6.2.4 向量的数量积(二)-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　向量的数量积(二) 学习目标　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．　2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 一、向量数量积的运算律 【知识提炼】　 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.平面向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 小思考　(1)若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，能否得到a＝b? 提示：不能． (2)(a·b)·c与a·(b·c)能相等吗？ 提示：不能．因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　 ) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：选ACD. 根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确． 感悟升华　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 【即学即用】　1.(1)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝________. 解析：a·b＝(－e1＋2e2)·(2e1＋e2)＝－2e＋3e1·e2＋2e＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2＝－. 答案：－ (2)给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 解析：由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 答案：② 二、利用向量的数量积求向量的模和夹角 例2　已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝. (1)求a与b的夹角； (2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝， 又因为|a|＝1，所以|b|＝＝， 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，所以|a－b|＝； 又(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，所以|a＋b|＝， 设a＋b与a－b的夹角为α，则cos α＝＝＝. 感悟升华　(1)求向量夹角的基本步骤： (2)求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． 【即学即用】　2.(1)已知单位向量a，b满足(a＋b)·(a－3b)＝－，则cos 〈a，b〉＝(　　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.∵(a＋b)·(a－3b)＝a2－3b2－2a·b＝1－3－2cos 〈a，b〉＝－，∴cos 〈a，b〉＝－. (2)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(a＋b)＝－1，则|a＋2b|＝(　　 ) A． B．2 C．5 D．20 解析：选B. 因为a·(a＋b)＝－1，所以a2＋a·b＝4＋a·b＝－1，所以a·b＝－5，所以|a＋2b|＝＝＝＝2. 三、与垂直有关的问题 例3　已知向量a，b的夹角为α，|a|＝1，cos α＝－，若(3a＋b)⊥(a－2b)，则|b|＝(　　 ) A．3 B． C．2 D． 解析：选D.因为向量a，b的夹角为α，|a|＝1，cos α＝－，所以a·b＝|a||b|cos α＝－|b|，又(3a＋b)⊥(a－2b)，所以(3a＋b)·(a－2b)＝0，即3a2－6a·b＋a·b－2b2＝0，所以3－5×(－)·|b|－2|b|2＝0，即2|b|2－|b|－3＝0，解得|b|＝或|b|＝－1(舍去). 感悟升华　解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 【即学即用】　3.已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． 解：由已知条件得 即 ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　 ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3. 2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B. 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 3．对于任意的平面向量a，b，c且它们相互不共线，下列说法正确的有(　　 ) A．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c D．(a·b)·c＝a·(b·c) 解析：选B.A选项，∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，A错误； B选项，由向量的数量积的分配律知，正确； C选项，若a，b，c两两垂直，满足a·b＝a·c，且a≠0，但无法得到b＝c，说法错误； D选项，如图所示，a与b垂直，但b与c不垂直，则(a·b)·c＝0，而a·(b·c)≠0，故说法错误． 4．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________． 解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$