6.2.4 向量的数量积(一)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2．4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) 学习目标　1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．　2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 一、向量的夹角 问题1　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是什么的夹角？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角． 【知识提炼】　 条件 两个非零向量a和b 产生 过程 O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0 a与b同向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b θ＝π a与b反向 微提醒 (1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，两直线夹角的范围是[0，]. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 感悟升华　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 【即学即用】　1.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. 二、向量的数量积 问题2　物体在力F的作用下产生位移时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W＝|F||s|cos θ(θ是F与s的夹角). 【知识提炼】　 平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 例2　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)a·b； (2)(a＋b)·(a－2b). 解：(1)由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (2)(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12. 感悟升华　定义法求平面向量的数量积 已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【即学即用】　2.(1)已知正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 解析：∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3. 答案：－3 (2)在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________． 解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. 答案：0　－16　－16 三、投影向量 【情境导思】　在计力对小车所做的功的过程中，我们会先求力在小车运动方向上的分力为|F|cos θ. 问题3　由a·b＝|a||b|cos θ，你会联想到什么？ 提示： 【知识提炼】　 1．投影向量的定义 如图， 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．投影向量公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 小思考　向量a在向量b上的投影向量与向量b有什么关系？ 提示：是平行向量． 例3　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量． 解：∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴a在b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×(－)b＝－b. 变式探究　 本例改为求b在a上的投影向量． 解：∵|a|＝3，∴＝a， ∴b在a上的投影向量为|b|cos 120°＝1×(－)×a＝－a. 感悟升华　投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ. 【即学即用】　3.设非零向量a和b，它们的夹角为θ，a和b的单位向量分别为e1，e2. (1)若|a|＝5，θ＝150°，求a在b方向上的投影向量； (2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影向量． 解：(1)|a|·cos θe2＝5×cos 150°e2＝5×(－)e2＝－e2， ∴a在b方向上的投影向量为－e2. (2)＝＝，∴b在a方向上的投影向量为e1. 四、平面向量数量积的性质 【知识提炼】　 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 例4　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|. 解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 将|a|＝4，|b|＝3代入上式，得a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13， 所以|a＋b|＝. 感悟升华　(1)利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据． (2)根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化． 【即学即用】　4.(1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B. 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝＝＝，所以a与b的夹角为. (2)已知向量a，b满足|a|＝，a与b的夹角为135°，|a＋b|＝，则|b|＝________． 解析：∵|a＋b|＝，∴a2＋2a·b＋b2＝5，∴|a|2＋2|a|·|b|cos θ＋|b|2＝5，∴|b|2－2|b|－3＝0，∴|b|＝3或|b|＝－1(舍去). 答案：3 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角为120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B.a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×(－)＝－3. 2．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________． 解析：b在a方向上的投影向量为|b|cos ＝2×a＝a. 答案：a 3．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________． 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝. 答案： 4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影向量为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，即a在b方向上的投影为·＝b. 答案：b 学科网（北京）股份有限公司 $$