第5章 §1 1.2 计数原理的简单应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 计数原理　 §1　计数原理 1．2　计数原理的简单应用 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 1．2　计数原理的简单应用 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 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A．8个 B．10个 C．18个 D．24个 解析　个位数只能是1或3，所以有2种选择，首位不能为0，则有2种选择；百位数字有2种选择；十位数字只有1种选择；由分步乘法计数原理，所以用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数为奇数的有2×2×2×1＝8(个)。故选A。 答案　A 答案与解析 (2)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．120个 B．80个 C．40个 D．20个 解析　当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1,2，能组成2个“伞数”；当十位数字为4时，个位数字和百位数字能取1,2,3，能组成3×2＝6(个)“伞数”；当十位数字为5时，个位数字和百位数字能取1,2,3,4，能组成4×3＝12(个)“伞数”；当十位数字为6时，个位数字和百位数字能取1,2,3,4,5，能组成5×4＝20(个)“伞数”，所以共能组成2＋6＋12＋20＝40(个)“伞数”。故选C。 答案　C 答案与解析 类型二 抽取与分配问题 【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 解析　解法一(直接法)：以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第1类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第2类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)。综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)。解法二(间接法)：先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案。故选C。 答案　C 答案与解析 解决选(抽)取与分配问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法； (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理；②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。 【变式训练】　3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 解　解法一：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第1步：放第一个小球有5种选择； 第2步：放第二个小球有4种选择； 第3步：放第三个小球有3种选择， 根据分步乘法计数原理，共有方法数为N＝5×4×3＝60。 解法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5；分成以下十类： 第1类：空盒子标号为(1,2)，选法有3×2×1＝6(种)； 第2类：空盒子标号为(1,3)，选法有3×2×1＝6(种)； 第3类：空盒子标号为(1,4)，选法有3×2×1＝6(种)； 分类还有以下7类情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，每一类都有6种方法。根据分类加法计数原理，共有方法数为N＝＝60。 类型三 涂色问题 【例3】　(1)在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂如图所示的四个格子，要求每种颜色都用两次，李明共有________种不同的填涂方法。 解析　用R表示红色，用B表示蓝色，RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色。因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻。涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种；涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种。依据分类加法计数原理，李明共有3＋3＝6(种)不同的填涂方法。 答案　6 答案与解析 (2)将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有________种不同的涂色方法。 解析　给不同区域标上记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种。但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色，如果B区域与D区域涂的颜色相同，则有2种涂色方法；如果B区域与D区域所涂的颜色不相同，则只有1种涂色方法。因此应先分类后分步。①当B与D同色时，有4×3×2×2＝48(种)；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)。故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法。 答案　72 答案与解析 (1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色。解决此类问题要特别关注图形的结构特征。如果图形不是很规则，往往从某一区域出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步。 (2)把涂色问题转化为两计数原理的综合应用，体现了数学抽象的核心素养。 【变式训练】　如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块地，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的两块地种不同的花，则不同的种法总数为________。 解析　分两类。第1类，A，C两块地种相同的花，共有4×3×3＝36(种)不同的种法；第2类，A，C两块地种不同的花，共有4×3×2×2＝48(种)不同的种法。根据分类加法计数原理，共有36＋48＝84(种)不同的种法。 答案　84 答案与解析 占位模型法解题 【典例】　古代“五行”学说认为：物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法共有________种。 【思路分析】　 【解析】　由题易得“五行”中任意“一行”会存在一个克它的和一个它克的“行”，那么一列五个位置，第一个位置“五行”随便排，有5种排法；第二位只能排与第一位不同，且与第一位不相克的“一行”，有2种排法；第三位只能排与第一、第二位不同，且与第二位不相克的“一行”，只有1种排法；第四位只能排与第一、第二、第三位不同，且与第三位不相克的“一行”，只有1种排法；第五位只能排剩下的“一行”。所以排法种数为5×2×1×1×1＝10。 【答案】　10 答案与解析 在计算时要求做到兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做到不重不漏，注意实际问题本身的限制条件。 【变式训练】　3个人要在一排8个空座位上坐下，若每个人左右都有空座位，不同的坐法有________种。 解析　3个人在一排8个座位上坐下后，只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位之间的空中。 答案与解析 由于每个人左右都要有空座位，因此将第一个人连同他的座位插入(如图①到图②)，有4种插法；然后将第二个人连同他的座位插入(如图②到图③)，有3种插法；最后将第三个人连同他的座位插入(如图③到图④)，有2种插法。根据分步乘法计数原理，可以得到不同的坐法种数为4×3×2＝24。 答案　24 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　) A．30 B．20 C．10 D．6 解析　从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法。故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6(种)取法。故选D。 答案　D 答案与解析 2．某楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有(　　) A．10种 B．16种 C．25种 D．32种 解析　走法共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共有24＝16(种)。故选B。 答案　B 答案与解析 3．某市汽车牌照号码可以上网自编五位，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)。若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有(　　) A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 解析　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法。因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况。故选D。 答案　D 答案与解析 4．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有________种。 解析　设四棱锥为P­ABCD。当A，C颜色相同时，先染P有4种方法，再染A，C有3种方法，然后染B有2种方法，最后染D也有2种方法，根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2＝48(种)方法；当A，C颜色不相同时，先染P有4种方法，再染A有3种方法，然后染C有2种方法，最后染B，D都有1种方法，根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×1×1＝24(种)方法。综上，共有48＋24＝72(种)方法。 答案　72 答案与解析 5．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有多少条？ 解　分两类完成。第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线x＝0或y＝0，共有两条。 第二类：当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成。第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法，由分步乘法计数原理得4×3＝12(条)。 由分类加法计数原理得，共有12＋2＝14(条)直线。 $$