课时达标检测10 二面角(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 课时达标检测(十)　二面角 D 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 C 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 C 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 B 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 B 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 B 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 AC 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 BD 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 D 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课时达标检测(十)　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 基础达标 一、单项选择题 1.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为 ( ) A. B.- C. D.± 解析　因为=,所以这个二面角的余弦值为或-。 2.如图所示,在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC,沿AD将△ABD折起,若折起后B,C两点间距离为a,则二面角B⁃AD⁃C的大小为 ( ) 　 ① ② A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　折叠前后,都有AD⊥BD,AD⊥DC,所以∠BDC为二面角B⁃AD⁃C的平面角。因为BD=DC=a,BC=a,所以△BDC为等边三角形,所以∠BDC=60°。 3.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,点E,F分别为C1D1,A1B的中点,则二面角 B1⁃A1B⁃E的余弦值为 ( ) A.- B.- C. D. 解析　设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),因为E,F分别为C1D1,A1B的中点,所以E(0,1,2), F(1,1,1),所以=(-1,1,0),=(0,2,-2),设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则所以所以取x=1,则y=z=1,所以平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1),又DA⊥平面A1B1B,所以=(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量,所以cos<m,>===,又二面角B1⁃A1B⁃E为锐二面角,所以二面角B1⁃A1B⁃E的余弦值为,故选C。 4.若与一个二面角的两个面分别平行的向量为m=(-1,2,0),n=(1,0,-2),且m,n都与二面角的棱垂直,则二面角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析　设二面角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|===,sin θ==。 5.已知三棱锥P⁃ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形,顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心,PA=AB=1,BC=,则PB与底面ABC所成角的大小为 ( ) A.60° B.30° C.45° D.90° 解析　设△ABC的外心为O,PB与底面ABC所成的角为θ。由AB=1,BC=,知AC=,则OA=。又PA=1,PO⊥AC,所以PO=,因为OB=OA=,得tan θ=,所以θ=30°。 6.如图所示,M,N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于点E,现将△ADE沿DE折起,使二面角A⁃DE⁃B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成的角的大小为 ( ) A.45° B.90° C.135° D.180° 解析　建立空间直角坐标系,如图所示。由题意知△ABE为等腰直角三角形。设CD=1,则BE=1,AB=1,AE=。设BC=DE=2a,则E(0,0,0), A(1,0,1),N(1,a,0),D(0,2a,0),M,所以=,=(-1,0, -1),所以·=·(-1,0,-1)=0,故⊥,从而MN与AE所成的角为90°。 二、多项选择题 7.平面α的法向量为n1=(1,0,-1),平面β的法向量为n2=(0,-1,1),则平面α与β所成二面角的大小为 ( ) A. B. C. D. 解析　设二面角大小为θ,则cos<n1,n2>==-,所以cos θ=或cos θ=-,所以θ=或θ=。故选AC。 8.如图,已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则 ( ) A.∠ADE为二面角A⁃PC⁃B的平面角 B.∠AED为二面角A⁃PB⁃C的平面角 C.∠DAE为二面角B⁃PA⁃C的平面角 D.∠ACP为二面角A⁃BC⁃P的平面角 解析　因为AB为圆的直径,所以BC⊥AC,因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,即∠ACP为二面角A⁃BC⁃P的平面角,故D正确。又因为BC⊥平面PAC,所以AD⊥BC,又AD⊥PC,所以AD⊥平面PBC,AD⊥PB。又PB⊥AE,AE∩AD=平面ADE,所以PB⊥平面ADE,所以PB⊥DE,即∠AED为二面角A⁃PB⁃C的平面角,故B正确。 三、填空题 9.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,则二面角B1⁃A1C⁃C1的大小为  。  解析　如图,建立空间直角坐标系。则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2), B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,因为BM⊥AC,BM⊥CC1,所以BM⊥平面AA1C1C,即=(1,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量。设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),=(-2,2,-2),=(-2,0,0),所以令z=1,解得x=0,y=1。所以n=(0,1,1)是平面A1B1C的一个法向量。设法向量n与的夹角为φ,二面角B1⁃A1C⁃C1的大小为θ,显然θ为锐角。所以cos θ=|cos φ|==,解得θ=。所以二面角B1⁃A1C⁃C1的大小为。 10.如图,二面角α⁃l⁃β的大小是60°,线段AB⊂α。B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成角的正弦值是  。  解析　如图,过点A作平面β的垂线,垂足为C,在平面β内过C作l的垂线,垂足为D,连接AD。由三垂线定理可知AD⊥l,故 ∠ADC为二面角α⁃l⁃β的平面角,为60°。又由已知,∠ABD=30°,连接CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角。设AD=2,则AC= ,AB==4,所以sin∠ABC==。 11.四边形ABCD是边长为2的正方形,MA和PB都与平面ABCD垂直,且PB=2MA=2,当M,P在平面ABCD同侧时,平面PMD与平面ABCD所成的二面角的余弦值为  ,当M,P在平面ABCD异侧时,平面PMD与平面ABCD所成二面角的余弦值为  。  解析　△MPD在平面ABCD上的射影为△ABD,易得S△ABD=2。设平面PMD与平面ABCD所成的二面角为θ,当M,P在平面ABCD同侧时,S△MPD=,所以cos θ==。当M,P在平面ABCD异侧时,S△MPD=,所以cos θ==。 四、解答题 12.如图,在空间直角坐标系Cxyz中,AB是圆O的直径,AC=BC=2,DC∥EB,DC=EB, tan∠EAB=,求二面角D⁃AE⁃B的余弦值。 解　由题意可知AB=4,因为tan∠EAB=,所以CD=EB=1,所以D(0,0,1),E(0,2,1), A(2,0,0),B(0,2,0),所以=(-2,2,0),=(0,0,1),=(2,0,-1),=(0,2,0)。设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即所以y1=0,令x1=1,则z1=2,所以平面DAE的一个法向量为n1=(1,0,2)。设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即所以z2=0,令x2=1,则y2=1,所以平面ABE的一个法向量为n2=(1,1,0)。所以cos<n1,n2>===。由图可以判断二面角D⁃AE⁃B为钝角,所以二面角D⁃AE⁃B的余弦值为-。 13.如图①,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,以对角线BD为折痕把△ABD折起,使点A到达如图②所示的点E的位置,使EC=2。 　 ① ② 求二面角B⁃CE⁃D的余弦值。 解　因为四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,所以△ABD为等边三角形。连接AC交BD于点O。又AB=4,所以OA=OC=2,所以OE=OC=2。在△OCE中,EC=2,OE2+OC2 =EC2,所以OE⊥OC。又OE⊥BD,BD∩OC=O,所以OE⊥平面BDC,所以OB,OC,OE两两垂直。 解法一:以O为原点,OB,OC,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,0,0),E(0,0,2),C(0,2,0),=(0,-2,2),=(-2,2,0),=(2,2,0)。设平面BCE的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由得所以令y1=1,得m=(,1,1)是平面BCE的一个法向 量。设平面CDE的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由得所以令y2=1,得n=(-,1,1)是平面CDE的一个法向量。故cos<m,n>===-。由图可知二面角B⁃CE⁃D为锐角,所以二面角B⁃CE⁃D的余弦值为。 1 ② 解法二:取CE的中点为M,连接BM,DM,易知BM⊥CE,DM⊥CE,且BM=DM=,所以∠BMD为所求角,cos∠BMD==。 拓广探索 14.一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3。若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 ( ) ①　　 　　②　　　　　③ A.P3>P2>P1 B.P3>P2=P1 C.P3=P2>P1 D.P3=P2=P1 解析　斜面的投影面积相等,且cos α=,所以P1=P2=P3,故选D。 15.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点。 (1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值; (2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F⁃AB⁃P的余弦值。 解　依题意,以A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), P(0,0,2)。由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)。 (1)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2),=(0,1,1)。设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量。则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量。于是有cos<n,>===。所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为。 (2)向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0)。由点F在棱PC上,设=λ, 0≤λ≤1。故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ)。由BF⊥AC,得·=2(1-2λ)+2(2-2λ) =0,解得λ=。即=-,,。设n1=(x1,y1,z1)为平面FAB的法向量,则即不妨令z1=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量。取平面ABP的一个法向量为n2=(0,1,0),则cos<n1,n2>===-。易知,二面角F⁃AB⁃P是锐角,所以其余弦值为。 $$