6.2.4 向量的数量积(一)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．2　平面向量的运算 6．2．4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) 一、 向量的夹角 二、 向量的数量积 三、 投影向量 四、 平面向量数量积的性质 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(五)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．　2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 非零 ∠AOB 问题1　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是什么的夹角？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角． 【知识提炼】　 条件 两个 向量a和b 产生过程 O是平面上的任意一点，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则 ＝θ叫做向量a与b的夹角 反向 续表 范围 特殊情况 θ＝0 a与b θ＝ eq \f(π,2) a与b ，记作a⊥b θ＝π a与b 微提醒 (1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，两直线夹角的范围是[0， eq \f(π,2)]. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． [0，π] 同向 垂直 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，且∠AOB＝60°. 以 eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OACB，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b， eq \o(BA,\s\up6(→))＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以 eq \o(OC,\s\up6(→))与 eq \o(OA,\s\up6(→))的夹角为30°， eq \o(BA,\s\up6(→))与 eq \o(OA,\s\up6(→))的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 感悟升华　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 【即学即用】　1.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \f(1,2)AB，则 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角是(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：如图，作向量 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))，则∠BAD是 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝ eq \f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. 答案：C 问题2　物体在力F的作用下产生位移时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W＝|F||s|cos θ(θ是F与s的夹角). 【知识提炼】　 平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为 |a||b|cos θ 0 例2　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)a·b； (2)(a＋b)·(a－2b). 解：(1)由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (2)(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12. 感悟升华　定义法求平面向量的数量积 已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【即学即用】　2.(1)已知正三角形ABC的边长为 eq \r(2)， eq \o(AB,\s\up6(→))＝c， eq \o(BC,\s\up6(→))＝a， eq \o(CA,\s\up6(→))＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 解析：∵|a|＝|b|＝|c|＝ eq \r(2)，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝ eq \r(2)× eq \r(2)×cos 120°×3＝－3. 答案：－3 (2)在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝________， eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＝________， eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝________． 解析：由题意，得| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(CA,\s\up6(→))|＝4 eq \r(2)， 所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝4×4×cos 90°＝0， eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＝4×4 eq \r(2)×cos 135°＝－16， eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝4 eq \r(2)×4×cos 135°＝－16. 答案：0　－16　－16 【情境导思】　在计力对小车所做的功的过程中，我们会先求力在小车运动方向上的分力为|F|cos θ. 问题3　由a·b＝|a||b|cos θ，你会联想到什么？ 提示： 【知识提炼】　 1．投影向量的定义 如图， 设a，b是两个非零向量， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(CD,\s\up6(→))＝b，过 eq \o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作 eq \o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 eq \o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b ， eq \o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的 ． 投影 投影向量 2．投影向量公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 小思考　向量a在向量b上的投影向量与向量b有什么关系？ 提示：是平行向量． 例3　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量． 解：∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴a在b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×(－ eq \f(1,2))b＝－ eq \f(3,2)b. 变式探究　 本例改为求b在a上的投影向量． 解：∵|a|＝3，∴ eq \f(a,|a|)＝ eq \f(1,3)a， ∴b在a上的投影向量为|b|cos 120° eq \f(a,|a|)＝1×(－ eq \f(1,2))× eq \f(1,3)a＝－ eq \f(1,6)a. 感悟升华　投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ eq \f(b,|b|). 【即学即用】　3.设非零向量a和b，它们的夹角为θ，a和b的单位向量分别为e1，e2. (1)若|a|＝5，θ＝150°，求a在b方向上的投影向量； (2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影向量． 解：(1)|a|·cos θe2＝5×cos 150°e2＝5×(－ eq \f(\r(3),2))e2＝－ eq \f(5\r(3),2)e2， ∴a在b方向上的投影向量为－ eq \f(5\r(3),2)e2. (2) eq \f(a·b,|a|)＝ eq \f(9,6)＝ eq \f(3,2)，∴b在a方向上的投影向量为 eq \f(3,2)e1. 【知识提炼】　 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ ． (2)a⊥b⇔ ． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ eq \r(a·a). (4)|a·b|≤|a||b|. |a|cos θ a·b＝0 例4　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|. 解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 将|a|＝4，|b|＝3代入上式，得a·b＝－6， 所以cos θ＝ eq \f(a·b,|a|·|b|)＝ eq \f(－6,4×3)＝－ eq \f(1,2). 又0≤θ≤π，所以θ＝ eq \f(2π,3). (2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13， 所以|a＋b|＝ eq \r(13). 感悟升华　(1)利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据． (2)根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化． 【即学即用】　4.(1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　 ) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝ eq \f(a·b,|a|·|b|)＝ eq \f(|b|2,2|b|2)＝ eq \f(1,2)，所以a与b的夹角为 eq \f(π,3). 答案：B (2)已知向量a，b满足|a|＝ eq \r(2)，a与b的夹角为135°，|a＋b|＝ eq \r(5)，则|b|＝________． 解析：∵|a＋b|＝ eq \r(5)，∴a2＋2a·b＋b2＝5，∴|a|2＋2|a|·|b|cos θ＋|b|2＝5，∴|b|2－2|b|－3＝0，∴|b|＝3或|b|＝－1(舍去). 答案：3 1．已知|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2 eq \r(3)，a与b的夹角为120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝ eq \r(3)×2 eq \r(3)×(－ eq \f(1,2))＝－3. 答案：B 2．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为 eq \f(π,3)，则b在a方向上的投影向量为________． 解析：b在a方向上的投影向量为|b|cos eq \f(π,3) eq \f(a,|a|)＝2× eq \f(1,2)a＝a. 答案：a 3．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3 eq \r(3)，则a与b的夹角为________． 答案： eq \f(π,6) 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(3\r(3),2×3)＝ eq \f(\r(3),2)，所以θ＝ eq \f(π,6). 4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影向量为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝ eq \f(12,5)，即a在b方向上的投影为 eq \f(12,5)· eq \f(b,|b|)＝ eq \f(12,25)b. 答案： eq \f(12,25)b 【基础巩固】 1．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　　 ) A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＜0，∴cos θ＜0.又θ∈[0，π]，∴θ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 答案：C 2．(多选)以下命题不正确的是(　　 ) A．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0 B．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 C．a与b是两个单位向量，则a2＝b2 D．若△ABC是等边三角形，则 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为60° 解析： 题述命题中只有C正确．因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然A，B错误；根据两个向量夹角的概念， eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角应为120°. 答案：ABD 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　 ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(3,2) C．1＋ eq \f(\r(3),2) D．2 解析： a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2). 答案：B 4．已知a·b＝－12 eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(　　 ) A．12 B．3 C．6 D．3 eq \r(3) 解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12 eq \r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6. 答案：C 5．(2024·天津南开高一检测)向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为(　　 ) A．5 B．－5 eq \r(3) C．－5 D．5 eq \r(3) 解析：由题意得，所求投影向量为|a|cos 150°· eq \f(b,|b|)，所以所求投影向量的模为|a||cos 150°|·| eq \f(b,|b|)|＝10×|－ eq \f(\r(3),2)|＝5 eq \r(3). 答案：D 6．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(CD,\s\up6(→))的夹角为________． 解析：如图， eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(CD,\s\up6(→))的夹角为∠ABC＝120°. 答案：120° 7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝ eq \f(\r(2),2)，则a与b的夹角为________． 解析：设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(\r(2),2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝ eq \f(π,4). 答案： eq \f(π,4) 8．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为_________． 解析：a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2× eq \f(1,2)e＝e. 答案：e 9．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角为θ＝120°， ①求a·b； ②求a在b上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②a在b上的投影向量为|a|·cos θ eq \f(b,|b|)＝5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))× eq \f(b,4)＝－ eq \f(5,8)b. (2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 10．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值； (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？ 解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2 ＝|b|2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,|b|2))) eq \s\up12(2)＋|a|2－ eq \f((a·b)2,|b|2). ∵b是非零向量，∴|b|≠0， ∴当t＝－ eq \f(a·b,|b|2)时，|u|＝|a＋tb|的值最小． (2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)·|b|2))＝a·b－a·b＝0， ∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u. 【综合运用】 11．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝(　　 ) A. 20 B． eq \r(10) C. 2 eq \r(5) D． eq \r(15) 解析：由题意，知a＝－ eq \f(1,2)e1－ eq \f(7,2)e2，b＝－ eq \f(3,2)e1－ eq \f(1,2)e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝ eq \r(20)＝2 eq \r(5). 答案：C 12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　 ) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析：cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－6,2×5)＝－ eq \f(3,5)，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝ eq \f(4,5)，∴|a×b|＝2×5× eq \f(4,5)＝8. 答案：A 13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则| a＋2b |＝________． 解析：方法一：|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝ eq \r(12)＝2 eq \r(3). 方法二：利用如下图形，可以判断出a＋2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为2 eq \r(3). 答案：2 eq \r(3) 14．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 eq \o(OP,\s\up6(→))＝x eq \o(OA,\s\up6(→))＋y eq \o(OB,\s\up6(→)). (1)若 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \o(PB,\s\up6(→))，求x，y的值； (2)若 eq \o(AP,\s\up6(→))＝3 eq \o(PB,\s\up6(→))，| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝2，且 eq \o(OA,\s\up6(→))与 eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，求 eq \o(OP,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))的值． 解：(1)若 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \o(PB,\s\up6(→))，则 eq \o(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up6(→))，故x＝y＝ eq \f(1,2). (2)因为| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3). 又因为 eq \o(AP,\s\up6(→))＝3 eq \o(PB,\s\up6(→))，所以| eq \o(PB,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)， 所以| eq \o(OP,\s\up6(→))|＝ eq \r(22＋(\f(\r(3),2))2)＝ eq \f(\r(19),2)，cos ∠OPB＝ eq \f(\r(57),19). 所以 eq \o(OP,\s\up6(→))与 eq \o(AB,\s\up6(→))的夹角θ的余弦值为－ eq \f(\r(57),19)， 所以 eq \o(OP,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝| eq \o(OP,\s\up6(→))|| eq \o(AB,\s\up6(→))|cos θ＝－3. 【创新探索】 15．如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→))，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝2，则 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝(　　 ) A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3) C．3 D． eq \r(3) 解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→)))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))，由AD⊥AB，可知 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝0，又因为 eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→))，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝2，所以 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \r(3)| eq \o(BD,\s\up6(→))|·| eq \o(AD,\s\up6(→))|·cos ∠ADB＝ eq \r(3)×2×| eq \o(BD,\s\up6(→))|× eq \f(2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BD,\s\up6(→)))))＝4 eq \r(3). 答案：B 16．(2024·广东佛山高一检测)如图，正六边形ABCDEF边长为1，记 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为b的起点和终点，则a·b的最大值为________． 解析：由于a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为a与b的夹角，要使a·b最大，而|a|是定值，只需|b|及cos θ最大即可，当cos θ最大时取cos θ＝1，此时θ＝0°，即a∥b且a与b同向，要使|b|最大又要使a∥b且a与b同向，则b＝ eq \o(FC,\s\up6(→))，此时a·b的最大值为(a·b)max＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 0°＝2. 答案：2 $$