课时达标检测(5)等差数列的前n项和公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时达标检测(五)　等差数列的前n项和公式 基础达标 一、单项选择题 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于 (B) A.49 B.42 C.35 D.28 解析　2a6-a8=a4=6,S7=(a1+a7)=7a4=42。 2.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为 (B) A.200 B.100 C.90 D.70 解析　S10==100。 3.在等差数列{an}中,若S10=4S5,则等于 (A) A. B.2 C. D.4 解析　由题意,得10a1+d=45a1+d,所以10a1+45d=20a1+40d,所以2a1=d,所以=。 4.在等差数列{an}中,已知a1=-12,S13=0,则使得an>0的最小正整数n为 (B) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　由S13==0,得a13=12,则a1+12d=12,得d=2,所以数列{an}的通项公式为an=-12+(n-1)×2=2n-14,由2n-14>0,得n>7,即使得an>0的最小正整数n为8。 5.已知一个等差数列共n项,且其前4项之和为21,末4项之和为67,前n项和为286,则项数n为 (B) A.24 B.26 C.25 D.28 解析　设该等差数列为{an},由题意,得a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67。又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以4(a1+an)=21+67=88,所以a1+an=22。所以Sn==11n=286,所以n=26。 6.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著。在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推。在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1= (C) A.23 B.32 C.35 D.38 解析　由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+×(-3)=207,解得a1=35。 二、多项选择题 7.Sn是等差数列{an}的前n项和,且S9=9S3,则{an}的通项公式可能是 (AD) A.an=4n-2 B.an=4n-1 C.an=6n+3 D.an=6n-3 解析　设等差数列{an}的公差为d,则由S9=9S3,得9a1+36d=9(3a1+3d),化简得d=2a1。若an=4n-2,则d=4,a1=2,符合题意;若an=4n-1,则a1=3,d=4,不符合题意;若an=6n+3,则a1=9,d=6,不符合题意;若an=6n-3,则a1=3,d=6,符合题意。 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=a4,则 (BC) A.a1+a3=0 B.a3+a5=0 C.S3=S4 D.S4=S5 解析　由S7==7a4=a4,得a4=0,所以a3+a5=2a4=0,S3=S4,故选BC。 三、填空题 9.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S8= 48 。  解析　设等差数列{an}的公差为d,由题意,得解得a1=-1,d=2。所以S8=8a1+d=8×(-1)+×2=48。 10.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为 665 。  解析　因为a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,所以n<15,所以n的最大值为14,S14=14×2+×14×13×7=665。 11.等差数列{an}的前n项和为Sn,若6S5-5S3=5,则a4=  。  解析　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由6S5-5S3=5,得3(a1+3d)=1,所以a4=。 四、解答题 12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=a5+a6=25。 (1)求{an}的通项公式; (2)求等差数列{an}的前n项和Sn。 解　(1)设公差为d,由S5=a5+a6=25,得5a1+d=a1+4d+a1+5d=25,所以a1=-1,d=3。所以{an}的通项公式为an=3n-4。 (2)由(1),知an=3n-4,得{an}的前n项和为Sn===,则Sn=n2-n。 13.已知等差数列{an}的公差d>0。设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36。 (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65。 解　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5。因为d>0,所以d=2。从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*)。 (2)由(1)得,am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65。由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故解得即所求m的值为5,k的值为4。 素养提升 14.若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|= 66 。  解析　当n=1时,a1=S1=1-4+2=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2]=2n-5,所以a2=-1。所以前两项是负数。故|a1|+|a2|+…+|a10|=S10+2(|a1|+|a2|)=102-4×10+2+2×(1+1)=66。 15.已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且a2a3=45,S4=28。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(c为非零常数),且数列{bn}也是等差数列,求c的值。 解　(1)因为S4=28,所以=28,a1+a4=14,所以a2+a3=14,又a2a3=45,公差d>0,所以a2<a3,所以a2=5,a3=9,所以解得所以an=4n-3,n∈N*。 (2)由(1),知Sn=2n2-n,所以bn==,所以b1=,b2=,b3=。又{bn}也是等差数列,所以b1+b3=2b2,即2×=+,解得c=-(c=0舍去)。 学科网（北京）股份有限公司 $$