6.2.1 向量的加法运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2　平面向量的运算 6．2．1　向量的加法运算 学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念．　2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．　3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 一、向量加法定义及三角形法则 问题1　某人从A地经B地到达C地，两次位移、结果，与A地直接到C地的位移关系如何？ 提示：结果相同，即＋＝. 问题2　已知非零向量a，b，如何作出a，b的和？ 提示：类比位移的合成，将向量平移成首尾相接就可以进行合成了． 【知识提炼】　 1．向量加法的定义 (1)求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a. 2．三角形法则 三 角 形 法 则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 小思考　(1)向量加法的三角形法则的适用范围是什么？ 提示：任意向量． (2)你能用简洁的语言描述三角形法则吗？ 提示：首尾顺次相接，由首指向尾． 例1　求作下列向量的向量和． 解：(1)如图①所示，首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b. (2)如图②所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c. 感悟升华　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点，即＋＋…＋＝. 【即学即用】　1.如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. 二、向量加法的平行四边形法则 问题3　如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受合力F吗？ 提示： 问题4　已知非零向量a，b，如何作出a，b的和？ 提示：类比力的合成，将向量平移成起点相同就可以进行合成了． 【知识提炼】　 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 对角线就是向量a与b的和 图形 例2　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示． (2)法一(三角形法则)　如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)　如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 感悟升华　向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 【即学即用】　2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示， 则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. 三、向量加法的运算律及应用 问题5　请结合教材P8例1，探索|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？ 提示：(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|； 若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 问题6　实数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 提示： 在如图①所示的平行四边形ABCD中，＝＝a，＝＝b，则在△ABC中，＝＋＝a＋b，在△ADC中，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法满足交换律． 如图②所示，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以在△ADC中，＝＋＝(a＋b) ＋c，在△ADB中，＝＋＝a＋(b＋c)，从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律． 【知识提炼】　 1．|a＋b|与|a|、|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立． 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 例3　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)＋＋＝________． 解析：如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： (1)＋＝＋＝. (2)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. 答案：(1)　(2) 　(3) 变式探究　1.(变设问)在本例条件下，求＋. 解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝. 2．(变设问)在本例图形中求作向量＋＋. 解：过A作AG∥DF交CF的延长线于点G， 则＋＝，作＝，连接， 则＝＋＋，如图所示． 感悟升华　向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 【即学即用】　3.化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解：(1)＋＝＋＝； (2)＋＋＝＋＋＝0； (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0. 四、向量加法的实际应用 例4　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中，||＝||＝v水＝10 m/min，||＝|v船|＝20 m/min， ∴cos α＝＝， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向． 变式探究　1.若本例条件不变，则经过3 h，该船的实际航程是多少？ 解：由题意可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)， 则经过3 h，该船的实际航程是3×＝(km). 2．若本例条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角). 解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min， ||＝|v水|＝10 m/min，则tan∠BAC＝2，即为所求． 感悟升华　利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 【即学即用】　4. 若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求： (1)|a＋b|； (2)指出向量a＋b的方向． 解：(1)如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8. (2)因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是北偏东45°. 1．(多选)下列各式一定成立的是(　　 ) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析：选ABC.A，B，C项满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则． 2．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是(　　 ) A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形 解析：选D.由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形． 3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选A.向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c. 4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量a＋b表示(　　 ) A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋)km 解析：选B. 如图，易知tan α＝，所以α＝30°，故a＋b的方向是北偏东30°，且|a＋b|＝2 km. 学科网（北京）股份有限公司 $$