第05讲 平行线（5大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第05讲 平行线 目录 题型归纳 题型01 平行公理及其推论的应用 3 题型02 同位角、内错角、同旁内角 5 题型03 平行线的判定 7 题型04 平行线的性质 9 题型05 根据平行线的性质探究角的关系 10 题型06 根据平行线的性质求角的度数 12 题型07 根据平行线的判定与性质求角度 17 题型08 根据平行线的判定与性质证明 20 分层练习 夯实基础 27 能力提升 32 知识点01 平行线的意义和基本性质 1、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 知识点02同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 知识点03．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点04．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 知识点05．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 题型01 平行公理及其推论的应用 1．（22-23七年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的个数有（      ） ①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行；②同位角相等；③两直线平行，内错角相等；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） （）直线外一点到一条直线的垂线段叫做该点到这条直线的距离； （）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等； （）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 5．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 6．（21-22七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 7．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 题型02 同位角、内错角、同旁内角 1．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，图中所有的同位角共有几对（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列各图中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 6．（21-22七年级下·上海·期中）如图，与∠1构成内错角的所有角是 ． 7．（21-22七年级下·上海宝山·阶段练习）如图所示，∠EDB的同旁内角有 ． 8．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有 对，同旁内角有 对．    9．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，和是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．的内错角有 个，的同位角有 个． 题型03 平行线的判定 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，点E在的延长线上，则下列选项中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 4．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与直线、分别交于点E、F，要使，需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 5．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 题型04 平行线的性质 1．（22-23七年级下·上海·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 2．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 4．（21-22七年级下·上海杨浦·期末）如图，于A点，过A点作，若，则 ． 5．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，的度数为 ． 题型05 根据平行线的性质探究角的关系 1．（22-23七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 5．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    6．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 7．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 题型06 根据平行线的性质求角的度数 1．（22-23七年级下·上海·期中）在同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的2倍少，那么 °． 2．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，的度数是∠1的两倍，那么的度数是 ． 3．（22-23七年级下·上海·期中）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ．    4．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，将沿折叠，点A落在点处，，再将绕点D顺时针旋转，旋转角为，当旋转至与的一边平行时，的度数为 ． 5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为 ．(用含的代数式表示) 6．（22-23七年级下·上海·期中）如图，直线被直线所截，交点为点G、H，，，垂足为点G，，，求的度数． 7．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 8．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 9．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 题型07 根据平行线的判定与性质求角度 1． （22-23七年级下·上海·期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则 度． 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，，，，那么＝ ． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，直线，将一个含有角的直角三角尺放置在如图所示的位置，如果，那么 ． 4．（22-23七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 5．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 6．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？    解：过点E作， 得（ ） 因为（已知） （所作） 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补） 所以 ．（等式性质） 即 ． 因为（已知） 所以 ．（等式性质） 7．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数． 解：∵AB∥CD ∴∠A＝∠ADC　 　； 又∵∠A＝50° ∴∠ADC＝50°； ∵CD∥EF ∴∠F+∠　 　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）； 又∵∠F＝120° ∴∠CDF＝　 　；∴∠ADF＝　 　； ∵DG平分∠ADF ∴∠ADG＝∠　 ＝　 　°　 　； ∴∠CDG＝∠ADG﹣∠　 　＝　 　°． 8．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 题型08 根据平行线的判定与性质证明 1．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知，请你说明为什么． 解：______（请添写辅助线说明）， 所以______， 因为已知， 即， 所以____________， 所以______， 所以______． 2．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，，．说明的理由．    3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知，，那么，为什么？ 解：因为 （已知）， 所以（                            ）， 所以（                                  ）． 因为（    ）， 所以 （    ），    即，                                                                                                                      所以（                                ）， 所以（ 两直线平行，内错角相等  ）． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知中，分别是边上的点，点是线段上的点，且． 试说明：．    5．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，E、F分别是和上的点，、分别交于G、H，，，，试说明：．（写出推理依据） 6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知于点G，请判断与是否垂直，请补全说理过程及依据． 解：因为（已知） 所以（ ） 又（已知） 可得（ ） 所以 （ ） 所以（ ） 因为于点G 所以 所以 所以（ ） 7．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，直线和直线被直线所截，，说明． 解：因为（已知）， 所以（____________________）． 因为（已知）， 所以（等式性质）． 即_________． 所以（内错角相等，两直线平行）． 8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，垂足为点D，，说明． 解：因为已知）， 所以______（垂直的意义）， 因为， 所以（等量代换）， 所以（____________________）， 所以（____________________）， 因为（已知）， 所以（____________________）． 所以_______________（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 9．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 10．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知点D是延长线上一点，， ，与互补吗？请说明理由． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D为上一点，，G为上一点，，，问和有怎样的位置关系，并加以说明． 12．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 二、填空题 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是 角，与是 角． 7．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，如果，那么 °． 8．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 9．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 10．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 三、解答题 12．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 15．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，求证：． 16．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，交于点，且，求证：平分． 17．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于如图给定的图形（不再添线），从①；②；③；④中选取两个作为已知条件，通过说理能得到． (1)你选择的两个条件是______（填序号）； (2)根据你选择的两个条件，说明的理由． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，平分，平分，且，下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 8．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么 ．    9．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则的周长为 ． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线，直线与直线AB、CD相交与点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为 ． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则 ．    三、解答题 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据） 13．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知，是的角平分线，交于点，交的延长线于点，且，请说明的理由． 14．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，，那么，为什么？ 解：因为（已知）， 所以 ___________， 所以 ___________． 因为 ___________， 所以 ___________， 即， 所以 ___________， 所以（两直线平行，内错角相等）． 15．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 16．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 17．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，的对应点分别为，．请直接写出当边时的值． 18．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 19．（2024七年级下·上海·专题练习）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 20．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行线 目录 题型归纳 题型01 平行公理及其推论的应用 3 题型02 同位角、内错角、同旁内角 7 题型03 平行线的判定 13 题型04 平行线的性质 17 题型05 根据平行线的性质探究角的关系 21 题型06 根据平行线的性质求角的度数 29 题型07 根据平行线的判定与性质求角度 44 题型08 根据平行线的判定与性质证明 55 分层练习 夯实基础 69 能力提升 82 知识点01 平行线的意义和基本性质 1、平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 2、平行线的基本性质 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （2）平行线之间的距离处处相等； （3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）． （4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等． 知识点02同位角、内错角、同旁内角(三线八角) 若直线a，b被直线所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如） （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角．（如） （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的 一对角互为同旁内角．（如） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 知识点03．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点04．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 知识点05．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 题型01 平行公理及其推论的应用 1．（22-23七年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的个数有（      ） ①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行；②同位角相等；③两直线平行，内错角相等；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据平行线的判断和性质，平行公理分别判断即可． 【详解】解：①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行，故正确； ②两直线平行，同位角相等，故错误； ③两直线平行，内错角相等，故正确； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确； ∴正确的个数有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理，平行线的判断和性质，是基础概念题，熟记概念是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） （）直线外一点到一条直线的垂线段叫做该点到这条直线的距离； （）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等； （）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行线的性质，平行公理，平行线的判定，根据点到直线的距离，平行线的性质，平行公理，平行线的判定，逐一判断即可求解，熟练掌握有关定义与性质是解题的关键． 【详解】解：（）直线外一点到一条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，原说法错误； （）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，原说法错误； （）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该说法正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【分析】本题考查了平行的传递性、平行线的性质，对顶角，熟练掌握知识点解答本题的关键． 根据平行的传递性可判断A；根据两直线的位置关系可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、根据平行的传递性可知A正确，故本选项符合题意； B、若与相交，与相交，则与可能相交或平行，故本选项不符合题意； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行公理，两直线的位置关系，垂线的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，点到直线的距离，平行线的性质以及三角形的三边关系．熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、在同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故说法正确；； D、三角形两边之和大于第三边，故说法错误；； 故选：C． 6．（21-22七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【答案】/ 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 7．（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行． 【详解】解：在同一平面内，，， ． 故答案为：． 题型02 同位角、内错角、同旁内角 1．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，图中所有的同位角共有几对（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【答案】C 【分析】本题考查的是同位角的辨认，熟悉同位角的特征是解题的关键． 根据同位角的特征，在截线的同侧，在被截线的位置一致，按照“F”形态特征进行选择即可． 【详解】解：图中的同位角有：与；与；与；与；与；与；共6对； 故选C 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列各图中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：与是同位角的是C选项， 如图所示，直线被所截，在的同侧，的同侧， 故选：C． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角判断即可． 【详解】解：的内错角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等定义，能熟记内错角的定义是解此题的关键． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意； D、与是内错角，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（21-22七年级下·上海·期中）如图，与∠1构成内错角的所有角是 ． 【答案】∠DEF或∠DEC 【分析】根据内错角的定义即可判断，注意有两解． 【详解】解：∠1与∠DEF可以看成直线AB与直线EF被直线DE所截的内错角， ∠1与∠DEC可以看成直线AB与直线AC被直线DE所截的内错角， 故答案为∠DEF或∠DEC． 【点睛】本题考查内错角、同位角、同旁内角等知识，解题的关键是理解内错角的定义，属于基础题． 7．（21-22七年级下·上海宝山·阶段练习）如图所示，∠EDB的同旁内角有 ． 【答案】∠BED，∠FED，∠B 【分析】根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：∠EDB的同旁内角有∠BED，∠FED，∠B． 故答案为：∠BED，∠FED，∠B． 【点睛】本题考查了同旁内角．解题的关键是掌握同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 8．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有 对，同旁内角有 对．    【答案】 2 3 【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答． 【详解】解：由图可知： 内错角有：和，和，共2对， 同旁内角有：和，和，和，共3对， 故答案为：2，3． 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“ ”形，内错角的边构成“ ”形，同旁内角的边构成“”形． 9．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，和是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．的内错角有 个，的同位角有 个． 【答案】a；c；d；内错；2；4 【分析】根据同位角，内错角的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，同位角，内错角，解题的额关键是：熟练掌握同位角，内错角的特征． 【详解】解：如图：设直线a与直线d相交于点A，直线b与直线c相交于点B， 和是直线a与直线c被直线d所截得到的内错角．的内错角是和，的同位角是，，，，共有3个， 故答案为：a；c；d；内错；2；4． 题型03 平行线的判定 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误； B、根据，不能判定，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项正确； D、根据，不能判定，故该选项错误； 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，点E在的延长线上，则下列选项中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ，不能判断，故该选项不符合题意； B、， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴， 不能判定，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， 不能判定，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ，故选项不符合题意； B、∵，，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，，故选项不符合题意； 故选：C． 4．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与直线、分别交于点E、F，要使，需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理，即可进行解答． 【详解】解：要使，需添加一个条件，这个条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行． 5．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 题型04 平行线的性质 1．（22-23七年级下·上海·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等． 【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是， 由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：， 由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 2．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由可得到，故项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，由得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（21-22七年级下·上海杨浦·期末）如图，于A点，过A点作，若，则 ． 【答案】45°/45度 【分析】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再根据可知， 把，代入求出的值， 进而可得出结论，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 题型05 根据平行线的性质探究角的关系 1．（22-23七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 【答案】A 【分析】画出图形，根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行分析． 【详解】解：如图所示， 和，和两对角符合条件． ∴，或， 即两个角相等或互补， 故选：A．    【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况． 2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】由平行线的性质以及角平分线的定义求得，再证明得到，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与互余的角有，共5个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义以及互余的定义，由角平分线的定义及平行线的性质得出是解题关键． 3．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得． 【详解】解：如图，过点作，过作   ， ， ， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（平行于同一直线的两直线互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）． 所以（等式性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补． 7．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 题型06 根据平行线的性质求角的度数 1．（22-23七年级下·上海·期中）在同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的2倍少，那么 °． 【答案】110或30 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可知或，再结合题意得出两个角之间的关系，进而得出答案． 【详解】∵的两边与的两边分别平行， ∴或. ∵比的2倍少， ∴. 当时，， 解得； 当时， ∴， 解得， ∴. 所以或. 故答案为：110或30． 2．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，的度数是∠1的两倍，那么的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了对顶角相等以及平行线的性质求角的度数， 由对顶角相等得出，由已知条件可得出，由平行线的性质可得出，即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如下图所示： ∵， 又∵的度数是∠1的两倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·上海·期中）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ．    【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟知平行线的性质与常规三角板套装中三角板的特点是解答此题的关键．过点E作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：如图所示，过点E作，    ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，将沿折叠，点A落在点处，，再将绕点D顺时针旋转，旋转角为，当旋转至与的一边平行时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先求出图1中，再分图2和图3两种情况，根据平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，由折叠的性质可得， ∴； 如图2所示，当时，则， ∴； 如图3所示，当时，则， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为 ．(用含的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，分别过作，过作，过作，再根据平行线的性质和角的和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． 设，则， ∵平分， ∴， 设， ∴， 过作，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（22-23七年级下·上海·期中）如图，直线被直线所截，交点为点G、H，，，垂足为点G，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质、垂直定义及一元一次方程的应用，熟练掌握性质和概念是解题的关键．设，由平行得出，列方程解决． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 7．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】(1) (2)秒或秒或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． （1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论； （2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒； 故答案为：15秒或63秒或135． 8．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 题型07 根据平行线的判定与性质求角度 1．（22-23七年级下·上海·期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，，，，那么＝ ． 【答案】65 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．过点C作，可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：65 3．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，直线，将一个含有角的直角三角尺放置在如图所示的位置，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，则，根据平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作，则， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过作，求出，根据平行线的性质得出，，代入求出即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质， 先利用同旁内角互补证明，再根据内错角相等证明，再根据平行线的性质即可求解 【详解】解：， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 6．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？    解：过点E作， 得（ ） 因为（已知） （所作） 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补） 所以 ．（等式性质） 即 ． 因为（已知） 所以 ．（等式性质） 【答案】两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；； 【分析】过E作，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出，将度数代入即可求出的度数． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式性质）． 即． 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；；． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型题目，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 7．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数． 解：∵AB∥CD ∴∠A＝∠ADC　 　； 又∵∠A＝50° ∴∠ADC＝50°； ∵CD∥EF ∴∠F+∠　 　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）； 又∵∠F＝120° ∴∠CDF＝　 　；∴∠ADF＝　 　； ∵DG平分∠ADF ∴∠ADG＝∠　 ＝　 　°　 　； ∴∠CDG＝∠ADG﹣∠　 　＝　 　°． 【答案】两直线平行，内错角相等；CDF；60；110；ADF；55；角平分线的意义或定义；ADC；5． 【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，∠ADC与∠CDF的度数，又由DG平分∠ADF，则可求得∠ADG的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵AB∥CD ∴∠A＝∠ADC（两直线平行，内错角相等） 又∵∠A＝50° ∴∠ADC＝50° ∵CD∥EF ∴∠F+∠CDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ） 又∵∠F＝120° ∴∠CDF＝60° ∴∠ADF＝110°， ∵DG平分∠ADF ∴∠ADG＝∠ADF＝55°，（   角平分线的意义或定义  ） ∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ADC＝5°． 故答案为：两直线平行，内错角相等；CDF；60；110；ADF；55；角平分线的意义或定义；ADC；5． 【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意两直线平行，内错角相等与同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用． 8．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）①先求得的度数，即可得到的度数； ②先求得的度数，即可得到的度数； （2）依据，，即可得到与互补． （3）分5种情况求解：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ∴ 故答案为：． （2）． 理由如下： ∵，， ∴． ∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （3）①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ⑤当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴∠， ∴ ∴． 故答案为：． 题型08 根据平行线的判定与性质证明 1．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知，请你说明为什么． 解：______（请添写辅助线说明）， 所以______， 因为已知， 即， 所以____________， 所以______， 所以______． 【答案】见解析 【分析】过点作，由平行线的性质可得，再由，从而求得，即有，从而得． 【详解】解：过点作， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 即， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（平行于同一直线的两条直线平行）． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 2．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，，．说明的理由．    【答案】见解析 【分析】根据内错角相等，两直线平行，先证明，再根据两直线平行，同旁内角互补得，结合已知条件，可得出，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明． 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知，，那么，为什么？ 解：因为 （已知）， 所以（                            ）， 所以（                                  ）． 因为（    ）， 所以 （    ），    即，                                                                                                                      所以（                                ）， 所以（ 两直线平行，内错角相等  ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 先根据题意得出，故可得出，再由得出，进而可得出，据此可得出结论． 【详解】解：因为 （已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以 （等式性质），    即，                                                                                                                      所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知中，分别是边上的点，点是线段上的点，且． 试说明：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：点是线段上的点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，E、F分别是和上的点，、分别交于G、H，，，，试说明：．（写出推理依据） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知于点G，请判断与是否垂直，请补全说理过程及依据． 解：因为（已知） 所以（ ） 又（已知） 可得（ ） 所以 （ ） 所以（ ） 因为于点G 所以 所以 所以（ ） 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂线的定义 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，以及垂线的定义，先由平行线的性质，得出，再证明，根据，即可得出，则结合垂线的定义即可作答． 【详解】解：因为（已知） 所以（两直线平行，内错角相等） 又（已知） 可得（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 因为于点G 所以 所以 所以（垂线的定义） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂线的定义 7．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，直线和直线被直线所截，，说明． 解：因为（已知）， 所以（____________________）． 因为（已知）， 所以（等式性质）． 即_________． 所以（内错角相等，两直线平行）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；； 【分析】本题考查平行线的判定与性质；读懂每步推理，结合平行线的性质与判定即可完成． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等式性质）． 即． 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； 8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，垂足为点D，，说明． 解：因为已知）， 所以______（垂直的意义）， 因为， 所以（等量代换）， 所以（____________________）， 所以（____________________）， 因为（已知）， 所以（____________________）． 所以_______________（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据平行线的性质与判定条件，垂直的定义结合已给推理过程进行证明即可． 【详解】解：因为已知）， 所以（垂直的意义）， 因为， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（同角的补角相等）． 所以 （内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；． 9．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由可分别得，则；由得，则，由平行的传递性质即可得与平行． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知点D是延长线上一点，， ，与互补吗？请说明理由． 【答案】互补；理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键，先证，得出，进而证明，从而证出结论． 【详解】解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D为上一点，，G为上一点，，，问和有怎样的位置关系，并加以说明． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质是解题的关键； 根据同角的补角相等求出，在证，则，等量代换求出，即可判定 ，得，根据，即可求出结论． 【详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， ． 12．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 按照所给证明思路，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，；两直线平行，内错角相等；，；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ，故选项不符合题意； B、∵，，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意可分两种情况，进而画出图形，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ①如图， ∵，，， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：、， （同位角相等，两直线平行），故能判定； 、， （内错角相等，两直线平行），故能判定； 、， （同位角相等，两直线平行），故不能判定； 、， （同旁内角互补，两直线平行），故能判定； 故选：C． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据平行线的性质分别判断得出即可． 【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是 角，与是 角． 【答案】 同位 同旁内 【分析】此题考查了同位角、同旁内角的定义；根据同位角、同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可得，与是是同位角；与是是同旁内角； 故答案为：同位、同旁内． 7．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，如果，那么 °． 【答案】110 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，对顶角相等，根据对顶角相等可得出，再利用平行线的性质可得出，再由对顶角相等可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：110． 8．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 9．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定，对顶角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：如图，设交于点M， ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；． 10．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 三、解答题 12．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【答案】，；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平得出；根据等量代换可得，进而根据内错角相等两直线平行，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴; ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据两直线平行同位角相等可得，等量代换可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，交于点，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的意义；根据已知得出，即可得出，结合已知等量代换可得，即可得证． 【详解】解： ， （已知） （垂直的意义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） 平分（角平分线的意义） 17．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于如图给定的图形（不再添线），从①；②；③；④中选取两个作为已知条件，通过说理能得到． (1)你选择的两个条件是______（填序号）； (2)根据你选择的两个条件，说明的理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，适当选择解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，选择②③， 故答案为：②③． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 利用同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行对A、B、C进行判断；根据同旁内角互补，两直线平行对D进行判断． 【详解】解：A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 5．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 【答案】D 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图：    ∵， ， ， ； 当时，如图：    ∵， ； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，平分，平分，且，下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义， 根据平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义分别对每个小题进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 又∵平分，即， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， 又∵，， ， ∴， 故③正确； ④∵， ∴，． ∵无法证明， ∴无法证明． 故④不正确． 故选：． 二、填空题 7．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，由得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么 ．    【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， 故答案为：100． 9．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点D、E在边上，则的周长为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的判定等知识点．本题的关键是将的周长就转化为边的长． 根据平行线的性质可证的和为等腰三角形，从而将的周长转化为的长． 【详解】解：∵、分别是和的角平分线， ， ， ， ， ， ， 的周长， 即的周长是． 故答案为：3． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线，直线与直线AB、CD相交与点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点处，若，．则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确的作出图形，运用分类思想是解题的关键．当点Q在平行线之间时，设，由折叠可得根据平行线的性质即可得到结论；当点Q在的下方时，设，由得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：分两种情况： 如图，当点Q在平行线之间时， 设，由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点Q在的下方时， 设，由得，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或． 11．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则 ．    【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质求解，根据平行线性质求角度，根据题意分两种情况：①当绕点逆时针旋转当时；②当绕点逆时针旋转当时，分别画出图进行求解即可． 【详解】解：如图，当绕点逆时针旋转当时，   ， ， ， ； 当绕点逆时针旋转当时，   ， ， 故答案为：或． 三、解答题 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、平角等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，易得，进而证明，结合题意可得，易得，可证明，再证明，然后可知，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可证明结论． 【详解】证明：如下图，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知条件）， ∴（等量代换）， ∵（已知条件）， ∴（垂直的定义）， ∴（平角的定义）， ∴（等量代换）， ∵（已知条件）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 13．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知，是的角平分线，交于点，交的延长线于点，且，请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出．根据平行线的性质得出，进而利用平行线的判定得出，进而解答即可． 【详解】（已知） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） 是的角平分线（已知） （角平分线的意义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 14．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知，，那么，为什么？ 解：因为（已知）， 所以 ___________， 所以 ___________． 因为 ___________， 所以 ___________， 即， 所以 ___________， 所以（两直线平行，内错角相等）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 先根据题意得出，故可得出，再由得出，进而可得出，据此可得出结论． 【详解】解：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为 （已知）， 所以（等式性质）， 即， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行． 15．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）．由已知可得，即得，即可得到； （）由，，可得，进而得到，即可得到，得到，即可求解； （）画出图形，分两种情况解答即可求解； 本题考查了角的和差，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 16．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 17．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，的对应点分别为，．请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①6②满足条件的的值为或． 【分析】考查了平行线的性质，旋转动角问题，角平分线的定义等知识， （1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题． ②分两种情形：如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 掌握平行线的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①中，   ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）①如图②中，   ， ， ， ， ， ． 在旋转过程中，若边，的值为6． ②如图③中，当时，延长交于．       ， ， ， ， ， ， ； 如图③中，当时，延长交于，   ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，满足条件的的值为或． 18．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或，证明见解析 【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可． （2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． ②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． 【详解】（1）解：如图，作， ， ，， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 综上，可得 当在直线上运动（不与点重合）时，或． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 19．（2024七年级下·上海·专题练习）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①，②见解析， 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）解：①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 若是的k系补周角， 则， ∴， 过F作， 又， ，， ，即， ∴k， 又∵，， ∴， ∵平分，PD平分， ∴，， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意，添加合适辅助线是解题的关键． 20．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】(1)，见解析 (2)不变化 (3)或，见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解： ，不会变化，其证明与第一问相同． （3）证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$