1.2.3 直线与平面的夹角(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3　直线与平面的夹角 1.2　空间向量在立体 几何中的应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 30° 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 45° 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.3　直线与平面的夹角 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　赛艇比赛,是第29届奥运会主要赛事之一。1896年,男子赛艇比赛被正式纳入奥运会比赛项目,划杆与水平面所成角的大小,直接关系到赛艇的速度。如何确定划杆与水平面所成角,正是我们这一节学习的内容。 1.了解直线与平面的夹角的三种情况,理解斜线和平面所成角的概念。 2.了解三个角θ,θ1,θ2的意义,会利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角。 3.会求直线与平面所成的角。 知识点一、直线与平面的夹角 1.定义。 (1)如果一条直线与一个平面　　　　,则称这条直线与这个平面所成的角为90°。  (2)如果一条直线与一个平面　　　　　　　　　　　　,则称这条直线与这个平面所成的角为0°。  (3)平面的斜线与它在平面内的　　　　　　　　,称为这条斜线与平面所成的角。  垂直 平行,或直线在平面内 射影所成的锐角 2.直线与平面的夹角的范围。 θ∈　　　　　。  3.斜线与平面所成角的性质。 设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线,A'M⊥OM。记∠AOA' =θ1,∠A'OM=θ2,∠AOM=θ,则cos θ=　　　　　　　　　　。  4.射影的长度。 当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ,且AB在平面α内的射影为A'B'时,有A'B'=　　　　。  cos θ1cos θ2 ABcos θ |cos<v,n>| 知识点二、用空间向量求直线与平面的夹角 v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,如图①②所示,则θ=　　　　　或θ=　　　　　,特别地,cos θ=　　　　　或sin θ=　　　　　。  　 1 ② -<v,n> <v,n>- sin<v,n> 微提醒 对公式cos θ=cos θ1cos θ2的理解 一般地,因为0≤cos θ2≤1,所以cos θ≤cos θ1,因为θ1和θ都是锐角,所以可得θ1≤θ。在公式中,令θ2=90°,则cos θ=cos θ1·cos 90°=0,所以θ=90°。此即三垂线定理。反之,若θ=90°,可知θ2=90°,即为三垂线定理的逆定理,即三垂线定理及其逆定理可看成此公式的特例。 微思考 向量法求斜线与平面所成角的步骤是怎样的? 提示:(1)建立空间直角坐标系。 (2)求出相关点的坐标。 (3)求直线的方向向量s和平面的法向量n。 (4)计算cos<s,n>=。 (5)设线面角为θ,由sin θ=|cos<s,n>|得θ的值。注意θ的取值范围θ∈。 类型一　用定义求线面角 　　【例1】　已知∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线,若∠AOB= ∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=a,求OA与平面α所成角的大小。 解　因为OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,所以AB= AC=a。因为BC=a,所以AB2+AC2=BC2,所以△ABC为等腰直角三角形。同理,△BOC也为等腰直角三角形。如图,过点A作AH⊥α于点H,连接OH。则OH为AO在平面α内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角。因为OA=OB=OC =AB=AC,所以OH=BH=CH,H为△BOC的外心,所以点H在BC上,且为BC的中点。因为在Rt△AOH中,AH=a,所以sin∠AOH==,所以∠AOH=45°,所以OA与平面α所成角的大小为45°。 用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法: (1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上; (2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影。 【变式训练】　如果平面的一条斜线段的长是它在这个平面上的射影长的3倍,那么该斜线段与平面所成角的余弦值为 ( ) A.　　　B. C.　　　D. 解析　设斜线段的长为m,则它在这个平面上的射影的长为,设该斜线段与平面所成的角为θ,则cos θ==。 类型二　公式cos θ=cos θ1cos θ2的应用 　　【例2】　已知平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形,O为菱形ABCD的中心,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,AA1=a,求证:A1O⊥平面ABCD。 证明　因为菱形ABCD的边长为a,且∠BAD=60°,所以AC为 ∠BAD的平分线,且AO=a,又∠A1AB=∠A1AD,所以直线A1A在平面ABCD内的射影为直线AC,记∠A1AC=θ。则cos θ== =。所以A1Acos θ=a×=a=AO,所以A1O⊥平面ABCD。 　　(1)公式cos θ=cos θ1cos θ2在解题时经常用到,可用来求线面角θ1,在应用公式时,一定要分清θ,θ1,θ2分别对应图形中的哪个角,否则极易出错。 　　(2)常用的一个结论:若∠AOB=∠AOC,且AO为平面BOC的一条斜线,则AO在平面BOC内的射影平分∠BOC及其对顶角。 【变式训练】　已知AB⊥平面α于B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若 ∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为 ( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析　设AC和平面α所成的角为θ,则cos 60°=cos θcos 45°,得cos θ=,所以θ=45°,故选C。 类型三　用向量法求线面角 　　【例3】　在直三棱柱ABC⁃A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,AA1=2,求直线AC与平面A1B1C所成角的正弦值。 解　以C为原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。则C(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),=(-1,0,0), =(1,0,2),=(0,1,2)。设平面A1B1C的一个法向量为m=(x,y,z),则令z=-1,则x=y=2,即平面A1B1C的一个法向量为m=(2,2,-1)。设直线AC与平面A1B1C所成角为θ,则sin θ= |cos<,m>|===。所以直线AC与平面A1B1C所成角的正弦值为。 　　用向量法求线面角的步骤 (1)分析图形关系,建立空间直角坐标系; (2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n; (3)求出夹角<a,n>; (4)判断直线和平面所成的角θ和<a,n>的关系,求出角θ。 【变式训练】　已知直线l的方向向量为v=(1,-1,-2),平面α的法向量为u=(-2,-1,1),则l与α的夹角为 。  解析　cos<v,u>===-,所以sin θ=(θ为l与α的夹角)。所以θ=30°。 忽视直线与平面所成角的取值范围致误 　　【典例】　已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为4,点E,F,G,H分别在棱CC1,DD1,BB1,BC上,且CE=CC1,DF=BG=DD1,BH=BC。求AH与平面AFEG的夹角的余弦值。 【易错解法】　建立如图所示的空间直角坐标系,则G(0,0,1),A(0,4,0),F(4,4,1), H(2,0,0),所以=(4,0,1),=(0,-4,1),=(2,-4,0)。 设n=(x,y,z)是平面AFEG的一个法向量,则即 令x=1,则z=-4,y=-1, 即n=(1,-1,-4)是平面AFEG的一个法向量。 设AH与平面AFEG的夹角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|==。 所以cos θ=±=±。 所以AH与平面AFEG的夹角的余弦值为±。 【正确解答】　建立如图所示的空间直角坐标系,则G(0,0,1),A(0,4,0),F(4,4,1),H(2,0,0),所以=(4,0,1),= (0,-4,1),=(2,-4,0)。设n=(x,y,z)是平面AFEG的一个法向量,则即令x=1,则z=-4,y=-1,即n=(1, -1,-4)是平面AFEG的一个法向量。设AH与平面AFEG的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>| ==。又因为0°≤θ≤90°,所以cos θ==。所以AH与平面AFEG的夹角的余弦值为。 1.若平面α的一个法向量为n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为 ( ) A. B. C.- D. 解析　l与α所成角的正弦值为|cos<a,n>|====。故选B。 2.PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析　设所成角为θ,则cos θ·cos 30°=cos 60°,所以cos θ=。 3.已知在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于  。  解析　以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),所以=(0,1,0),=(1,1,0),= (0,1,2)。设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,所以有令y=-2,可得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1)。设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==。 4.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 。  解析　作CD⊥α于D,连接DA,DB,DM(图略),则∠CAD=30°,CD=AC,CM=AM=AC,所以sin∠CMD==,故∠CMD=45°,即CM与平面α所成的角为45°。 5.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角。 解　连接BC1交B1C于O点,连接A1O。设正方体棱长为a。易证BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为A1B在面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角。在Rt△A1BO中,A1B=a,OB=a,所以sin∠BA1O==,所以∠BA1O=30°。即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°。 $$