结合概率乘法公式即可求解； （2）通过，结合，求出同学在第一轮比赛中晋级的概率的最大值，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为3道或4道， 概率为：. （2）同学在第一轮比赛中晋级的概率为 . ， 由于， 因此，故. 令，则， 当时，可得， 同学在轮比赛中晋级的次数， 由，知， 即要想晋级9次，那么理论上至少要进行16轮比赛. 【变式12-3】（24-25高二上·辽宁·期末）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)答案见解析，2， (2)（i）；（ii）答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分第原系统中至少有4个元件正常工作；原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，求得，通过作差判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以， 则， 所以当时，， 即增加2个元件设备正常工作的概率变大， 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大， 又因为，所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，，是解题的难点与关键. 题型十三 正态曲线的性质及应用 【例13】（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【变式13-1】（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 【变式13-2】（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据标准正态分布性质判断A,B,应用偶函数定义判断C,应用对称中心定义判断D. 【详解】因为 ，所以 正确; 显然 是减函数，正确. 因为 ， 的图象关于点 对称， 且 ,所以 不是偶函数,不正确， 正确. 故选：ABD. 【变式13-3】（多选）（23-24高三上·江苏·期末）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（    ） A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B．甲村的平均分低于乙村的平均分 C．甲村的高度满意率与不满意率相等 D．乙村的高度满意率比不满意率大 【答案】BCD 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断. 【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大， 因为，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误； B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确； C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确； D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确. 故选：BCD. 题型十四 区间上的概率计算 【例14】（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 【变式14-1】（24-25高二下·全国·课后作业）在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布的性质可得. 【详解】 因为服从正态分布（）， 所以正态分布曲线关于对称； 又因为在内取值的概率为0.8， 所以在内取值的概率为0.4， 所以在内取值的概率为． 故选：A 【变式14-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 【变式14-3】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【答案】A 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A 题型十五 正态分布的实际应用 【例15】（2023·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 【答案】(1)0.02275；证明见解析. (2)（ⅰ）分布列见解析 （ⅱ）能，. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、标准正态分布的应用、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果； （2）先利用导数求出，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果. 【详解】（1），又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. （2）， . 令，得. 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. （ⅰ）的可能取值为3，2，1，0. ，， ，， 所以的分布列为 3 2 1 0 （ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分， 则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分， 则可提前一轮夺得冠军，其概率为. 【变式15-1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】由正态曲线的性质求出，即可求解． 【详解】依题意，得， 则， 则估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是：， 故选：A. 【变式15-2】（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由题意可得，根据正态分布的特征逐一判断即可. 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 【变式15-3】（23-24高三下·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【答案】(1)分布列见解析，期望值为； (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、标准正态分布的应用、指定区间的概率 【分析】（1）首先求得乘客体重大于的概率为，再利用二项分布可求得概率得分布列和期望值； （2）根据可得保证该轮渡不超载的概率不低于等价于，解不等式可得. 【详解】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 题型十六 概率分布的综合应用问题 【例16】（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 【变式16-1】（24-25高二上·江西宜春·期末）下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用随机变量分布列的性质解题、二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 【变式16-2】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、方差的实际应用、二项分布方差与均值的关系 【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可； （2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可. 【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为, 则可能为2，3，4， 则, 由题意知，贾某轩答对的题数满足， 故, 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道， 故共答对3首歌名的概率：. （2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下： X 2 3 4 P 故期望， 方差， 且，故，, 故. 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动 【变式16-3】（23-24高二下·广东梅州·期末）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是． (1)若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率； (2)若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率； (3)已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？ 【答案】(1) (2) (3)选择了主干道Ⅱ行驶较好 【知识点】计算条件概率、独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题、均值的实际应用 【分析】（1）设堵车次数为，分析可知，结合二项分布分析求解； （2）设相应事件，结合条件概率分析求解即可； （3）根据（1）（2）中的结论，分别求平均堵车时间，对比分析即可. 【详解】（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为， 由题意可知：， 所以其恰遇到一次堵车的概率. （2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为， 可知， 则， 可得，， ，， 所以其遇到堵车的概率. （3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：， 所以平均拥堵时间为分钟； 若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为， 由（2）可得： ，，， 则， 所以平均拥堵时间为分钟； 因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$