7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．2　复数的四则运算 7．2．1　复数的加、减运算及其几何意义 学习目标　1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则．　2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 一、复数的加、减运算 【知识提炼】　 1．复数加法、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数的加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 小思考　关于复数的加法运算： (1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ (2)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？ (3)它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 提示：(1)两个复数的和是复数，它的值唯一确定． (2)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． (3)实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项． 例1　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. 解析：(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. 答案：－2－i (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． 解析：z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得x＝1，y＝0， 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝. 答案： 感悟升华　复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).　 【即学即用】　1.(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________． 解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i. 答案：－10i (2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________． 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i， 又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3. 答案：3 二、复数加、减运算的几何意义 问题　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 【知识提炼】　 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 例2　在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝(　　 ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选C.因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1＝1，z3＝－2＋i，所以由复数加法的几何意义可得，z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i. 变式探究　将本例改为：在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai(a，b∈R)，则a－b＝________． 解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i， 所以解得故a－b＝－4. 答案：－4 感悟升华　用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 【即学即用】　2.设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出＋. 解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图) 三、复数模的综合问题 例3　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　 ) A．1 B． C．2 D． 解析：选A.设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1. (2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值． 解：如图所示，||＝＝2，所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. 感悟升华　两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【即学即用】　3.(1)在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x＋y＝0对称，若z1＝2＋i，则|z2－1＋3i|＝(　　 ) A． B．1 C．5 D． 解析：选D. 因为z1＝2＋i，故其对应的点为(2, 1)，该点关于直线x＋y＝0对称的点为(－1，－2)，该点对应的复数为z2＝－1－2i，故|z2－1＋3i|＝|－1－2i－1＋3i|＝|－2＋i|＝. (2)△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　 ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：选A. 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心． 1．(2024·福建宁德阶段练习)－7＋(－3－i)＝(　　 ) A．10－i B．－10－i C．10＋i D．－10＋i 解析：选B. 由题意可得－7＋(－3－i)＝(－7－3)－i＝－10－i. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 3．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　 ) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 解析：选C.＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，故＋对应的复数为0. 4．已知复数z＝－4＋3i，则＋|z|＝______． 解析：因为z＝－4＋3i，所以|z|＝＝5，＝－4－3i，所以＋|z|＝1－3i. 答案：1－3i 5．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. (1)求z1－z2； (2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量． 解：(1)由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i. (2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中. 学科网（北京）股份有限公司 $$