6.2.2 向量的减法运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．2　平面向量的运算 6．2．2　向量的减法运算 一、 相反向量 二、 向量的减法运算 三、 向量减法的综合应用 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(三)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．　2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．　3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算． 问题1　类比实数x的相反数是－x，对于向量a，你能定义“相反向量”－a吗？ 提示：－a与向量a长度相等，方向相反． 【知识提炼】　 定义 与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝a 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 相反 相等 例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　 ) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n方向相反 解析：相反向量的大小相等，方向相反，故A错误，其他选项正确． 答案：BCD 感悟升华　(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． (2)避免将相反向量等同于方向相反的向量，应是方向相反且模相等的向量． 【即学即用】　1.(多选)下列命题中正确的是(　　 ) A．相反向量就是方向相反的向量 B．向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BA,\s\up6(→))是相反向量 C．两个向量的差仍是一个向量 D．相反向量是共线向量 解析：根据相反向量的概念可知，A错误，其他选项均正确． 答案：BCD 提示：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b). 问题2　在数的运算中，减法是加法的逆运算．那么在向量运算中，向量的减法能否看作是向量加法的逆运算？ 提示：能． 问题3　类比数的减法法则，你能定义向量的减法法则吗？ 起点 终点 终点 【知识提炼】　 定义 求 的运算叫做向量的减法．向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b) 作法 在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝ ．如图所示 几何 意义 如果把两个向量a，b的 放在一起，则a－b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量 两个向量差 相反向量 eq \o(BA,\s\up6(→)) 小思考　(1)移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式适用． (2)在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|? 提示：当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立． 例2　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法一：如图①，在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作 eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则 eq \o(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c. 方法二：如图②，在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作 eq \o(CB,\s\up6(→))＝c，连接OC，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c. 感悟升华　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量． 【即学即用】　2.如图所示，O为△ABC内一点， eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b， eq \o(OC,\s\up6(→))＝c.求作：b＋c－a. 解：方法一：如图，以 eq \o(OB,\s\up6(→))， eq \o(OC,\s\up6(→))为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则 eq \o(OD,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝b＋c， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a. 方法二：作 eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，连接AD，则 eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝c－a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝c－a＋b＝b＋c－a. 例3　化简( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→)))－( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(BD,\s\up6(→))). 解：方法一(统一成加法)：( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→)))－( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(BD,\s\up6(→)))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DA,\s\up6(→))＝0. 方法二(利用减法)：( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→)))－( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(BD,\s\up6(→)))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))－ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(DB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝0. 感悟升华　向量减法运算的常用方法 【即学即用】　3.(1)化简： ① eq \o(OM,\s\up6(→))－ eq \o(ON,\s\up6(→))＋ eq \o(MP,\s\up6(→))－ eq \o(NA,\s\up6(→))； ②( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BO,\s\up6(→))＋ eq \o(OA,\s\up6(→)))－( eq \o(DC,\s\up6(→))－ eq \o(DO,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))). 解：① eq \o(OM,\s\up6(→))－ eq \o(ON,\s\up6(→))＋ eq \o(MP,\s\up6(→))－ eq \o(NA,\s\up6(→))＝ eq \o(NM,\s\up6(→))＋ eq \o(MP,\s\up6(→))－ eq \o(NA,\s\up6(→))＝ eq \o(NP,\s\up6(→))－ eq \o(NA,\s\up6(→))＝ eq \o(AP,\s\up6(→)). ②( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BO,\s\up6(→))＋ eq \o(OA,\s\up6(→)))－( eq \o(DC,\s\up6(→))－ eq \o(DO,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→)))＝( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→)))－( eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→)))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))－ eq \o(BC,\s\up6(→))＝0. (2)如图，已知 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b， eq \o(OC,\s\up6(→))＝c， eq \o(OD,\s\up6(→))＝d， eq \o(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量． ① eq \o(AC,\s\up6(→))；② eq \o(AD,\s\up6(→))；③ eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))；④ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))；⑤ eq \o(BF,\s\up6(→))－ eq \o(BD,\s\up6(→)). 解：① eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝c－a. ② eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AO,\s\up6(→))＋ eq \o(OD,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝d－a. ③ eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝d－b. ④ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OF,\s\up6(→))－ eq \o(OC,\s\up6(→))＝b－a＋f－c. ⑤ eq \o(BF,\s\up6(→))－ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(OF,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))－( eq \o(OD,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→)))＝ eq \o(OF,\s\up6(→))－ eq \o(OD,\s\up6(→))＝f－d. 1．如图，设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b， eq \o(BC,\s\up6(→))＝c，则 eq \o(DC,\s\up6(→))＝(　　 ) 解析：∵ eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋c，∴ eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))＝a＋c－b. 答案：A A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 2．化简 eq \o(OP,\s\up6(→))－ eq \o(QP,\s\up6(→))＋ eq \o(PS,\s\up6(→))＋ eq \o(SP,\s\up6(→))等于(　　 ) A． eq \o(QP,\s\up6(→)) B． eq \o(OQ,\s\up6(→)) C． eq \o(SP,\s\up6(→)) D． eq \o(SQ,\s\up6(→)) 解析：原式＝( eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(PQ,\s\up6(→)))＋( eq \o(PS,\s\up6(→))＋ eq \o(SP,\s\up6(→)))＝ eq \o(OQ,\s\up6(→))＋0＝ eq \o(OQ,\s\up6(→)). 答案：B 3．在△ABC中，O为BC的中点，记 eq \o(OA,\s\up6(→))＝m， eq \o(OB,\s\up6(→))＝n，则 eq \o(AC,\s\up6(→))＝(　　 ) A．－m－n B．－m＋n C．m－n D．m＋n 解析：由题意作图，结合向量的运算，可得 eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AO,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝－ eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝－m－n. 答案：A 4．若菱形ABCD的边长为2，则| eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))|的长度为________． 解析：| eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))|＝| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝2. 答案：2 【基础巩固】 1．在△OMN中， eq \o(ON,\s\up6(→))－ eq \o(MN,\s\up6(→))＋ eq \o(MO,\s\up6(→))＝(　　) A．0 B．2 eq \o(MO,\s\up6(→)) C．2 eq \o(OM,\s\up6(→)) D．0 解析： eq \o(ON,\s\up6(→))－ eq \o(MN,\s\up6(→))＋ eq \o(MO,\s\up6(→))＝ eq \o(ON,\s\up6(→))＋ eq \o(NM,\s\up6(→))＋ eq \o(MO,\s\up6(→))＝ eq \o(OM,\s\up6(→))＋ eq \o(MO,\s\up6(→))＝0. 答案：A 2．化简 eq \o(MA,\s\up6(→))－( eq \o(BA,\s\up6(→))－ eq \o(CM,\s\up6(→)))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　　 ) A．2 eq \o(MC,\s\up6(→)) B．2 eq \o(CB,\s\up6(→)) C．2 eq \o(BC,\s\up6(→)) D．0 解析：由题意可得 eq \o(MA,\s\up6(→))－( eq \o(BA,\s\up6(→))－ eq \o(CM,\s\up6(→)))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(MA,\s\up6(→))＋ eq \o(CM,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝0. 答案：D 3．(多选)下列结果恒为零向量的是(　　 ) A． eq \o(AB,\s\up6(→))－( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))) B． eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→)) C． eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OD,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) D． eq \o(NO,\s\up6(→))＋ eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(MN,\s\up6(→))－ eq \o(MP,\s\up6(→)) 解析：对于A， eq \o(AB,\s\up6(→))－( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→)))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(BA,\s\up6(→))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))，故A错误；对于B， eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，故B正确；对于C， eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OD,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝0，故C正确；对于D， eq \o(NO,\s\up6(→))＋ eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(MN,\s\up6(→))－ eq \o(MP,\s\up6(→))＝ eq \o(NP,\s\up6(→))＋ eq \o(PN,\s\up6(→))＝0，故D正确． 答案：BCD 4．在四边形ABCD中，O为任意一点，若 eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OD,\s\up6(→))＝0，则(　　 ) A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 解析：因为 eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OD,\s\up6(→))＝0，则 eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→))＝0，即 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，可知AB，CD两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确． 答案：D 5．设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b－a＋b所表示的意义为(　　 ) A．向东南走6 eq \r(2) km B．向东南走3 eq \r(6) km C．向西南走6 eq \r(2) km D．向西南走3 eq \r(6) km 解析：如图，分别作出 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝2b，则利用向量加法的交换律可得b－a＋b＝2b－a，故 eq \o(AB,\s\up6(→))＝2b－a，易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB＝45°，且| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝6 eq \r(2)，于是b－a＋b所表示的意义为向西南走6 eq \r(2) km. 答案：C 6．化简： eq \o(OB,\s\up6(→))－( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(OA,\s\up6(→)))＝_______． 解析： eq \o(OB,\s\up6(→))－( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(OA,\s\up6(→)))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))－( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AO,\s\up6(→)))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→)). 答案： eq \o(CB,\s\up6(→)) 7．在矩形ABCD中，| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝2，| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝4，则| eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))－ eq \o(DC,\s\up6(→))|＝________． 解析：在矩形ABCD中， eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))－ eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝2 eq \o(CA,\s\up6(→))，所以| eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))－ eq \o(DC,\s\up6(→))|＝2| eq \o(CA,\s\up6(→))|＝4 eq \r(5). 答案：4 eq \r(5) 8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2. 答案：0　2 9．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a. 解：作向量 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，向量 eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量 eq \o(BA,\s\up6(→))＝a－b，作向量 eq \o(AC,\s\up6(→))＝a，则 eq \o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋a，如图所示． 10．已知点B是▱ACDE内一点，且 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b， eq \o(AE,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示向量 eq \o(CD,\s\up6(→))、 eq \o(BC,\s\up6(→))、 eq \o(BE,\s\up6(→))、 eq \o(CE,\s\up6(→))及 eq \o(BD,\s\up6(→)). 解：∵四边形ACDE为平行四边形， ∴ eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(AE,\s\up6(→))＝c， eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝b－a， eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \o(AE,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝c－a， eq \o(CE,\s\up6(→))＝ eq \o(AE,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＝c－b， eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c. 【综合运用】 11．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则 eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(ED,\s\up6(→))＝(　　 ) A． eq \o(OD,\s\up6(→)) B． eq \o(DO,\s\up6(→)) C． eq \o(DA,\s\up6(→)) D． eq \o(AD,\s\up6(→)) 解析： eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(ED,\s\up6(→))＝ eq \o(EO,\s\up6(→))－ eq \o(ED,\s\up6(→))＝ eq \o(DO,\s\up6(→)). 答案：B 12．在平面上有A，B，C三点，设m＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))，n＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有(　　 ) A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 解析：以 eq \o(BA,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形，则m＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))，n＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(DB,\s\up6(→))，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形． 答案：C 13．如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b， eq \o(OD,\s\up6(→))＝c，则 eq \o(OB,\s\up6(→))＝________． 解析：由于 eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(DB,\s\up6(→))－ eq \o(DO,\s\up6(→))，而 eq \o(DB,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))＝a－b， eq \o(DO,\s\up6(→))＝－ eq \o(OD,\s\up6(→))＝－c，所以 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 14．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设 eq \o(PA,\s\up6(→))＝a， eq \o(PB,\s\up6(→))＝b， eq \o(PC,\s\up6(→))＝c，判断△ABC的形状． 解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0，所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形． eq \o(PD,\s\up6(→))＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°. 同理∠APB＝∠BPC＝120°. 又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形． 【创新探索】 15．如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则| eq \o(OP,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))|的最小值是________；最大值是________． 解析：| eq \o(OP,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))|＝| eq \o(AP,\s\up6(→))|，本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值，如图， 于是最小值为| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)，最大值为| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝2 eq \r(2). 答案： eq \r(2)　2 eq \r(2) 16．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则| eq \f(a＋b,a－b)|＝______． 解析：如图， 设 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝a－b，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，∠OAC＝120°，所以|a＋b|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)|a|，所以| eq \f(a＋b,a－b)|＝ eq \f(\r(3)|a|,|a|)＝ eq \r(3). 答案： eq \r(3) $$