4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 　　 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗? 探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 1.等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的。 2.等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式。 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+ (2)两个公式的关系:把an=a1+(n-1)d代入Sn=中,就可以得到Sn=na1+d。 微思考 1.等差数列前n项和公式中的意义是什么? 提示:=,即等差数列前n项的平均数。 2.若数列{an}是等差数列,则S2n+1与an+1有什么关系? 提示:S2n+1=(2n+1)an+1。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 等差数列前n项和的计算 　　【例1】　(1)在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,若Sn=63,求n的值。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则解得所以Sn=18n-n(n-1)=63,解得n=6或n=7。故n的值为6或7。 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d。将S12=84,S20=460分别代入,得解得所以S28=28a1+d=28×(-15)+14×27×4=1 092。 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值。 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”。一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题。解题时注意整体代换的思想。 (2)结合等差数列的性质解题。 等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用。 　　【变式训练】　(1)(多选)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1= (BD) A.5 B.3 C.7 D.-1 解析　a1+(n-1)×2=11　①,Sn=na1+×2=35　②,由①②解得a1=3或a1=-1。 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,则S9= (B) A.36 B.72 C.144 D.288 解析　解法一:因为a8+a10=2a1+16d=28,a1=2,所以d=,所以S9=9×2+×=72。 解法二:因为a8+a10=2a9=28,所以a9=14,所以S9==72。 类型二 利用an与Sn的关系解决问题 　　【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解　根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2,n∈N*),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n-　①,当n=1时,a1=S1=12+×1=,满足①式。所以数列{an}的通项公式为an=2n-。因为an+1-an=2(n+1)--2n-=2,故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列。 数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=pn2+qn+r(p,q∈R)中r=0。 　　【变式训练】　已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,试判断{an}是否是等差数列。 解　当n=1时,代入可得a1=S1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n+1-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1,经验证当n=1时,a1=4不符合上式,故an=当n≥2时,an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,又a2-a1=1,所以{an}不是等差数列。 类型三 等差数列前n项和公式的应用 　　【例3】　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=35,a2a4=45。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)设数列{an}的公差为d,由S7=35,a2a4=45,得解得所以an=11+(n-1)×(-2)=13-2n。 (2)由an=13-2n>0,得n<,所以当n≤6时,an>0,此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==12n-n2;当n>6时,an<0,此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-(a7+a8+…+an)=2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an)=2×(12×6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72,所以Tn= 求{|an|}前n项和的方法({an}为等差数列) 一般地,数列{|an|}与数列{an}是两个不相同的数列,只有数列{an}中的每一项都是非负数时,它们表示的才是同一数列。因此,求数列{|an|}的前n项和时,应先弄清n取什么值时an>0或an<0,去掉绝对值符号后再求和。 　　【变式训练】　在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和。 解　等差数列{an}的公差为d===-3,故通项公式为an=a1+(n-1)d=60+(-3)×(n-1)=63-3n。令an≥0,即63-3n≥0,解得n≤21,即数列{an}的前21项是非负数,从第22项开始都是负数。设Sn,Tn分别表示数列{an}与数列{|an|}的前n项和,则Sn==-n2+n。当n≤21时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n;当n≥22时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|an|=a1+a2+…+a21-(a22+…+an)=S21-(Sn-S21)=2S21-Sn。由S21=-×212+×21=630,得Tn=2×630-=n2-n+1 260。故Tn= 1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20= (B) A.230 B.420 C.450 D.540 解析　S20=20a1+d=20×2+20×19=420。 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则数列{an}的公差d等于 (B) A.2 B.3 C.6 D.7 解析　由题意,得所以d=3。 3.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10= 24 。  解析　由S10==120,解得a1+a10=24。 4.在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,Sn为数列{an}的前n项和,则S19= 152 。  解析　因为在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,所以a1+6d=(a1+3d)+4,解得a1+9d=a10=8,因为Sn为数列{an}的前n项和,所以S19=(a1+a19)=19a10=152。 5.已知等差数列{an}中, (1)a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d。 解　(1)解法一:由已知条件,得解得所以S10=10a1+d=10×3+×4=210。 解法二:由已知条件,得所以a1+a10=42,所以S10==5×42=210。 (2)由Sn===-1 022,解得n=4。又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171。 学科网（北京）股份有限公司 $$