6.2.1 向量的加法运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　 平面向量及其应用 6．2　平面向量的运算 6．2．1　向量的加法运算 一、 向量加法定义及三角形法则 二、 向量加法的平行四边形法则 三、 向量加法的运算律及应用 四、 向量加法的实际应用 课堂达标 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [课下巩固训练(二)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念．　2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．　3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 问题2　已知非零向量a，b，如何作出a，b的和？ 提示：类比位移的合成，将向量平移成首尾相接就可以进行合成了． 问题1　某人从A地经B地到达C地，两次位移 eq \o(AB,\s\up6(→))、 eq \o(BC,\s\up6(→))结果，与A地直接到C地的位移 eq \o(AC,\s\up6(→))关系如何？ 提示：结果相同，即 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→)). 【知识提炼】　 1．向量加法的定义 (1)求 的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a. 两个向量和 2．三角形法则 三 角 形 法 则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，再作向量 eq \o(AC,\s\up6(→)) 结论 向量 eq \o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＝ 图形 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) eq \o(AC,\s\up6(→)) 小思考　(1)向量加法的三角形法则的适用范围是什么？ 提示：任意向量． (2)你能用简洁的语言描述三角形法则吗？ 提示：首尾顺次相接，由首指向尾． 例1　求作下列向量的向量和． 解：(1)如图①所示，首先作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作 eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b. (2)如图②所示，作 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，再作 eq \o(CD,\s\up6(→))＝c，则 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c，即 eq \o(AD,\s\up6(→))＝a＋b＋c. 感悟升华　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点，即 eq \o(AA1,\s\up6(→))＋ eq \o(A1A2,\s\up6(→))＋…＋＝ eq \o(AAn,\s\up6(→)). 【即学即用】　1.如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，如图所示，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b， eq \o(BC,\s\up6(→))＝c，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c. 问题3　如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受合力F吗？ 提示： 问题4　已知非零向量a，b，如何作出a，b的和？ 提示：类比力的合成，将向量平移成起点相同就可以进行合成了． 【知识提炼】　 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 对角线 eq \o(OC,\s\up6(→))就是向量a与b的和 图形 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解：(1)首先作向量 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，然后作向量 eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则向量 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.如图③所示． (2)法一(三角形法则)　如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，再作向量 eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则得向量 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，然后作向量 eq \o(BC,\s\up6(→))＝c，则向量 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)　如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b， eq \o(OC,\s\up6(→))＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则 eq \o(OD,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则 eq \o(OE,\s\up6(→))＝ eq \o(OD,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求． 感悟升华　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 【即学即用】　2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(OQ,\s\up6(→))＝(　　 ) A． eq \o(OH,\s\up6(→)) B． eq \o(OG,\s\up6(→)) C． eq \o(FO,\s\up6(→)) D． eq \o(EO,\s\up6(→)) 解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示， 则 eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(OQ,\s\up6(→))＝ eq \o(OM,\s\up6(→))，由 eq \o(OM,\s\up6(→))和 eq \o(FO,\s\up6(→))的模相等，方向相同，得 eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \o(FO,\s\up6(→))，即 eq \o(OP,\s\up6(→))＋ eq \o(OQ,\s\up6(→))＝ eq \o(FO,\s\up6(→)). 答案：C 问题5　请结合教材P8例1，探索|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示：(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|； 若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 问题6　实数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 提示： 在如图①所示的平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，则在△ABC中， eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，在△ADC中， eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DC,\s\up6(→))＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法满足交换律． 如图②所示， eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋b， eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝b＋c，所以在△ADC中， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝(a＋b) ＋c，在△ADB中， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝a＋(b＋c)，从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律． a＋(b＋c) 【知识提炼】　 1．|a＋b|与|a|、|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤ ，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是 的非零向量时等号成立． 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝ 结合律 (a＋b)＋c＝ |a|＋|b| 方向相同 b＋a 例3　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： (1) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＝________； (2) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(FC,\s\up6(→))＝________； (3) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(FC,\s\up6(→))＝________． 解析：如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： (1) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→)). (2) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(FC,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DB,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→)). (3) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(FC,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋ eq \o(FC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→)). 答案：(1) eq \o(AC,\s\up6(→))　(2) eq \o(AB,\s\up6(→)) 　(3) eq \o(AC,\s\up6(→)) 变式探究　1.(变设问)在本例条件下，求 eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→)). 解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以 eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(CD,\s\up6(→)). 2．(变设问)在本例图形中求作向量 eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→)). 解：过A作AG∥DF交CF的延长线于点G， 则 eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＝ eq \o(DG,\s\up6(→))，作 eq \o(GH,\s\up6(→))＝ eq \o(CF,\s\up6(→))，连接 eq \o(DH,\s\up6(→))， 则 eq \o(DH,\s\up6(→))＝ eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))，如图所示． 感悟升华　向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 【即学即用】　3.化简：(1) eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))； (2) eq \o(DB,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))； (3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(FA,\s\up6(→)). 解：(1) eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))； (2) eq \o(DB,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(DB,\s\up6(→))＝0； (3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(FA,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＋ eq \o(DF,\s\up6(→))＋ eq \o(FA,\s\up6(→))＝0. 例4　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中，| eq \o(CD,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝v水＝10 m/min，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20 m/min， ∴cos α＝ eq \f(10,20)＝ eq \f(1,2)， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向． 变式探究　1.若本例条件不变，则经过3 h，该船的实际航程是多少？ 解：由题意可知| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)×20＝10 eq \r(3)(m/min)＝ eq \f(3\r(3),5)(km/h)， 则经过3 h，该船的实际航程是3× eq \f(3\r(3),5)＝ eq \f(9\r(3),5)(km). 2．若本例条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角). 解：如图所示，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝|v船|＝20 m/min， | eq \o(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10 m/min，则tan∠BAC＝2，即为所求． 感悟升华　利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 【即学即用】　4. 若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求： (1)|a＋b|； (2)指出向量a＋b的方向． 解：(1)如图所示，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则a＋b＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))，所以|a＋b|＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝ eq \r(82＋82)＝8 eq \r(2). (2)因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是北偏东45°. 答案：ABC 1．(多选)下列各式一定成立的是(　　 ) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C． eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析：A，B，C项满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则． 2．在四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是(　　 ) A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形 解析：由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形． 答案：D 解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c. 3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：A 4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 eq \r(3) km ”，则向量a＋b表示(　　 ) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋ eq \r(3))km 解析：如图，易知tan α＝ eq \f(1,\r(3))，所以α＝30°，故a＋b的方向是北偏东30°，且|a＋b|＝2 km. 答案：B 【基础巩固】 1．在平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))等于(　　 ) A． eq \o(BA,\s\up6(→)) B． eq \o(DA,\s\up6(→)) C． eq \o(DC,\s\up6(→)) D． eq \o(BC,\s\up6(→)) 解析： eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→))＝( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BD,\s\up6(→)))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→)). 答案：A 2．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　 ) A．与向量a的方向相同 B．与向量a的方向相反 C．与向量b的方向相同 D．不确定 解析：若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同． 答案：A 3．若非零不共线向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　 ) A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b| C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b| 解析：|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|，由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立． 答案：C 4．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DO,\s\up6(→))＝(　　 ) A． eq \o(CD,\s\up6(→)) B． eq \o(DC,\s\up6(→)) C． eq \o(DA,\s\up6(→)) D． eq \o(DO,\s\up6(→)) 解析： eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(DO,\s\up6(→))＝ eq \o(DO,\s\up6(→))＋ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(DA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(DB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→)). 答案：B 5．在矩形ABCD中，| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝2，则向量 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))的长度等于(　　 ) A．2 eq \r(5) B．4 eq \r(5) C．12 D．6 解析：因为 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))的长度为 eq \o(AC,\s\up6(→))的模的2倍，故答案是4 eq \r(5). 答案：B 6．化简( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(MB,\s\up6(→)))＋( eq \o(BO,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→)))＋ eq \o(OM,\s\up6(→))＝________． 解析：原式＝( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BO,\s\up6(→)))＋( eq \o(OM,\s\up6(→))＋ eq \o(MB,\s\up6(→)))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AO,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→)). 答案： eq \o(AC,\s\up6(→)) 7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝1，则| eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))|＝________． 解析：在菱形ABCD中，连接BD(图略)，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，又∵| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝1，∴| eq \o(BD,\s\up6(→))|＝1，| eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BD,\s\up6(→))|＝1. 答案：1 8．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________． 解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤4，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同． 答案：[0，4]　相同　 9．如图①②，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c. 解：(1)在平面内任意取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则 eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b. (2)在平面内任意取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝b， eq \o(BC,\s\up6(→))＝c，则 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c. 10．如图，已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1) eq \o(AO,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))； (2) eq \o(DE,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→)). 解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量 eq \o(AF,\s\up6(→))即为所求． (2)在AB上取点G，使AG＝ eq \f(1,3)AB，则向量 eq \o(BG,\s\up6(→))即为所求． 【综合运用】 11．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))＝ eq \o(PC,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是(　　 ) A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在AB边所在的直线上 D．P在△ABC的外部 解析： eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))＝ eq \o(PC,\s\up6(→))，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC的外部． 答案：D 12．在平行四边形ABCD中，若| eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是(　　 ) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以 eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(BD,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→)).又| eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))|，所以| eq \o(BD,\s\up6(→))|＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|，所以该平行四边形ABCD为矩形． 答案：B 13．已知点G是△ABC的重心，则 eq \o(GA,\s\up6(→))＋ eq \o(GB,\s\up6(→))＋ eq \o(GC,\s\up6(→))＝________. 解析：如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，则 eq \o(GB,\s\up6(→))＋ eq \o(GC,\s\up6(→))＝ eq \o(GD,\s\up6(→))， eq \o(GD,\s\up6(→))＋ eq \o(GA,\s\up6(→))＝0，∴ eq \o(GA,\s\up6(→))＋ eq \o(GB,\s\up6(→))＋ eq \o(GC,\s\up6(→))＝0. 答案：0 14．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N．求F1和F2的合力． 解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝ eq \o(OC,\s\up6(→)). 在△OCA中，| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝24，| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝12，∠OAC＝60°， ∴∠OCA＝90°，∴| eq \o(OC,\s\up6(→))|＝12 eq \r(3). ∴F1与F2的合力大小为12 eq \r(3) N，方向为与F2成90°角竖直向上． 【创新探索】 15．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝(i＝1，2，…，7)，bj＝ eq \o(OAj,\s\up6(→))(j＝1，2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7. 解：因为＋＝0， 所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋＝＝b6. 16．设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值． 解：在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(AB,\s\up6(→))＝e，则a＋e＝ eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))， 因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，|a＋e|最大，最大值是3. $$