专题01 第14章 统计（6大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 第14章 统计 题型1 随机数表法 1．（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） 41792  71635  86089  32157  95620  92109  29145 74955  82835  98378  83513  47870  20799  32122 A．29 B．21 C．14 D．09 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） A．29 B．21 C．14 D．09 3．（2024高三上·全国·专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．02 C．63 D．01 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%.我们通过设计模拟实验的方法求概率.利用计算机产生一组随机数： 907 966 191 924 274 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 986 若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是 ． （下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 6．（2024高一下·全国·专题练习）某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 题型2 分层抽样中的平均数和差 1．（2023·广东广州·一模）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（    ） A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）为了解某高中学校暑假学生学习情况，采用分层抽样对该校高中三个年级学生平均每天学习时间（单位：小时）进行统计，得到样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均值 样本方差 高一 30 3 1.5 高二 30 4 2 高三 40 5 3.5 根据上述数据，估计该校三个年级学生平均每天学习时间的方差为 ． 3．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知样本的平均数为6，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．    (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数． (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差． 5．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并求综合评分的平均数； (2)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差． 6．（23-24高一下·福建莆田·期末）目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下： 女员工频数分布表 BMI值区间 合计 频数 3 8 13 16 6 4 50    (1)估计样本中女员工BMI值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中女员工BMI值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI值的方差； (3)根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由） 参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则． 题型3 扇形图+折线图+条形图 1．（多选）（23-24高二上·山西·期末）2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示： 则下列说法正确的是（    ） A．从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为 B．2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，比上月上升0.3个百分点 C．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第71百分位数为 D．从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数约为 2．（多选）（23-24高一上·全国·单元测试）CPI是居民消费价格指数的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图是根据国家统计局发布的2018年6月—2019年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比 ），根据该折线图，则下列结论错误的是（　　）    A．2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌 B．2019年2月至6月CPI只跌不涨 C．2019年3月以来，CPI在缓慢增长 D．2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大 3．（多选）（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（    ） A．自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B．自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C．自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D．自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 4．（多选）（2024·全国·模拟预测）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（    ） A．年营业额逐年增加 B．2022年的净利润超过年净利润的总和 C．年营业额的增长率最大的是2022年 D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元 5．（多选）（24-25高三上·湖南·阶段练习）下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（    ） A．超过的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是 6．（2024高一下·江苏·专题练习）现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图. 解答下列问题： (1)图中D所在扇形的圆心角度数为________； (2)若2020年全市共有名九年级学生，请你估计视力在以下的学生约有多少名？ (3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？（合理即可） 7．（23-24高一下·河南信阳·期中）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. (1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 题型4 平均数+众数+中位数 1．（2024·四川泸州·三模）一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（    ） A．方差变小 B．平均数变大 C．极差变大 D．中位数变小 2．（2025·重庆·一模）有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（    ） A．平均数为3 ，中位数为4 B．中位数为3 ，众数为5 C．平均数为4 ，方差为1.2 D．中位数为4 ，方差为1.6 3．（多选）（23-24高一下·广西·开学考试）某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．众数为1且中位数为4 B．平均数为3且极差小于或等于2 C．标准差为且平均数为2 D．平均数为2且中位数为3 5．（多选）（23-24高一下·全国·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 6．（多选）（24-25高三上·湖南常德·期末）已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．该组数据的中位数为4，众数是4 B．该组数据的平均数为，分位数是5 C．该组数据的平均数为3，方差小于3 D．该组数据的极差为5，方差大于3 7．（多选）（24-25高三下·浙江·开学考试）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续天的日平均温度均超过.现将连续天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（    ） A．平均数为，极差为 B．中位数为，众数为 C．众数为，极差为 D．平均数为，方差为 8．（多选）（24-25高一上·贵州·期末）在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（    ） A．甲：中位数为7，众数为8 B．乙：平均数为6，极差为4 C．丙：中位数为7，极差为3 D．丁：平均数为7，方差为2 9．（24-25高三上·广东湛江·期末）为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 题型5 极差+方差+平均数 1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 3．（23-24高三·云南昆明·阶段练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下： ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4． 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．（多选）（23-24高二下·浙江绍兴）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（    ） A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为，则 D．若，则 5．（多选）（23-24高一下·广东潮州）已知数据1：，，，，数据2：，，，，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（　　） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差 6．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）给定一组数，，，，，，，，，，则（    ） A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2 D．分位数为5 题型6 总体百分位数 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（    ） A．24 B．25 C．28 D．29 2．（24-25高三上·辽宁·期末）在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 4．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为 . 5．（23-24高一下·广东清远）互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 . 6．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知一组数据的第60百分位数为2，其中，则这组数据的极差为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第14章 统计 题型1 随机数表法 1．（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） 41792  71635  86089  32157  95620  92109  29145 74955  82835  98378  83513  47870  20799  32122 A．29 B．21 C．14 D．09 【答案】A 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法分析求解. 【详解】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为 27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去）， 95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29. 故最终取得的第6个数字为29. 故选：A 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（    ） A．29 B．21 C．14 D．09 【答案】A 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法分析求解. 【详解】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为 27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去）， 95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29. 故最终取得的第6个数字为29. 故选：A. 3．（2024高三上·全国·专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．02 C．63 D．01 【答案】D 【知识点】随机数表法 【分析】 根据随机数表的取数要求选取数字即可. 【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍去，重复），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.即第5个数字为01. 故选:D. 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%.我们通过设计模拟实验的方法求概率.利用计算机产生一组随机数： 907 966 191 924 274 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 986 若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】随机数表法、计算古典概型问题的概率 【分析】利用随机数结合古典概型计算即可. 【详解】由数表可知20个随机数中，至少有两天下雨有907，191，932，569，431，257，393，556，730，113，537，共11个数，所以所求概率为. 故选：C. 5．（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是 ． （下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】774，428，114，572 【知识点】随机数表法 【分析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可. 【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，， 所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572. 故答案为：774，428，114，572. 6．（2024高一下·全国·专题练习）某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验． (1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？ (2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号． 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667. 【答案】(1)答案见解析 (2)162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. 【知识点】随机数表法 【分析】（1）根据随机数法抽取样本的原则操作即可； （2）根据随机数与编号相对应，一次写出即可； 【详解】（1）第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的整数随机数． 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛奶进入样本． 第四步，重复上述过程，直到产生10个不同编号为止． （2）应抽取的袋装牛奶的编号为162，277，354，384，263，491，175，331，455，068. 题型2 分层抽样中的平均数和差 1．（2023·广东广州·一模）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（    ） A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75 【答案】B 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出． 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：． 故选：B． 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）为了解某高中学校暑假学生学习情况，采用分层抽样对该校高中三个年级学生平均每天学习时间（单位：小时）进行统计，得到样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均值 样本方差 高一 30 3 1.5 高二 30 4 2 高三 40 5 3.5 根据上述数据，估计该校三个年级学生平均每天学习时间的方差为 ． 【答案】3.14 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】分别由总样本的平均数公式和总样本方差公式求解即可. 【详解】由高中三个年级学生的总样本平均数为： 可得. 总样本方差为： . 故答案为：3.14 3．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知样本的平均数为6，方差为4，样本的平均数为8，方差为2，则新样本的方差为 ． 【答案】 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数和方差的计算公式，结合题设条件，即可求得混合新样本的平均数和方差. 【详解】由题意得，则混合后新样本的平均数为， 其方差为 . 故答案为：4. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．    (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数． (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差． 【答案】(1)69.5 (2)． 【知识点】估计总体的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，结合平均数的运算公式进行求解即可； （2）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 解得 可知每组的频率依次为，， 所以这100名候选者面试成绩的平均数为： ． （2）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 5．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并求综合评分的平均数； (2)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差． 【答案】(1)，平均分为81 (2)总平均综合评分，总方差 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、估计总体的方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，求出的值，再结合平均数的定义求解； （2）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解． 【详解】（1）由频率分布直方图可得：， 解得， 则综合评分的平均数为； （2）由图可知落在和的频率之比为 所以， ． 6．（23-24高一下·福建莆田·期末）目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下： 女员工频数分布表 BMI值区间 合计 频数 3 8 13 16 6 4 50    (1)估计样本中女员工BMI值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中女员工BMI值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI值的方差； (3)根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由） 参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则． 【答案】(1)21.06 (2)15.2 (3)平均数大于中位数 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算几个数据的极差、方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）利用平均数计算公式计算即得； （2）先利用加权平均数公式计算出，再将，，；，，分别代入方差公式计算即得； （3）根据直方图中右侧“拖尾”情况，即可判断平均数大于中位数. 【详解】（1）样本中女员工BMI值的平均数为： . （2）依题意，， 则得，， . （3）因男员工频率分布直方图中，右侧“拖尾”，说明数据向右偏斜，平均数受到右侧“拖尾”的影响， 而中位数则位于数据的中央，不受极端值的影响，故平均数会大于中位数. 题型3 扇形图+折线图+条形图 1．（多选）（23-24高二上·山西·期末）2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示： 则下列说法正确的是（    ） A．从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为 B．2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，比上月上升0.3个百分点 C．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第71百分位数为 D．从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数约为 【答案】BCD 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据折线图中的数据，结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可. 【详解】由图知，制造业采购经理指数（PMI）的最大值为，最小值为， 所以极差为，故A错误； 由图可知，2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，6月份为， 则7月比6月上升个百分点，故B正确； 从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）从小到大的顺序为 ， 因为， 所以第71百分位数为第5个数，即为，故C正确； 由图可知 从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为 ，故D正确. 故选：BCD. 2．（多选）（23-24高一上·全国·单元测试）CPI是居民消费价格指数的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图是根据国家统计局发布的2018年6月—2019年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比 ），根据该折线图，则下列结论错误的是（　　）    A．2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌 B．2019年2月至6月CPI只跌不涨 C．2019年3月以来，CPI在缓慢增长 D．2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大 【答案】ABC 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】结合折线图，理解环比和同比的意义，即可判断选项. 【详解】A选项，2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI均是上涨的，故A错误； B选项，2019年2月CPI是增长的，故B错误； C选项，2019年3月以来，CPI是下跌的，故C错误； D选项，2018年8月CPI环比增长0.4%，12月环比增长0.3%，故D正确． 故选：ABC. 3．（多选）（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（    ） A．自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B．自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C．自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D．自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 【答案】ABD 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据图中圆的大小以及高度，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图可知：这些圆的圆心所在的高度呈现上升趋势，故自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势，A正确， 由于这些圆的大小呈现变大的趋势，故半径呈现变大的趋势，因此城镇化率也呈现增长趋势，B正确， 由于我国人口总数大致呈增长趋势，且城镇化率也呈现增长趋势，因此自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关，D正确， 根据图，无法得知人口增长率的变化情况，故C错误， 故选：ABD 4．（多选）（2024·全国·模拟预测）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（    ） A．年营业额逐年增加 B．2022年的净利润超过年净利润的总和 C．年营业额的增长率最大的是2022年 D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元 【答案】BC 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题、求等比数列前n项和 【分析】根据图中营业额即可判断A；计算年总利润和2022净利润比较即可判断B；根据图中增长率大小即可判断C；根据等比数列求和公式即可判断D. 【详解】选项A：2019年的营业额低于2018年，A错误． 选项B：2022年的净利润为166.2亿元， 年的净利润的总和为（亿元），，B正确． 选项C：年营业额的增长率最大的是2022年，C正确． 选项D：设2023年第一季度的净利润为亿元，则第四季度的净利润为， 则，得， 故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，D错误． 故选：BC. 5．（多选）（24-25高三上·湖南·阶段练习）下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（    ） A．超过的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是 【答案】AC 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解. 【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为，所以选项A正确， 对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为，所以选项B错误， 对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是，所以选项C正确， 对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为， 又，所以分位数是，故选项D错误. 故选：AC. 6．（2024高一下·江苏·专题练习）现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图. 解答下列问题： (1)图中D所在扇形的圆心角度数为________； (2)若2020年全市共有名九年级学生，请你估计视力在以下的学生约有多少名？ (3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？（合理即可） 【答案】(1) (2) (3)建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、频率分布折线图的实际应用 【分析】（1）先利用扇形统计图得出D所占的百分比，然后乘以即可得出圆心角的度数； （2）先得出视力所占的比例，然后用乘以这个比例可得结果； （3）根据视力的统计提出合理化的建议即可. 【详解】（1）根据题意得. （2）根据题意得（名），则估计视力在以下的学生约有名. （3）建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力. 7．（23-24高一下·河南信阳·期中）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. (1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、估计总体的方差、标准差、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】（1）利用各组区间中点值代表该组的各个值，由频率分布直方图、扇形统计图估计平均数的方法可求得结果； （2）根据分层抽样计算平均数和方差的方法直接求解即可. 【详解】（1）每个组内的数据均匀分布，以各组的区间中点值代表该组的各个值； 由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数； 由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数. （2）采用按比例分配的分层随机抽样，； 估计树人中学学生课外运动时间的平均数， . 题型4 平均数+众数+中位数 1．（2024·四川泸州·三模）一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（    ） A．方差变小 B．平均数变大 C．极差变大 D．中位数变小 【答案】A 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】根据极差，平均数，方差与中位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较后即可得解. 【详解】由于， 故，，……，，， 对B：原来的平均数为， 去掉后的平均数为， 平均数不变，故B错误； 对A：原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故A正确； 对C：原来的极差为，去掉后，极差为， 极差变小，故C错误； 对D：原来的中位数与现在的中位数均为， 故中位数不变，故D错误. 故选：A. 2．（2025·重庆·一模）有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（    ） A．平均数为3 ，中位数为4 B．中位数为3 ，众数为5 C．平均数为4 ，方差为1.2 D．中位数为4 ，方差为1.6 【答案】C 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可 【详解】对于A，由于平均数为3，中位数为4，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，当第3,4,5次为4,4,4时，总和为12，第1,2次总和为3，故这5个数可以是1,2,4,4,4， 故A错误； 对于B，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3次是3，则第4和5次为5，所以这5个数可以是1,2,3,5,5，所以B错误； 对于C，由于平均数为4，方差为1.2，则5次总和为20，， 若有一个数为1，取，则，不合题意，则一定没有出现点数1，故C正确； 对于D，由中位数为4 ，方差为1.6，所以这5个数从小到大排列后，第3次是4，平均数最小值为2.8， ， ， 若有一个数为1，取，， 若取平均数为3，则， ，则符合要求，这5个数为1,2,4,4,4，故D错误， 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·广西·开学考试）某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ACD 【知识点】根据平均数求参数、根据方差、标准差求参数、用众数的代表意义解决实际问题、用中位数的代表意义解决实际问题 【分析】利用中位数，众数，平均数，极差的意义结合举反例判断ABC,计算方差并且讨论求解. 【详解】对于A，因为中位数为3，众数为5，所以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，所 以中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出现7，则正确. 对于B，因为中位数为4，极差为3，所以这7个数可以是，则B错误. 对于C，若出现1个7，则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和最小为3， 从而这7个数的平均数最小为，即这7个数的平均数不可能为3，故C正确. 对于，设这7个数分别为，则， . 若7，则 , 从而这6个数可能是或或 或或或或或 或或，这与矛盾， 即这7个数中一定没有出现7，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛,本题考查数据的数字特征,关键是对D选项列举所有可能值推出矛盾. 4．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（    ） A．众数为1且中位数为4 B．平均数为3且极差小于或等于2 C．标准差为且平均数为2 D．平均数为2且中位数为3 【答案】BCD 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意，举出反例可得A错误，由平均数、极差的性质分析B，由标准差、平均数的公式分析C，由中位数、平均数的定义分析D，综合可得答案． 【详解】根据题意，设7天数据中，最小值为a,最大值为b, 依次分析选项： 对于A，数据1、1、1、4、5、6、7，满足众数为1且中位数为4，但不满足“每天新增疑似病例不超过5人”，不符合题意； 对于B，若数据的平均数为3，其数据的最小值，又由极差小于或等于2，故数据中的最大值，符合题意； 对于C，标准差为，则其方差为2，假设，则方差的最小值为，与标准差为矛盾，故必有，符合题意； 对于D，假设设，由于其中位数为3，则平均数的最小值为 ，与平均数为2矛盾，故必有，符合题意． 故选：BCD． 5．（多选）（23-24高一下·全国·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选）（24-25高三上·湖南常德·期末）已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．该组数据的中位数为4，众数是4 B．该组数据的平均数为，分位数是5 C．该组数据的平均数为3，方差小于3 D．该组数据的极差为5，方差大于3 【答案】AC 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】根据题中条件，结合等差数列，中位数，众数，平均数，极差以及方差公式，即可得出答案． 【详解】选项A，因该组数据的众数是4，故至少有两个4，又成等差数列， 故，满足中位数为4，此时该组数据中没有点数6，故A正确； 选项B，因成等差数列，则，不妨设， 因该组数据的平均数为3，故，得，故， 因，故，故将5个数从小到大排列为， 因，故分位数是第4个数和第5个数的平均数，即， 故，故该组数据中有点数6，故B错误； 选项C，因成等差数列，则，不妨设， 因该组数据的平均数为3，故，得， 故，， 因，故，得， 由题意可知c可能取值为， 该组数据的方差为， 当时，，，方差为； 当时，，，方差为2； 当时，，，方差为， 故当方差小于3时，数据中没有点数6，故C正确； 选项D，因该组数据的极差为5，数据最小值为1，故该组数据中有点数6， 不妨取，且设，因成等差数列，则，即， 因，即，即， 由题意可知b可能取值为， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 综上，该组数据中有点数6，D错误， 故选：AC. 7．（多选）（24-25高三下·浙江·开学考试）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续天的日平均温度均超过.现将连续天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（    ） A．平均数为，极差为 B．中位数为，众数为 C．众数为，极差为 D．平均数为，方差为 【答案】ABD 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】分析每个选项数据是否有可能大于，选出符合题意选项. 【详解】“连续天的日平均温度均超过”，将天数据从小到大排序为：、、、、， A选项，因为这五个数据的平均数为， 则， 又因为这五个数据的极差为，则，可得， 若，则，则，所以A选项正确； B选项，因为这五个数据的中位数是，众数是， 所以将数据从小到大排序后，第个数是，第、个数为， 所以个数据都超过，所以B选项正确. C选项，因为这五个数据的众数是，极差为， 如、、、、，第天低于，不符合，所以C选项错误. D选项，因为这五个数据的平均数为， 则 方差为， 所以，， 若，则，矛盾，所以D选项正确. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高一上·贵州·期末）在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（    ） A．甲：中位数为7，众数为8 B．乙：平均数为6，极差为4 C．丙：中位数为7，极差为3 D．丁：平均数为7，方差为2 【答案】ABD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 【分析】结合题目所给符合进入冬季标准，结合每个选项分析判断即可. 【详解】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，又只有5个数据，7为中位数， 所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数， 故甲地符合进入冬季标准，故A正确； 对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差， 假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，此时极差不 为4，故假设不成立，即每日气温都低于，所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确； 对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，故丙不符合进入冬季标准，故C错误； 对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数， 所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意， 若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，计算方差，可知不符合方差为2的条件， 若二天，则五天的气温的方差一定大于2， 若一天，则五天的气温的方差一定大于2， 综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高三上·广东湛江·期末）为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求运动时长在[50，70)的样本群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【答案】(1) (2)90（人） (3)众数为，平均数，中位数为. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率和为1计算求参即可； （2）先求出的频率再计算频数即可； （3）应用频率分布图计算众数，平均数及中位数定义分别计算求解即可. 【详解】（1）根据题意， ， 解得. （2）运动时长为的频率为 所以运动时长为的样本群众人数为（人） （3）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为， 前三组的频率为. 所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 题型5 极差+方差+平均数 1．（23-24高二下·安徽·阶段练习）在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（    ） A．57 B．58 C．60 D．61 【答案】C 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数 【分析】由题意可得插入的两个数不可能都是；可得一个为，另一个数不小于8，由极差加倍，则另一个数为，若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，进而可得，进而可求的最大值. 【详解】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是”，或是“一个为，另一个不是”， 或是“两个不等的且不是，，”． ①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是； ②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为，另一个不是”，则一个为，另一个数不小于， 又因为极差加倍，则另一个数为，此时； ③若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，中位数保持不变， 则两个数可以为 ，，，，，，， 所以，的最大值为． 故选：C. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（    ） A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为7 【答案】C 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，举出反例即可判断. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分， 此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为2，方差为3，即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确； D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为， 满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高三·云南昆明·阶段练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下： ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4． 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、用众数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求. 【详解】①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标； ②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知， 则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7， 与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标； ③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标； ④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标. 故选：B． 4．（多选）（23-24高二下·浙江绍兴）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（    ） A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】众数、平均数、中位数的比较、估计总体的方差、标准差 【分析】对于A选项，因为，由放缩可得； 对于B选项，举例说明B不正确； 对于C选项，举例说明C不正确； 对于D选项，若，代入总体方差计算公式，可得. 【详解】对于A选项，因为，所以 ，即，A正确； 对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确； 对于C选项，取第一部分数据为，则，， 取第二部分数据为，则，，则， ，C不正确； 对于D选项，若，则，D正确. 故选：AD. 5．（多选）（23-24高一下·广东潮州）已知数据1：，，，，数据2：，，，，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（　　） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差 【答案】AC 【知识点】计算几个数的中位数、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】对比数据1与数据2的平均数判断选项A; 对比数据1与数据2的极差判断选项B；对比数据1与数据2的中位数判断选项C；对比数据1与数据2的标准差判断选项D. 【详解】设数据1：，，，，的均值为，标准差为s，中位数为，极差为 则数据2：，，，，的均值为，故A错误， 数据2：，，，，的标准差为，故D正确； 数据2：，，，，的中位数为，故C错误； 极差为，故B正确； 故选：AC． 6．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）给定一组数，，，，，，，，，，则（    ） A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2 D．分位数为5 【答案】AD 【知识点】计算几个数的众数、总体百分位数的估计、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】平均数为，故A正确； ，所以标准差为，故B错误； 根据众数的定义可得众数为和，故C错误； 将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，所以第85百分位数为5，所以D正确. 故选：AD. 题型6 总体百分位数 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（    ） A．24 B．25 C．28 D．29 【答案】D 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数定义，结合已知分析各项对应m值，可得答案． 【详解】对于A，若样本容量的最小值为24，则，， 则第个数据的平均数应为，第个数据应为， 由是连续的正整数，显然不符合情况，故A错误； 对于B，若样本容量的最小值为25，则，， 则第19个数据应为，第个数据均为， 由是连续的正整数，矛盾，故B错误； 对于C，若样本容量的最小值为28，则，， 则第个数据均为，第23个数据应为， 由是连续的正整数，矛盾，故C错误； 对于D，若样本容量的最小值为29，则，， 则第22个数据应为，则第个数据应为，所以第个数据应该是29，符合题意，故D正确； 故选：D. 2．（24-25高三上·辽宁·期末）在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】由百分位数和平均数的计算得到的值可能取值，再分的值可能是13，14，15讨论即可； 【详解】因为，所以，又， 所以，即， 因为，所以的值可能是13，14，15， 当时，， 因为，且，为整数，所以不可能； 当时，，因为， 且，为整数，所以不可能； 当时，， 因为，且，为整数， 所以当且仅当，时，， 所以所求极差为. 故选：C. 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【知识点】总体百分位数的估计、频率分布直方图的实际应用 【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论. 【详解】因为，， 所以应在， 所以，解得. 故最接近的数为. 故选：A. 4．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为 . 【答案】 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】先由极差是中位数的2倍得到，再由和为12得到，联立可求出四个数值，即可求第75百分位数. 【详解】这组数据的极差为，中位数为， 根据题意得，即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为为正整数且互不相等，且， 三个数的平均数即中位数， 则得到，. 因为， 所以这4个数据的第75百分位数为. 故答案是：. 5．（23-24高一下·广东清远）互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 . 【答案】2 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据中位数、极差的概念求出这四个正整数，再由百分位数的定义求解. 【详解】这组数据的极差，中位数为， 据题意得， 即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为a1，a2，a3为正整数且互不相等， 所以. 因为， 所以这4个数据的第40百分位数为. 故答案为：2 6．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知一组数据的第60百分位数为2，其中，则这组数据的极差为 . 【答案】2或3 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】先根据百分位数为2求的值，进而可得. 【详解】因为，故第60百分位数为第5位数， 当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为， 当时，将数据从小到大排列为，第5位数为2，满足题意，此时极差为， 当时，将数据从小到大排列为，第5位数为，不满足题意， 故这组数据的极差为2或3. 故答案为：2或3. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$