1.2.4 二面角(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2.4　二面角 1.2　空间向量在立体 几何中的应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 45° 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 arccos 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 60° 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.4　二面角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　在“神八”与“天宫1号”对接的过程中,根据需要,必须使它们飞行的轨道平面与地球赤道平面成一定的角度;在修筑水坝时,也必须使水坝面与水平面成适当的角度,才能使水坝坚固耐用。关于面与面所成的角,正是我们这一节学习的内容。 理解二面角和二面角的平面角的概念,会用向量的方法求二面角。 二面角的面 知识点一、二面角及其度量 1.二面角的定义。 平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为　　　　　　。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为　　　　,这条直线称为　　　　　　,这两个半平面称为　　　　　　。  一个半平面 二面角 二面角的棱 2.二面角的表示。 棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作　　　　　　。如图所示,若A∈α,B∈β,二面角也可以记作　　　　　　　。  二面角α-l-β 二面角A-l-B 3.二面角的平面角。 (1)定义:如图所示,在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为　　　　　　　　。  (2)二面角的取值范围:　　　　　　。  (3)直二面角:平面角是直角的二面角称为直二面角。 二面角的平面角 [0,π] 知识点二、用空间向量求二面角的大小 n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,如图①②所示,则有θ=　　　　　或θ=　　　　　,sin θ=　　　　　。  　 <n1,n2> π-<n1,n2> sin<n1,n2> 微提醒 (1)①二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形。②两个平面相交,构成四个二面角。③二面角的平面角的大小与任取的O点位置无关。 (2)向量法求二面角的两种思路:①若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面α,β内与棱l垂直的异面直线,则向量与的夹角就是二面角的平面角。 ②设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β所在平面的法向量,则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角。 类型一　利用定义法求二面角 　　【例1】　如图所示,ABCD是正方形,V是平面ABCD外一点,且VA=VB=VC=AB。求二面角A⁃VB⁃C的余弦值。 解　作AE⊥VB于E,连接EC,由VA=AB可知E是VB的中点,又知VC=BC,故EC⊥VB。所以∠AEC是二面角A⁃VB⁃C的平面角。设AB=a,连接AC,在△AEC中,AE=EC=a,AC=a,由余弦定理可知: cos∠AEC==-,由图知,二面角A⁃VB⁃C的平面角是钝角,所以所求二面角A⁃VB⁃C的余弦值为-。 　　定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角; (2)写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角; (3)利用解三角形的知识求解。 【变式训练】　自二面角α⁃l⁃β的棱上一点A在平面β内引一条射线AC,它与棱l成45°角,和平面α成30°角,则二面角α⁃l⁃β的大小为 。  解析　如图所示,在射线AC上取一点C,作CD⊥平面α,在α内作DB⊥AB,垂足为B,连接BC。由三垂线定理知BC⊥AB,则∠CBD为二面角α⁃l⁃β的平面角。 设CD=a,又∠CAD为AC与平面α所成的角,即∠CAD=30°,所以AC=2a。又∠CAB=45°,所以BC=a。在Rt△CDB中,sin∠CBD==,所以 ∠CBD=45°,即二面角α⁃l⁃β为45°。 类型二　利用三垂线定理及其逆定理求二面角 【例2】　如图,S是△ABC所在平面外一点,且SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC, E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E⁃BD⁃C的大小。 解　因为SB=BC,E为SC的中点,所以SC⊥BE。由题设知,SC⊥ED,且ED∩EB=E,所以SC⊥平面BDE,所以SC⊥BD。又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BD。所以BD⊥平面SAC。所以∠EDC为二面角E⁃BD⁃C的平面角。设SA=a,则SB=a。又因为AB⊥BC,由三垂线定理,知SB⊥BC,所以SC=2a,在Rt△SAC中,因为SA=a,SC=2a,所以∠SCA=30°。故∠EDC=60°,即二面角E⁃BD⁃C的大小为60°。 　　用三垂线定理及其逆定理求二面角 (1)一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线,过垂足作棱的垂线(或过这个特殊点作棱的垂线,连接两个垂足),连接这个点和垂足,根据三垂线定理(或其逆定理)得平面角,再求二面角; (2)利用公式cos θ=求锐二面角。 【变式训练】　已知在三棱锥P⁃ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC。则二面角B⁃AP⁃C的大小为 。  解析　如图,过点B作BE⊥AC于点E,连接PE,因为PC⊥平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC。所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影。设PC=1,则PA=PB=,AB=1,所以△PAB中AB边上的高h=。所以S△PAB=,又S△PAE=S△PAC=。设二面角B⁃PA⁃C的大小为θ,由射影面积公式有cos θ==,所以θ=arccos。 类型三　利用向量法求二面角 　　【例3】　若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求锐二面角A⁃PB⁃C的余弦值。 解　如图所示建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(,1,0), C(0,1,0),P(0,0,1),故=(0,0,1),=(,1,0),=(,0,0),=(0, -1,1),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,则y=-,故m=(1,-,0)是平面PAB的一个法向量。设平面PBC的法向量为n=(x',y',z'),则即令y'=-1,则z'=-1,故n=(0,-1,-1)是平面PBC的一个法向量,所以cos<m,n>==。所以锐二面角A⁃PB⁃C的余弦值为。 　　用向量法求二面角的步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量; (3)求两个法向量的夹角; (4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角; (5)确定二面角的大小。 　　【变式训练】　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为  。  解析　以A为原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0), A1(0,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,-2),=(0,2,-1),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则所以令y=1,得n=(2,1,2)是平面A1ED的一个法向量。易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),则|cos<n,m>|==。 1.若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是 ( ) A.0 B. C. D. 解析　4×3+2×(-6)+0×5=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直。故这个二面角的余弦值是0。 2.如图,已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析　以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(1,0,0),E,D1(0,0,1),所以=(-1,0,1),=。设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),则⇒所以x=2y=z。取y=1,则n=(2,1,2)是平面AEFD1的一个法向量。又平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),所以cos<n,u>=,所以sin<n,u>=。 3.已知正四面体ABCD,则二面角A⁃BC⁃D的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析　如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,连接AE,DE,则∠AEO就是二面角A⁃BC⁃D的平面角。在Rt△AOE中, AE=AB,OE=AB,则cos∠AEO==。 4.正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为 。  解析　设一个侧面面积为S1,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为。由题意,得=。设侧面与底面所成二面角为θ,则cos θ===,所以θ=60°。 5.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD。若PA=AB,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。 解　以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1), D(1,0,0),C(1,1,0)。平面PAB的一个法向量为n1=(1,0,0)。设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),则得令x=1,则z=1。所以n2=(1,0,1)是平面PCD的一个法向量,cos<n1,n2>==。所以平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为。故所求二面角的大小为45°。 $$