6.3.1 平面向量基本定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3．1　平面向量基本定理 学习目标　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．　2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．　3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 一、平面向量基本定理 问题1　已知非零向量a，那么所有与a共线的向量，都能用a表示吗？如何表示？ 提示：能，b＝λa，λ∈R. 问题2　可以只用这个非零向量a来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 提示：不能，只能表示与a共线的向量． 问题3　要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 提示：需要两个不共线的向量． 【知识提炼】　 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 小思考　(1)平面向量的基底唯一吗？ 提示：基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一吗？ 提示：基底给定时，分解形式不唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3)零向量能作为基底向量吗？ 提示：不能．由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 例1　(多选)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析： 选ACD. 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底． 感悟升华　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【即学即用】　1.设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　 ) A． B．－ C．－3 D．3 解析：选B.因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2).故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－. 二、用基底表示向量 例2　如图所示，已知▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b，＝＝－＝－a. ∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. 变式探究　1.在本例中，若取＝x，＝y作为基底，试用x，y表示，. 解：依题意x＝a＋b，y＝a－b，∴x＋y＝2a，x－y＝2b，∴a＝(x＋y)，b＝(x－y)， 于是＝a－b＝(x＋y)－(x－y)＝x＋y，＝b－a＝(x－y)－(x＋y)＝x－y. 2．在本例中，若取＝e，＝f作为基底，试用e，f表示. 解：由例题，知＝a－b＝e，＝b－a＝f，解得a＝e＋f，b＝e＋f， ∴＝a－b＝e＋f－＝e－f. 感悟升华　用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义． (2)模型： 【即学即用】　2.△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示. 解：＝－＝e1－e2， 因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)， 所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2. 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解：设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2， ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2， 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝. 感悟升华　用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解． 【即学即用】　3.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. 解：(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点， 所以＝＝(c－a)， 因为点E是BD的中点， 所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)设＝λ(0<λ<1)， 所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，所以λ＝. 所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　 ) A．， B．， C．， D．， 解析：选B. 由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量． 2. 若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是(　　 ) A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线 C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0 解析：选B. 由平面向量基本定理知，当a与b不共线时，k1＝k2＝0. 3．已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝________，μ1＝________． 解析：∵λ1a＋b＝－a＋μ1b，∴(λ1＋1)a＋(1－μ1)b＝0，又∵a，b不共线，∴λ1＋1＝0且1－μ1＝0，即λ1＝－1，μ1＝1. 答案：－1　1 4．若a，b是同一平面内的两个不共线向量，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}能否作为平面向量的基底． 解：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即 (2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0， 但这样的λ是不存在的，从而c，d不共线， 故{c，d}能作为平面向量的基底． 学科网（北京）股份有限公司 $$