10.3 频率与概率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第十章　概率 10．3　频率与概率 一、 频率的稳定性 二、 利用频率估计概率 三、 频率与概率的实际应用 四、 用随机模拟估计概率 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(四十九)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习目标　1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系．　2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题．　3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率． 【情境导思】　历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示： 问题1　随着实验次数的增加，硬币正面朝上次数发生的频率有什么变化规律？ 提示：频率在常数0.5附近波动． 【知识提炼】　 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的 ．因此，我们可以用频率fn(A) 概率P(A). 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 微提醒 频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值． 稳定 稳定性 估计 例1　某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　) A．概率为 eq \f(4,5) B．频率为 eq \f(4,5) C．频率为8 D．概率接近于8 解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为 eq \f(m,n).如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故 eq \f(8,10)＝ eq \f(4,5)为事件A的频率． 答案：B 感悟升华　(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定． (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【即学即用】　1.(1)下列说法正确的是(　　) A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 解析：一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确． 答案：D (2)甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2 000次，其中正面朝上的有1 034次，则下列说法正确的是(　　) A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 解析：甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误． 答案：B 例2　一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892 (1)计算男婴的出生频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 解：(1)计算即得男婴出生的频率依次约为0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3. (2)因为这些频率非常接近0.517 3，所以这一地区男婴出生的概率约为0.517 3. 感悟升华　(1)用频率估计概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率 eq \f(m,n)作为事件A的概率的近似值． (2)用频率估计概率的步骤 ①确定随机事件A的频数nA； ②由fn(A)＝ eq \f(nA,n)计算频率fn(A)(n为试验的总次数)； ③由频率fn(A)估计概率P(A). 【即学即用】　2.某教授为了测试A地区和B地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后对测试结果做了统计，统计结果如表所示． A地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 B地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 (1)将两表补充完整(结果保留小数点后三位)； (2)分别估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率． 解：(1)A地区依次填：0.533，0.540，0.520，0.520，0.512，0.503. B地区依次填：0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550. (2)A地区和B地区参加测试的儿童得60分以上的频率分别趋近于0.5和0.55，故所求概率分别约为0.5和0.55. 例3　“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人． 解析：由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有7 600× eq \f(36,50)＝5 472. 答案：5 472 感悟升华　由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率． 【即学即用】　3.在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有________个． 解析：设袋中红球有x个，根据题意，得＝0.8，解得x＝16，经检验x＝16是分式方程的解，所以袋中红球有16个． 答案：16 问题2　用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？ 提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 【知识提炼】　 1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形． 2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型． 3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤： 一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随机模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率． 例4　(2024·湖北荆州高二期末)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数： 425　123　423　344　144　435　525 332　152　342　534　443　512　541 135　432　334　151　312　354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为(　　) A． eq \f(9,20) B． eq \f(1,2) C． eq \f(11,20) D． eq \f(13,20) 解析：设事件A＝“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件A发生了13次，用频率估计事件A的概率近似为 eq \f(13,20). 答案：D 感悟升华　用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． (1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点． (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 【即学即用】　4.(2024·湖北荆门期末)在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生[1，5]内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为________. 解析：由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为 eq \f(7,15). 答案： eq \f(7,15) 1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　) A．若他投100次，一定有50次投中 B．若他投一次，一定投中 C．他投一次投中的可能性大小为50% D．以上说法均错 答案：C 2．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的(　　) A．频率为 eq \f(3,5) B．概率为 eq \f(3,5) C．频率为12 D．概率接近 eq \f(3,5) 解析：抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上”，所以A的频率为P＝ eq \f(12,20)＝ eq \f(3,5). 答案：A 3．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是(　　) A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 解析：由题意知，取到号码为奇数的频率为 eq \f(11＋5＋5＋19＋11,100)＝0.51. 答案：B 4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492，496，494，495，498，497，501，502，504，496，497，503，506，508，507，492，496，500，501，499. 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________. 解析：袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为 eq \f(5,20)＝0.25. 答案：0.25 【基础巩固】 1．总数为10万张的彩票，中奖率是 eq \f(1,1 000)，则下列说法中正确的是(　　) A．买1张一定不中奖 B．买1 000张一定中奖 C．买2 000张一定中奖 D．买2 000张不一定中奖 解析：中奖率是 eq \f(1,1 000)只是刻画了中奖的可能性，随机事件发生与否是随机的，概率不能决定是否发生，因此选项ABC说法都不正确；选项D说法正确． 答案：D 2．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80 分以上为优秀(含 80 分).现将参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50，60)，第二组[60，70)，第三组[70，80)，第四组[80，90)，第五组[90，100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.3，0.15，0.1，0.05，而第二小组的频数是40，则估计参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是(　　 ) A．50，0.15 B．50，0.75 C．100，0.15 D．100，0.75 解析：由题得第二小组的频率是1－0.3－0.15－0.1－0.05＝0.4，频数为40. 设参赛人数为x，则0.4x＝40，解得x＝100. 因为成绩优秀的频率为0.1＋0.05＝0.15， 所以估计成绩优秀的概率为0.15. 答案：C 3．(多选)(2024·四川成都高二期中)下述关于频率与概率的说法中，错误的是(　　) A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 eq \f(3,7) C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10 000，所估计出的概率也不一定很准确 解析：对于A，从中任取100件，可能有10件次品，A错误；对于B，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是 eq \f(3,7)，不是概率为 eq \f(3,7)，B错误；对于C，多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；对于D，10 000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确． 答案：ABC 4．(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 解析：北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确． 答案：BCD 5．(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24 h内最高气温将升至37 ℃以上)，在今后的3天中，每一天最高气温在37 ℃以上的概率是 eq \f(3,5).用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116　785　812　730　134　452　125 689　024　169　334　217　109　361 908　284　044　147　318　027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是(　　) A． eq \f(3,5) B． eq \f(1,2) C． eq \f(13,20) D． eq \f(2,5) 解析：由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：116，812，730，217，109，361，284，147，318，027，共10个，故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是 eq \f(10,20)＝ eq \f(1,2). 答案：B 6．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是____． 解析：由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小，所以使误差较小的可能性大的估计值是0.615. 答案：0.615 7．(2024·上海期中)袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10 000次，有6 973次取到红球，有3 027次取到黄球，那么红球最有可能有________个． 解析：因为红球所占比例为 eq \f(6 973,10 000)×100%＝69.73%，所以红球的个数最有可能有10×69.73%≈7. 答案：7 8．(2024·四川绵阳检测)甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423　123　423　344　114　453　525 332　152　342　534　443　512　541 125　432　334　151　314　354 据此估计甲获得冠军的概率为______． 解析：由题意得甲获胜的情况有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种，所以估计甲获得冠军的概率为P＝ eq \f(13,20)＝0.65. 答案：0.65 9．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率( eq \f(m,n)) (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 解：(1)根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率( eq \f(m,n)) 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 (2)由(1)中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9. 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 10．某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示： 鱼卵数 200 600 900 1 200 1 800 2 400 孵化出的鱼苗数 188 548 817 1 067 1 614 2 163 孵化成功的频率 0.940 0.913 0.908 ① 0.897 ② (1)表中①②对应的频率分别为多少(结果保留三位小数)? (2)估计这种鱼卵孵化成功的概率． (3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个(精确到百位)? 解：(1) eq \f(1 067,1 200)≈0.889， eq \f(2 163,2 400)≈0.901， 所以①②对应的频率分别为0.889，0.901. (2)从表中数据可以看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9. (3)设大概需要鱼卵n个，由题意知，＝0.9，所以n＝ eq \f(5 000,0.9)≈5 600(个). 【综合运用】 11．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是(　　 ) A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 解析：由折线图可知，频率在0.3到0.4之间．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误； 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为 eq \f(1,6)，不符合，故B错误； 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 eq \f(1,4)，不符合，故C错误； 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为 eq \f(1,3)，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确． 答案：D 12．众所周知，长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为(　　) A． eq \f(3,14) B． eq \f(5,14) C． eq \f(3,7) D． eq \f(4,7) 解析：设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，且每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a，所以有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h，且其中有0.4a—0.15a＝0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为P＝＝ eq \f(5,14). 答案：B 13．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 eq \f(40,100)＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 eq \f(28,100)＝0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润 65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 eq \f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15(元). 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 －70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 eq \f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10(元). 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务． 【创新探索】 14．深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑．请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由． 解：设城市的出租车有1 000辆，那么依题意可得如下信息： 证人所说的颜色(正确率80%) 真实颜色 蓝色 红色 合计 蓝色(85%) 680 170 850 红色(15%) 30 120 150 合计 710 290 1 000 从表中可以看出，当证人说出租车是红色的，它确定是红色的概率为 eq \f(120,290)≈0.41，而它是蓝色的概率为 eq \f(170,290)≈0.59， 在实际数据面前，作为警察以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车来说显然是不公平的． $$