专题02 基本图形位置关系（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题02 基本图形位置关系 目录 【题型一 平面分空间数量】 2 【题型二 由平面的基本性质作截面图】 2 【题型三 异面直线所成角】 3 【题型四 线面角问题】 4 【题型五 二面角问题】 5 【题型六 动点探索性问题 】 5 【题型七 线面角中的探索性问题】 6 【题型八 二面角中的探索性问题】 9 一、直线与平面所成角 （1）直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时： ⑥直线与平面所成角取值范围：. （3）直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 二、二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. (5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到). 三、求二面角的平面角步骤 (1)找到或作出二面角的平面角； (2)证明(1)中的角就是所求的角； (3)计算出此角的大小 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算” 【题型一 平面分空间数量】 1．（23-24高三上·浙江温）三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·湖北武汉）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（    ）部分． A．5 B．6 C．7 D．8   4．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 5．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【题型二 由平面的基本性质作截面图】 1．（2025·陕西·一模）已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 4．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为 ．    【题型三 异面直线所成角】 1．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，为内一点，且，设直线与所成的角为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·全国·强基计划）四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ． 5．（2023·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ． 【题型四 线面角问题】 1．（23-24高一下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）在三棱锥中，，且．记直线，，与平面所成角分别为，，，已知，当三棱锥的体积最小时， . 3．（22-23高三上·江苏南京·期末）在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 . 4．（23-24高二上·江苏南京）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC､CC1的中点， 是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P平面AEF，点P的轨迹长度为 .直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是 . 5．（2023·江苏盐城·三模）某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为、，则的最小值为 . 【题型五 二面角问题】 1．（23-24高二下·江苏）已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是 . 2．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在矩形中，已知，，现将沿对角线向上翻折，得到空间四边形，若，则二面角的大小的余弦值为 . 3．（2024·江西·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥体积的最小值为，则二面角的取值范围是 ；该四棱锥外接球表面积的最小值是 . 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为 . 5．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知矩形，设E是边上的一点，且．现将沿着直线翻折至，设二面角的大小为，则的最大值是 ． 【题型六 动点探索性问题 】 1．（多选）（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为空间一动点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若为线段上的动点，则与所成角的范围为 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 D．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹长度为 2．（多选）（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），点Q正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（   ） A． B．的最小值为 C．点Q的轨迹的长度为 D．直线与平面所成角的最小值为 3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角尺（Rt△ACD和Rt△BCD）组成的三角形，如图所示，其中∠ACD＝45°，∠BCD＝60°.现将Rt△ACD沿斜边AC进行翻折成△D1AC（点D1不在平面ABC内）.若M，N分别为BC，BD1的中点，则在△ACD翻折过程中，下列说法正确的是（　　）    A．在线段BD上存在一定点E，使得AD1∥平面MNE B．存在某个位置，使得直线AD1⊥平面BCD1 C．不存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60° D．对于任意位置，二面角D1BCA始终不小于直线AD1与平面ABC所成角 4．（多选）（2024·江苏徐州·模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（    ） A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形 B．的最小值为 C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为 D．两点间的最短距离为 5．（多选）（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）在长方体中，，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．与所成角的正切值的最大值是 C．以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是 D．若P为靠近B的三等分点，则该长方体过的截面周长为 【题型七 线面角中的探索性问题】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.    (1)证明：. (2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积. 2．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.    (1)求证：； (2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小. 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在三棱柱中，，，平面. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【题型八 二面角中的探索性问题】 1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 2．（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 4．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）是正三角形，是边上的高，E是AC中点，将沿翻折成二面角， (1)若二面角的平面角为，求与平面所成的角的正切值； (2)若二面角的平面角为（为锐角），与平面所成的角为，用表示． 5．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．    (1)求证：平面PCE； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 2．（2022·四川巴中·一模）在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知矩形中，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 7．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正四棱锥的8条棱长均相等，为顶点在底面的射影，则（    ） A．侧棱与底面所成角的大小为 B．设，为正方形边上的两点，则二面角的值大于 C．侧面与底面所成角的大小为 D．设为正方形上的点，则直线与底面所成角的最大值为 8．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 二、多选题 9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 10．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）在正方体中，点、分别为、的中点，则（   ） A． B．平面 C．与所成角为 D． 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在长方体中，，点满足，其中，，则（    ） A．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 B．当时，面 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，的最小值为 三、填空题 13．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则 . 14．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则 . 15．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 ． 16．（23-24高一下·江苏泰州·期末）如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为 米：猎人行走至点的最短路程是 米. 四、解答题 17．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 18．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 (1)求证：平面 (2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; (3)点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 19．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中， 底面ABCD是边长为3的菱形，且， AC交BD于点O，，M，N分别为PA，BC的中点. (1)求证：MN∥平面PCD； (2)记二面角的平面角为θ， 若 ①求 PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点 N到平面 CDP的距离. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本图形位置关系 目录 【题型一 平面分空间数量】 2 【题型二 由平面的基本性质作截面图】 6 【题型三 异面直线所成角】 11 【题型四 线面角问题】 17 【题型五 二面角问题】 23 【题型六 动点探索性问题 】 29 【题型七 线面角中的探索性问题】 37 【题型八 二面角中的探索性问题】 44 一、直线与平面所成角 （1）直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时： ⑥直线与平面所成角取值范围：. （3）直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 二、二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. (5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到). 三、求二面角的平面角步骤 (1)找到或作出二面角的平面角； (2)证明(1)中的角就是所求的角； (3)计算出此角的大小 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算” 【题型一 平面分空间数量】 1．（23-24高三上·浙江温）三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】平面分空间的区域数量 【解析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分； （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分. （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分； 综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分， 故选：A. 2．（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 3．（多选）（23-24高一下·湖北武汉）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（    ）部分． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BCD 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析 【分析】由平面的性质可借助图形说明． 【详解】三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； 故选：BCD.   4．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【答案】15 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    5．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】/ 【知识点】平面分空间的区域数量、图与形中的归纳推理 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 【题型二 由平面的基本性质作截面图】 1．（2025·陕西·一模）已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】分点P在线段AQ和线段上以及在线段QR上，结合图形讨论即可. 【详解】如图所示，设平面和平面分别与交于点Q，R，当点P在线段AQ和线段上时，截面是正三角形，当点P越靠近点A或越靠近点时，截面周长越小，且变化是线性的． 当点P在线段QR上（不含点Q，R）时，截面是六边形EFGHMN，且，，，， 所以，所以，所以六边形EFGHMN的周长与的周长相等．综上可知y关于x的函数图象大致为D． 故选：D 2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可. 【详解】如图取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、， 则，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接、、， 同理可证，，，所以， 所以四点共面； 所以五点共面； 又，，， 所以截面周长为. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 4．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】结合平面性质，根据已知条件画出过点的截面，求周长即可. 【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM， 取靠近点的三等分点N，连接FN并延长交的延长线于点Q， 连接QE交于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点的截面， 由G为棱靠近点C的三等分点，可得，即， 由，知点M为靠近点C的三等分点，即， 由勾股定理得，，同理得， 则截面图形的周长为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 【答案】 等腰梯形 / 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积. 【详解】如图，取的中点，连接，，，，， 因为，，故，且． 则截面为梯形，且为等腰梯形， ，可得梯形的高为，所以梯形的面积为． 故答案为：等腰梯形；. 6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为 ．    【答案】 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、余弦定理解三角形 【分析】延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点，则平面截正四棱锥所得的截面为五边形，即可求解． 【详解】延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点， 则平面截正四棱锥所得的截面为五边形， 如图所示：    易知，， ， 所以五边形的周长为． 故答案为： 【题型三 异面直线所成角】 1．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【点睛】方法点睛： 利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点. 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以 . 故选：B. 3．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，为内一点，且，设直线与所成的角为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面角的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理可证平面，分析可得点为的中心，结合可得，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，转化为是底面半径为､高为的圆锥的母线，分析求得的范围，即可求解. 【详解】如图1，设与平面相交于点，连接交于点，连接， ∵平面，平面，则， ，，平面 ∴平面， 由平面，则， 同理可证：， ，平面， ∴平面， ∵，由正三棱锥的性质可得：为的中心， 连接， ∵为的中点，∴交于点，连接， 由平面，平面，则，即是的高， 设，，则，且的内切圆半径， 则，， ∵，即，则， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. ∵平面，平面，则， ∴， 故为底面半径为，高为的圆锥的母线，如图2所示， 设圆锥的母线与底面所成的角，则， 所以，即直线与平面所成的角为. 直线在平面内，所以直线与直线所成角的取值范围为， 因为，所以直线与直线所成角的取值范围为，即， 所以. 故选：C. 【点睛】思路点睛：求解本题的关键： （1）通过比较与的内切圆半径的大小，得出动点的轨迹； （2）将直线与直线所成角的最小值转化为圆锥的母线与底面所成的角. 4．（23-24高三下·全国·强基计划）四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、空间中距离和角的计算 【分析】根据几何关系求的范围，再通过平行关系构造异面直线所成的角，根据余弦定理，即可求解. 【详解】如图，取，分别为，的中点． ，， ，所以， 在中，，当，重合时取等． 过作于，设，则,即，即，得． 所以．当，，，共面时取等． 取中点，则，，所以所求的角即为， 于是 由知，于是． 故答案为： 5．（2023·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、线面平行的性质 【分析】根据面面平行的性质定理说明，从而说明或其补角即为所成的平面角，利用余弦定理求得的长，结合同角的三角函数关系即可求得答案. 【详解】连接，由题意知过点的平面与平面平行， 平面与平面、平面的交线分别为， 由于平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 所以或其补角即为所成的平面角， 设正四棱锥的棱长为1，，则， 在中，由余弦定理得 ， 同理求得， 故在中， ， 由于，则， 进而， 当时取等号，故的最小值为， 进而，故的最大值为. 故答案为：．    【点睛】关键点点睛：要求直线，所成角的正弦值的最大值，需找出直线，所成角，因而解答的关键是利用面面平行的性质说明所求角即为或其补角. 【题型四 线面角问题】 1．（23-24高一下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、由线面角的大小求长度 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹. 2．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）在三棱锥中，，且．记直线，，与平面所成角分别为，，，已知，当三棱锥的体积最小时， . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】找到在平面内的投影，利用线面夹角关系，得到与的等量关系，以、中点为原点建立平面直角坐标系，根据等式关系发现，在平面内的投影在圆上，当最小时，高度最小，则三棱锥的体积最小，从而求出的值. 【详解】设点在平面内的投影为，    因为直线，，与平面所成角分别为，，，且，则， 根据线面夹角关系可知，， 所以，由阿波罗尼斯圆可知，投影在圆上运动， 以为轴，过的中点作垂线，建立如图所示直角坐标系.    令，由题可知，，. 则，化简得， 可知在以为圆心，半径为的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，，， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查了立体几何的建系求最值问题，空间动点问题常用做法，转换动点到某一平面内，进而用平面内容求解，做到化繁为简. 3．（22-23高三上·江苏南京·期末）在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】 先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得面，从而得到为直线PC与平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理与勾股定理求得，从而求得，由此得解. 【详解】记的中点为，连结，过作交的延长线于，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，，，所以，则， 又为的中点，所以， 因为面，所以面， 又面，所以， 因为，面，所以面， 所以为直线PC与平面ABC所成角的平面角， 不妨设， 在中，，则，， 在中，， 在中，，则， 即，故， 在中，， 所以在中，， 又，则，即， 所以， 所以， 故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏南京）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC､CC1的中点， 是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P平面AEF，点P的轨迹长度为 .直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【知识点】面面平行证明线面平行、由线面角的大小求长度 【解析】（1）首先由条件构造面面平行，分别取棱的中点，得平面平面，从而确定点的轨迹，从而求的取值范围；（2）根据线面角的定义，根据（1）中点的轨迹，求直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围. 【详解】（1）如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接， 因为为所在棱的中点，所以，所以， 又平面平面，所以平面； 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，所以平面， 因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上， 在直角中，， 同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形， 当在中点时，，此时最短，位于处时最长， ，， 所以线段长度的取值范围是. （2）平面，设直线A1P与平面BCC1B1所成角为， ,，由（1）可知点在线段上，的最小值是,的最大值是, 的最小值是，的最大值是, 直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是第一问，取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中求长度的范围. 5．（2023·江苏盐城·三模）某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为、，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】由平面，得到侧棱与底面所成的角，设， 分别在直角和中，求得，结合，即可求得取值最小值. 【详解】如图所示，设另个正五棱锥外接球的半径为，球心到底面的距离为， 又由平面，所以和分别为侧棱与底面所成的角，设， 分别在直角和中， 可得， 所以， 又由，所以当当时，取值最小值，最小值为. 故答案为：.    【题型五 二面角问题】 1．（23-24高二下·江苏）已知在矩形中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是 . 【答案】 【知识点】求cosx（型）函数的最值、证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，找到即为二面角的平面角，设，表达出各边长，得到，求出，由函数单调性得到余弦值的最小值. 【详解】矩形，连接，与相交于点， 因为，，P为AB的中点， 所以，则∽，所以， 则，故⊥， 将将沿DP翻折，则由⊥，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 过点作⊥于点，则⊥， 又，平面，所以⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角，显然为锐角， 在矩形中，，故，， 设，则，， 故， 因为，所以，    则， 设，，则， 所以，即， 解得，即， 因为，所以， 当时，， 因为，所以，故，时，等号成立， 因为在上单调递减， 所以二面角的余弦值最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解. 2．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在矩形中，已知，，现将沿对角线向上翻折，得到空间四边形，若，则二面角的大小的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】设中点为，取中点，取中点，取三等分点，且靠近点，证得，，得到即为二面角的平面角，在中，求得，在分别在和中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设中点为，取中点，取中点， 取三等分点，且靠近点，连、、， 在矩形中，，所以， 所以，即， 同理， 又由，，所以， 所以，所以， 所以即为二面角的平面角，设， 在中，可得， 因为，可得，解得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得，解得. 故答案为：. 3．（2024·江西·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥体积的最小值为，则二面角的取值范围是 ；该四棱锥外接球表面积的最小值是 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、求二面角 【分析】先根据题意可证面.过点作交于点，可证面.再利用四棱锥体积公式得到高的取值范围，在中，由正弦的取值范围可求二面角的取值范围；利用正弦定理可得的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，代入球体表面积公式即可求解. 【详解】 在四棱锥中，可得：，， 又，面，面，面， 即为二面角的平面角，设，则. 过点作交于点.面，. 又，，面，面，面. ，，. ，，即二面角的取值范围为. 在中，，， 所以的外接圆半径. 将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径， 所以. ，，，．故该四棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】求二面角、证明线面垂直、二倍角的余弦公式 【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，可知点的轨迹为线段，由二面角的定义得到平面与平面所成角为，进面求出的最小值和最大值，从而得解. 【详解】连接、、、，设，连接、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是平面内的一点，且满足，所以点的轨迹为线段， 设正方体的棱长为，则， 因为四边形为正方形，，则为的中点，且， 由勾股定理可得，则， 所以为平面与平面所成角（或补角）， 由图可知，由图可知，当点与点重合时，最大， ，， 因为平面，平面，则，同理， 此时； 当与点重合时，最小，易得， 所以 ， 又因为函数在上单调递减， 所以，则， 而平面与平面所成角为锐角，不妨设为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 5．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知矩形，设E是边上的一点，且．现将沿着直线翻折至，设二面角的大小为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】求二面角 【分析】作交于点F，连接，作交于点H，作，垂足为K，连接，延长KH交AB与G﹒则即为二面角的平面角，求的最大值即可得sinθ的最大值． 【详解】：在方法一的基础上，如图，延长、交于点I， 易知△ABE是等腰直角三角形，∠FAE=45°，HK∥AD，则∠KHI=45°，则△HKI是等腰直角三角形，∴HK=，， 设，由方法一知． ∵△ABE是等腰直角三角形，则易知点的轨迹是以F为圆心，为半径的半圆， 当与该圆相切时，最大， 此时，∴的最大值为， ∴，∴． 故答案为：． 【点睛】本题要求通过作与二面角的棱垂直的面来构造二面角的平面角，从而将问题转化为解三角形的问题，还需熟练运用圆的参数方程和直线斜率的计算公式． 【题型六 动点探索性问题 】 1．（多选）（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为空间一动点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若为线段上的动点，则与所成角的范围为 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 D．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【知识点】弧长的有关计算、求异面直线所成的角、补全面面平行的条件、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于A，先在上任取点，作出与所成角，根据条件探求该角的变化规律，结合临界位置即得其范围；对于B,将翻折至与共面，利用两点之间线段最短即得的最小值；对于C,利用平面构造平面平面，即得点的轨迹为线段，计算即得；对于D，由可推出，即得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，计算即得. 【详解】 对于A，当点不与点重合时，如图1，过点作,交于点，连接, 因,故即与所成角. 因平面，则平面,因平面,故.则, 当点与点重合时，点与点重合，; 当点从点向点移动时，越来越大，越来越小，故的值越来越大，即的值越来越大， 当点与点重合时，易得, 故与所成角的范围为，故A错误； ， 对于B，如图2，将正方形绕着旋转到与正方形共面时，连接,交于点， 则此时最小，而，故的最小值为，即B正确； 对于C，如图3，分别取的中点，连接,则平面,平面,故平面, 同理平面,又平面,故平面平面， 因为侧面上的动点，且平面，平面平面,则点, 即点的轨迹为线段，而，故点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图4，连接,因平面, 平面,则, ,点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧, 则在中，,则，同理, 则,故圆弧的长为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与正方体有关的动点产生的异面直线所成角范围和轨迹长度问题，属于难题.解题思路：对于异面直线所成角，一般需要平移到一个三角形中，通过三角函数定义、余弦定理等公式去判断转化，并考虑临界情况；对于动点轨迹问题，一般需要根据条件构造两平面的交线即轨迹，或者推出动点满足的条件等式即可求得. 2．（多选）（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），点Q正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（   ） A． B．的最小值为 C．点Q的轨迹的长度为 D．直线与平面所成角的最小值为 【答案】ABD 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、空间线段点的存在性问题 【分析】对于A，由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，作出判断；对于B，通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值.对于C，先根据题意判定出点Q的轨迹，再求弧长即可；对于D，作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最小值； 【详解】对于选项A，由正方体性质，易得，， 因为平面， 所以平面.因为平面，所以，故A正确； 对于选项B，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内    由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故B正确. 对于选项C，因为，在正方形中，，. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧. 根据弧长公式，这里，，所以轨迹长度为，故C错误； 对于选项D，如图连接交于，              因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当最大时最小，即P与B重合，时，最大. 可得， 此时，故的最小值为， 直线与平面所成角的最小值是，故D正确； 故选：ABD. 3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角尺（Rt△ACD和Rt△BCD）组成的三角形，如图所示，其中∠ACD＝45°，∠BCD＝60°.现将Rt△ACD沿斜边AC进行翻折成△D1AC（点D1不在平面ABC内）.若M，N分别为BC，BD1的中点，则在△ACD翻折过程中，下列说法正确的是（　　）    A．在线段BD上存在一定点E，使得AD1∥平面MNE B．存在某个位置，使得直线AD1⊥平面BCD1 C．不存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60° D．对于任意位置，二面角D1BCA始终不小于直线AD1与平面ABC所成角 【答案】ABD 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、判断线面平行、判断线面是否垂直、二面角的概念及辨析 【详解】 解析：当E为AB的中点时，AD1∥NE，AD1⊄平面MNE，NE⊂平面MNE，即有AD1∥平面MNE，故A正确；由于AD1⊥D1C，当AD1⊥D1B，且D1B＜AB时，D1C∩D1B＝D1，可得直线AD1⊥平面BCD1，故B正确；假设存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60°，由AD1∥NE，过E作EH∥DM交BC于H，可得∠NEH＝60°，设CD＝AD＝1，则AC＝，BD＝，BC＝2，可得NE＝，DM＝1，EH＝，连接NH，则NH＝＝＞NM＝，故C不正确；过D1作D1O⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，过O作OF⊥BC，垂足为F，连接D1F，可得∠D1AO为直线AD1与平面ABC所成角，∠D1FO为二面角D1BCA的平面角，tan ∠D1AO＝，tan ∠D1FO＝，而OA≥OF，可得≤，则任意位置，二面角D1BCA始终不小于直线AD1与平面ABC所成角，故D正确．    4．（多选）（2024·江苏徐州·模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（    ） A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形 B．的最小值为 C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为 D．两点间的最短距离为 【答案】ABD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、多面体与球体内切外接问题、求异面直线的距离 【分析】根据面面平行的性质可判断A；将两半平面折成一个平面，从而求得线段和的最小值，判断B；确定三棱锥的外接球的球心位置，列式求解，可判断C；求解异面直线的公垂线段的长可判断D. 【详解】在正方体中，平面平面，        设过的截面截正方体所得的截面为，M为截面与的交点， 因为平面平面，平面平面， 所以，又，故， 即∽，而， 则， 又点为线段上一点（不包括端点），， 即过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形，A正确； 根据正方体性质可知≌，    故可将沿转到和重合位置，则的最小值为的长， 而正方体棱长为1，故，即的最小值为，B正确； 当点为线段中点时，设的中点为N，连接，      由于，故， 连接交于G，连接，则四边形为矩形， 故，平面， 故平面，又，则N为的外心， 故三棱锥的外接球的球心在上，设为H，而, ，则， 设三棱锥的外接球半径为r，则， 解得，C错误； 当分别为的中点时，由C的分析可知Q位于N点位置， 此时，即此时间距离最短，最短距离为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了几何体截面问题、线段和最小以及外接球半径和异面直线间的最短距离问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，特别是求外接球半径时，要确定球心位置，再列式求解. 5．（多选）（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）在长方体中，，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．与所成角的正切值的最大值是 C．以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是 D．若P为靠近B的三等分点，则该长方体过的截面周长为 【答案】ACD 【知识点】证明面面平行、求异面直线所成的角、球的截面的性质及计算、已知向量共线（平行）求参数 【分析】对于A，由长方体性质及线面平行判定证面、面，再由面面平行的判定和性质判断；对于B，由及异面直线夹角的定义得到与所成角即为（锐角），根据线面垂直的性质有，则即可确定其最大值；对于C，首先确定以为球心，5为半径的球面与面的轨迹，再判断球面与侧面的交线图形，即可求长度；于D，应用平面基本性质画出截面，结合长方体性质判定其为平行四边形，结合已知求边长即可判断. 【详解】由长方体性质知：，面，面，则面， 同理可证面，又，面，则面面， 又面，则平面，A对； 由，则与所成角即为（锐角）， 由面，面，则， 所以，而，只需最大，即为4， 故与所成角的正切值的最大值是，B错； 以为球心，5为半径的球面与面的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以球面与侧面的交线是个圆弧，则交线长为，C对； 如图，延长交于，过作交于，连接， 结合长方体性质知：四边形为平行四边形，且为该长方体过，P，C的截面， 又为靠近的三等分点，则，故， 所以，，则的周长为，D对. 故选：ACD . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握立体的相关知识，逐一分析选项即可得解. 【题型七 线面角中的探索性问题】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.    (1)证明：. (2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、由线面角的大小求长度 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质和面面垂直的性质可得平面，由线面垂直性质可得结论； （2）方法一：取中点，作，由线面垂直的性质和判定可证得平面，由线面角定义可知，根据长度关系可构造方程求得，代入棱锥体积公式可求得结果； 【详解】（1）是中点，，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）方法一：取中点，连接，作，垂足为，连接，     分别为中点，，，又，； 由（1）知：平面，平面，； 平面，，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 直线与平面所成角为，， 设， ，， ，， 又， ，解得：或， ， 当时，；当时，. 综上所述：四棱锥的体积为或. 2．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.    (1)求证：； (2)已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点， 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求长度 【详解】（1）因为，，，， 所以四边形是直角梯形，且，， 故，即. 又平面，平面，所以. 又，且平面，所以平面， 又平面，所以； （2）过点作于点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 则为与平面所成的角. 设，则，，， 由得 解得或（舍去），所以为的中点. 过点作于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，，所以， 即为的中点，且此时二面角的大小为.    3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由线面角的大小求长度 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解，或者利用线面角的几何法，得为直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）证明：因为直三棱柱，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以． 又为的中点，所以为的中点． （2）在平面内，过点作，垂足为，连接， 由直三棱柱得平面，又平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以，即， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 设，因为，， 所以，所以， 解之得，即． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在三棱柱中，，，平面. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、由线面角的大小求长度 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可得出； （2）设，分析可知，直线与平面所成的角为，计算出、、的长，分析可知平面与平面的夹角即，求出三边边长，分析可知，，即可求得的余弦值. 【详解】（1）因为，，且，所以四边形为菱形，则, 又因为平面，平面， 所以，又，、平面，所以平面， 又平面，所以. （2）因为平面， 所以直线与平面所成的角为，即， 因为平面，平面，则，则， 令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 所以，， 取中点，连接、， 等腰直角中，且， 由勾股定理得， 因为，则，且， 因为，，平面平面， 所以平面与平面的夹角即， 在中，，，，则，即， ，故平面与平面的夹角余弦值为. 5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）结合棱台的性质可推出平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）过作于D，说明是与平面ABC所成的角，作，说明为二面角的平面角．进而结合解三角形可得，利用三角恒等变换，即可求得答案. 【详解】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 【题型八 二面角中的探索性问题】 1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、求二面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可； （2）先应用二面角余弦值求出,再求异面直线所成角的正切即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，平面，平面，所以平面． （2）如图，    在正三角形内，过点作，垂足为，∴， ∵，侧面底面，面面，面， ∴底面，底面，则， 过作，垂足为，连接，， ，平面，则平面，而平面，∴， 则即为二面角的平面角，即 ∴， ∴ 在中，，∴， 由，，得四边形为平行四边形，∴， 由，得为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 2．（23-24高一下·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、求点面距离、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证； （3）首先证明平面，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再由，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （3）因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据垂直关系建立空间直角坐标系，求解直线的方向向量，即可由向量的夹角求解，或者利用线线平行可得为异面直线与所成角的补角，即可利用三角形的边角关系求解， （2）求解平面法向量，根据向量的夹角即可求解，或者利用线面垂直可得为直线与平面所成的角，，即可利用三角形的边角关系求解， （3）求解两个平面的法向量，根据法向量的夹角即可求解，或者利用二面角的定义，结合几何法可得为二面角的一个平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）过作垂直于，所以， 所以，， 所以，，所以. 取中点，中点，中点，中点， 所以，， 所以为异面直线与所成角的补角. 因为，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面. 又因为，所以平面，平面，所以， 在，，， 所以. 在中，，， 由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）方法一： 因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以. 过作，垂足为， 由于，，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）方法一： 在棱上取一点，连接， 过作，垂足为，连接， 因为平面，为在平面内的射影， 所以，所以为二面角的一个平面角， 在中，因为，，所以， 在中，因为， 所以，， 所以， 在中，由正弦定理， 得，所以. 4．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）是正三角形，是边上的高，E是AC中点，将沿翻折成二面角， (1)若二面角的平面角为，求与平面所成的角的正切值； (2)若二面角的平面角为（为锐角），与平面所成的角为，用表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）由题意就是二面角的平面角可得三角形是等边三角形，取的中点，利用线面垂直的判定定理得平面，取的中点可得平面，即为与平面所成的角，设，求出、可得答案； （2）由题意就是二面角的平面角，取的中点，利用线面垂直的判定定理得平面，取的中点可得平面，即为与平面所成的角，设，求出、可得答案. 【详解】（1）如图，因为， 所以就是二面角的平面角， 所以，可得三角形是等边三角形， 取的中点，连接，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 取的中点，连接，所以， 可得平面， 所以即为与平面所成的角， 设，则，， 由余弦定理得， 在，由余弦定理得 ，可得， 所以； （2）如图，因为， 所以就是二面角的平面角， 所以， 做，交于点，连接， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 取的中点，连接，所以， 可得平面， 所以即为与平面所成的角， 设，则，， 所以， 所以， 所以， 可得， 所以， 可得. 5．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．    (1)求证：平面PCE； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【知识点】证明线面平行、求线面角、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，再利用平行四边形性质，结合线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直的性质与判定，结合面面垂直的判定推理即得. （3）由线面垂直的性质与判定定理确定二面角的平面角并求出，借助面面垂直的性质确定直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）依题意，且，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 连接，由且，得四边形为平行四边形， 又，则为正方形，有， 又，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，因此，为二面角的平面角，即， 在中，，在平面内过作于点M， 由（2）知，平面平面，平面平面，则平面， 于是为直线在平面上的投影，为直线与平面所成的角， 在中，，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    一、单选题 1．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】B 【知识点】证明线面平行、点面距离的概念及性质、线面垂直证明线线垂直 【分析】对A：假设，再根据//，推出，再推出矛盾即可；对B：延拓平面，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断不过中点，即可判断选项的正误. 【详解】对A：假设，因为//，则，； 因为为正方体，故面，又面，故，， 故，假设不成立，即与不垂直，故A错误； 对B：连接，如下所示： 因为分别为的中点，故//，又//，故//，故四点共面； 易知四边形为平行四边形，故//，又面，面，故//面，B正确； 对C：由B可知，平面截正方体所得截面为梯形； ，， 故梯形的面积为，故C错误； 对D：连接，记，若下所示： 若点与点到平面的距离相等，则过的中点，也即为的中点； 显然四边形为平行四边形，显然不为的中点，故不是中点， 则点与点到平面的距离不相等，故D错误； 故选：B. 2．（2022·四川巴中·一模）在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，可得四边形是平行四边形，，（或其补角）就是异面直线与所成的角，设正方体的棱长为，在中，利用余弦定理可得答案. 【详解】如图，取的中点，连接分别为的中点， 所以，故. 所以四边形是平行四边形，所以，故（或其补角）就是异面直线与所成的角. 设正方体的棱长为2，则，所以. 又，所以在中，有. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明面面平行 【分析】A.由题意转化为证明平面和平面，即可证明；B.根据面面平行的判断定理转化为证明平面和平面，即可证明；C.由A选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，说明不成立. 【详解】选项A：如图，取中点，连接,,,， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，,， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D 4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二面角、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】根据线线角，线面角以及二面角的定义，可得，，，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】解：如图，取中心中点连接，使得， 由题可知，，，且，，均为锐角， 由于平面，平面，所以, 又,平面， 所以平面，平面，故, 因此，， 因为，所以， 因为，所以， 所以 故选：D 5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知矩形中，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】证明三角形相似得到，进而证明出线面垂直，面面垂直，作出辅助线，得到或其补角即为异面直线和所成角，结合余弦定理求出答案 【详解】如图1，在矩形中，是边的中点， 故，故， 又，故，所以， 则，故． 如图2，将沿折起，点的对应点为，在翻折过程中，当与垂直时， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 所以平面， 连接，因为， 所以或其补角即为异面直线和所成角， 因为，所以， 故，则，又， 故，即所求角的余弦值为， 故选：D． 6．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于B，如图①，因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面， 所以平面平面，故C正确; 对于D，如图②过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 显然平面，所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：D. 7．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正四棱锥的8条棱长均相等，为顶点在底面的射影，则（    ） A．侧棱与底面所成角的大小为 B．设，为正方形边上的两点，则二面角的值大于 C．侧面与底面所成角的大小为 D．设为正方形上的点，则直线与底面所成角的最大值为 【答案】B 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角 【分析】根据线面角、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，平面， 平面，则. ， 对于A，依题意可知是侧棱与底面所成的角， ，为锐角，且，则A选项错误. 对于B，过作，垂足为，由于平面， 则，由于平面， 则平面，由于平面，则， 则二面角的平面角为， 由于平面，则， 当时，平面，则平面..平面， 此时二面角为直角， 当时，，由于是正方形边上的两个点， 则，则， 则二面角的值大于.则B选项正确. 对于C，设是的中点，连接，由于， 侧面与底面的交线为， 则侧面与底面所成角的平面角为， 由于平面，则，， 则，则侧面与底面所成的角大于，则C选项错误. 对于D，当点与点重合时，直线与底面所成角为，则D选项错误. 故选：B 8．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、判断正方体的截面形状 【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解. 【详解】如图所示，分别取的中点， 连接， 因为且， 所以四边形时平行四边形， 所以， 因为分别时的中点， 所以， 所以，同理可得， 所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又平面， 所以平面， 因为， 所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为. 故选：D. 二、多选题 9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（    ） A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直 C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直 【答案】ACD 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】结合实例，依据空间中直线、平面之间的位置关系，对A、B、C、D判断正误即可． 【详解】对于A，如图， 在平面内存在无数条直线与直线m垂直，A正确； 对于B，在直线m上取一点， 过该点作平面的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面垂直， 过直线m有且只有一个平面与平面垂直，B错误； 对于C，类似于选项A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面， C正确; 对于D，如图， ，，可作的平行平面， 则且，D正确. 故选： 10．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）在正方体中，点、分别为、的中点，则（   ） A． B．平面 C．与所成角为 D． 【答案】ACD 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接 、 ，由中位线定理可判断A；由 与 不垂直判断B； 由 ， 得出 与 所成角，可判断C， 由 平面 证明 ，可判断D. 【详解】对于A：如图，连接 、， 在正方形 中，为的中点， 且 ，即也为的中点， 所以，，故A正确； 对于B：连接、、、， 因为，则为等边三角形，所以，， 因为且，则四边形为平行四边形，所以，， 则与不垂直，因为，所以，与不垂直， 故与平面不垂直，故B错误； 对于C，因为，，所以，与所成的角为，故C正确； 对于D，因为平面，平面，所以，， 因为，所以，，故D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确； D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在长方体中，，点满足，其中，，则（    ） A．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 B．当时，面 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，的最小值为 【答案】BCD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、面面平行证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求长度 【分析】由平面，得到点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，可判定A错误；当时，得到点在线段，证得平面和平面，得到平面平面，可得判定B正确；当时，得到点在线段上运动,由线面垂直得P的轨迹为圆，可判定C正确；当时，得到点在线段上运动，沿着将直角和平面展在一个平面上，结合余弦定理，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，连接，在长方体中，可得平面， 所以即为与平面所成的角，即， 在直角中，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其周长为，所以A错误； 对于B中，当时，因为，且点满足， 所以点在线段，连接， 在长方体中，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以B正确； 对于 C中，当时，因为，且点满足， 取的中点，连接，可得点在线段上运动， 若，因为平面，且平面， 所以，平面,故平面， 又平面，故,所以点在以为直径的圆上， 又因为，可得线段与以为直径的圆只有一个交点， 所以当点与重合时，即当且仅当为的中点时，能使得，所以C正确； 对于D中，当时，因为，且点满足， 取的中点，连接，可得点在线段上运动， 沿着将直角和平面展在一个平面上，如图所示， 在中，， 由余弦定理得，所以， 即的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 13．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点，且AQ⊥平面，则 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明，证明，证明平面平面，在平面内过点作交于点，根据求出. 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 因为平面平面， 所以平面，显然， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则 . 【答案】4 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题、正弦定理求外接圆半径 【分析】取中点为，连接交于，先利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明平面，再将三棱锥补成正三棱柱，利用正三棱柱外接球的性质求解即可. 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱，设正三棱柱的外接球球心为，半径为， 取中点为，连接交于， 因为是等边三角形，所以，， 平面平面，平面平面，面，则面， 平面平面，平面平面，面，则面， 因为平面，平面，所以，， 因为相交，且都属于平面，所以平面， 在中，外接圆半径， 所以由，得，解得， 故答案为：4 15．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】求二面角、证明线面垂直 【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解． 【详解】由平面知识易证，所以. 在三棱锥中，， ∴， 过点在平面内作，垂足为点，连接． ∵， ∴易得平面又∵平面， ∵平面，平面， 平面， ∴二面角的平面角为， 在中，， 由余弦定理可得， ∴， ∴， ∵平面平面， ∴，故， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：. 16．（23-24高一下·江苏泰州·期末）如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为 米：猎人行走至点的最短路程是 米. 【答案】 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】先根据二面角结合余弦定理求出两点间距离，再根据展开图结合三角形求边长即可. 【详解】过作的平行线，且， 因为，所以为的平面角，， 由， 在中，由余弦定理可得： 所以，， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面, 所以平面平面,所以， 在中，,所以， 把二面角展开成一个平面，, 在中， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 17．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论； （2）易知，结合余弦定理即可求得异面直线和的夹角的余弦值． 【详解】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 18．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 (1)求证：平面 (2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; (3)点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接交于点，连接，利用相似比证明，由线面平行的判定定理证明即可; （2）先证明,得到异面直线与所成的角为，然后利用余弦定理求解即可; （3） 先证明平面平面，再由线面平行的性质定理得到，再根据相似三角形求解即可. 【详解】（1）连接交于点N，连接， 设及，可知， 又，所以，所以在中有， 又平面，而平面，所以平面 （2）取的中点O，连接，， 根据，，O为的中点，可知为平行四边形， 所以，且， 则异面直线与所成的角即为（或其补角）， 因为为边长是4的等边三角形， 故，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是 （3）取中点G，连 ， 因为E是中点， G为中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 且， ，平面， 所以平面平面BDM， 又平面EFG，所以平面 又平面，且平面平面， 所以，所以 由题可知，所以 即 19．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接．先证明四边形是矩形．再借助中位线证明，运用线面平行定理证明即可. （2）连接并延长与交于的中点，记为点F，过O作，交于点H．则为的三等分点（靠近点），连接，则或其补角为异面直线与所成角，设，根据直三棱柱的侧面积为，解得，再分别求出，，，，在中用余弦定理求出即可. 【详解】（1）证明：连接． 在直三棱柱中，，且， 四边形是矩形． 是的中点， 过点N且平分． 在中，M是的中点， 是的中位线， ，又平面，平面， 平面． （2）点E，M分别是和的中点， 与的交点O为的重心． 连接并延长与交于的中点，记为点F． 过O作，交于点H． 为的三等分点（靠近点）． 连接，则或其补角为异面直线与所成角． 设，则直三棱柱的侧面积为，解得． 直三棱柱的底面为直角三角形，， ，． 且都在面内， 平面，面， ． 又， ． 又，． 在中，， 异面直线与所成角的余弦值为． 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中， 底面ABCD是边长为3的菱形，且， AC交BD于点O，，M，N分别为PA，BC的中点. (1)求证：MN∥平面PCD； (2)记二面角的平面角为θ， 若 ①求 PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点 N到平面 CDP的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2)①；② 【知识点】证明线面平行、求点面距离、求线面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，证明，然后证明平面PCD； （2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出，，再由条件可证明所求线面角为，利用直角三角形求大小即可；②由平面PAC转化为求O到平面距离，作出垂线段，利用等面积法求解即可. 【详解】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图， 因为为PA的中点，则， 又因为为的中点且四边形ABCD为菱形，则， 可得，可知四边形MNCE为平行四边形，则， 且平面PCD，平面PCD。所以 MN∥平面PCD. （2）①连接PO，取的中点，连接， 因为， 则，且，，， 可知为二面角的平面角，即， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 则， 因为，是的中点，则， 又因为为菱形，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可知平面平面， 且平面平面， 由面面垂直的性质可知：直线在平面上的射影为， 所以PA与底面ABCD所成角为. 因为，则， 且 ，可知， 所以PA与底面ABCD所成角的大小为； ②连接，过作于， 由，平面，平面，则平面， 可知点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离， 因为，平面， 可得平面，且平面，可知平面平面 又因为，平面，平面平面， 所以平面，且平面， 在中，，，， 由等面积法可得，即， 所以点N到平面CDP的距离为. 【点睛】关键点点睛：根据二面角分析可知为二面角的平面角，结合余弦定理可得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$