专题01 基本立体图形（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 基本立体图形 目录 【题型一 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题】 1 【题型二 棱柱、棱锥、棱台中的截面问题】 2 【题型三 圆柱、圆锥、圆台中的展开图及最短距离问题 】 4 【题型四 旋转体中的截面问题】 5 【题型五 斜二测画法中的计算问题】 6 一、空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【题型一 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题】 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 . 4．（23-24高二上·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    5．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则的最小值为 . 【题型二 棱柱、棱锥、棱台中的截面问题】 1．（23-24高一下·江苏镇江）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2021·江苏扬州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的有（ ） A．平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形 B．平面截直四棱柱所得被面的面积为 C．平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25 D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2 3．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 4．（2024高一·江苏·专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为 . 5．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）将棱长为1的正方体沿对角面，，同时切开后，共得到 个多面体，其中一个多面体的体积为 只需写出一种结果 6．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面与该正方体侧面相交所得多边形的周长为 . 7．（2023·江苏南通·一模）已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 . 【题型三 圆柱、圆锥、圆台中的展开图及最短距离问题 】 1．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥底面圆的圆心为是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为是母线的中点，是母线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的母线长为12 B．圆锥的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥的侧面上的曲线从点爬到点处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥的顶点的最短距离是 D．在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 3．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    4．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 5．（23-24高一下·江苏无锡）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【题型四 旋转体中的截面问题】 1．（23-24高一下·辽宁大连·）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6      2．（23-24高二上·湖南）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北·开学考试）圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．（22-23高一·全国·课后作业）从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 【题型五 斜二测画法中的计算问题】 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知的直观图是一个边长为4的等边三角形，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（ ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．的周长为 D．的面积为 5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    一、单选题 1．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 4．（23-24高一下·北京大兴）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北张家口）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 6．（2024·重庆·模拟预测）如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）    A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C．若保持，则点M的运动轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为等腰梯形 7．（23-24高一下·浙江·期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，，，……，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（    ） A．当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2 B．当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是 C．当此几何体为半正多面体时，或 D．当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成 三、填空题 8．（2024·江苏·模拟预测）小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为，则“十字捆扎”所需绳长为 ；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为 .（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含的式子表示）    9．（23-24高二下·福建泉州）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 . 10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若正四面体的棱切球（球与正四面体的棱均相切）半径为1，则正四面体的棱长为 ；该棱切球的球面与正四面体的表面相交所得曲线的总长度为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 基本立体图形 目录 【题型一 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题】 1 【题型二 棱柱、棱锥、棱台中的截面问题】 5 【题型三 圆柱、圆锥、圆台中的展开图及最短距离问题 】 14 【题型四 旋转体中的截面问题】 19 【题型五 斜二测画法中的计算问题】 22 一、空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【题型一 棱柱、棱锥、棱台的展开图及最短距离问题】 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱锥的展开图、棱锥的结构特征和分类 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 3．（23-24高一下·吉林·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】由对称性得到周长的最小值即的最小值，将两平面旋转到同一平面上，得到，得到答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得， 则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上， 过点作⊥于点，则，其中， 如图②，则， 故的周长的最小值为. 故答案为： 4．（23-24高二上·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，可知的最小值为，利用余弦定理运算求解. 【详解】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接， 则的最小值为，    在中，可知， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱锥的展开图、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据正四棱锥的性质，将所在平面展开在一个平面上，即可判断最小时的位置关系，即可确定最小值. 【详解】正四棱锥如下图示， 将面与面展开在一个平面上，E、F为中点，如下图， 所以在移动过程中，当共线时，最小为. 故答案为：. 【题型二 棱柱、棱锥、棱台中的截面问题】 1．（23-24高一下·江苏镇江）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱台中截面的有关计算、由平面的基本性质作截面图形、公理的应用 【分析】取的中点，则，又，则，可得过，，三点截面为等腰梯形，利用题中数据及正四棱台的性质计算即可. 【详解】 取的中点，连接，则， 又，则，又根据正四棱台的性质得， 则为等腰梯形，即过，，三点截面为等腰梯形． 取的中点，连接， 在等腰梯形中，， 则，， 在等腰梯形中，，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积． 故选：A． 2．（多选）（2021·江苏扬州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的有（ ） A．平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形 B．平面截直四棱柱所得被面的面积为 C．平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25 D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2 【答案】BCD 【知识点】正棱柱及其有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据所给条件，结合线面关系的性质判定，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对A，延长交直线于，连接，交棱于， 连接可得五变形，故A错误； 对B，由平行线分线段成比例可得， 故 ，则为等腰三角形，由相似三角形可知： ，，则，， 连接，易知， 因此五边形可以分为等边三角形和等腰梯形， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为， 又， 所以五边形的面积为，故B正确； 记平面将直四棱柱分割成上下两部分的面积分别为， 则， 所以，，故C正确； 对D，因为平面过线段的中点，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，由平面过的三等分点可知，点 到平面的距离是点到平面的距离的2倍，因此，点 到平面的距离是点到平面的距离的2倍，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题以空间几何体为基础，考查了平面截空间几何体的相关问题，考查了截面面积以及截面截几何体上下体积之比，同时考查了点到面的距离问题，计算量较大，属于较难题.本题的关键点有： （1）精确确定平面截空间几何体的截面位置； （2）根据截面所在位置精确计算相关量. 3．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 【答案】 五/5 / 【知识点】判断正方体的截面形状、棱柱及其有关计算 【分析】利用面面平行的性质以及基本事实，可得截面，然后截面面积为分别求解相加即可. 【详解】过作的平行线交于，交于，连接，交于，连接，则直线与直线共面，且点， 则点也在直线与直线确定的面上， 所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面， 如图：为中点，为中点，明显有， 所以，所以为靠近的四等分点， 又，且为中点，所以 又，所以，即为靠近的三等分点， 所以， ，， ，， ， 所以，， ， 所以截面面积为. 故答案为：五；. 4．（2024高一·江苏·专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于，可得平面，设平面与交于，则MF⊥PC，从而点四点共面，故平面AFMH即为平面α， 然后利用等面积法求出AM的长度，再利用比例关系求出FH的长度，求解截面的面积即可. 【详解】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于， 又，所以平面， 设平面与交于，则MF⊥PC， 所以平面AFMH即为平面α， 底面ABCD是边长为1的正方形， 所以，PA⊥底面ABCD，， 所以， 由等面积法可得， 解得，由对称性可得到FHBD， 在△PAC中，，所以， 又，CD=1， 所以PC2=PD2+DC2，故∠PDC=90°， 在△PDC中，， 所以， 所以， 在△PBD中，，所以， 所以棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为. 故答案为： 【点睛】在解有关空间几何体的截面问题时，先确定截面，再利用空间几何体的性质、等面积法，结合题意中相关量的关系解出答案. 5．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）将棱长为1的正方体沿对角面，，同时切开后，共得到 个多面体，其中一个多面体的体积为 只需写出一种结果 【答案】 8 （或,答案不唯一） 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积、判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算 【分析】对于第一空，分情况讨论分成的部分，得到总的多面体个数；对于第二空，正方体棱长为1，通过正方体体积和切割后多面体的体积关系，求出其中一个多面体体积即可. 【详解】（1）正方体被三个对角面、、切割. 每个对角面都会将正方体分成两个部分，但是这些部分会相互重叠. 具体来说： 第一个对角面将正方体分成两个部分， 第二个对角面进一步将每个部分分成两个，总共分成四个部分， 第三个对角面会再次将每个部分分成两个，但由于之前的切割，最终会得到8个多面体.分别是三棱锥,三棱锥,三棱锥,三棱锥,三棱锥,三棱锥,六面体,六面体. （2）设正方体棱长为1，截面将正方体分成体积相等的两部分，不妨保留三棱柱，截面将三棱柱分成三棱锥 和四棱锥，它们的体积分别是和，于是，保留四棱锥，在正方体的截面 上，与相交于O，则截面将四棱锥分成三棱锥及多面体，O是正方体的中心，于是，三棱锥的体积为，则多面体的体积为，所以其中一个多面体的体积为或. 故答案为：8；(或，答案不唯一). 6．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面与该正方体侧面相交所得多边形的周长为 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、证明面面平行 【分析】取的中点，的中点，证明，再利用面面平行的判定定理可证得平面平面，由此确定平面截该正方体所得截面，再求其周长. 【详解】如图1，取的中点，的中点，连接， 则， 所以，故，在同一平面内， 连接，因为，分别为，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为，、平面， 所以平面平面， ，，，等腰梯形如图2， 故所得截面的周长为. 故答案为：. 7．（2023·江苏南通·一模）已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算、正棱锥及其有关计算、证明线面垂直 【分析】空1，数形结合，作平面与平面平行，即可解决；空2，令，得，，得，，得，即可解决. 【详解】取中点 平面， 作平面与平面平行，如图至多为五边形. 令， ， ， 所以， 所以 所以, 因为与的夹角为与夹角，而与垂直， 所以， 当时，取最大值. 故答案为：； 【题型三 圆柱、圆锥、圆台中的展开图及最短距离问题 】 1．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆台的展开图 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 2．（多选）（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥底面圆的圆心为是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为是母线的中点，是母线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的母线长为12 B．圆锥的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥的侧面上的曲线从点爬到点处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥的顶点的最短距离是 D．在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由线面角的大小求长度 【分析】A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的面积即可. 【详解】 如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以，所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，，则圆锥的侧面积为，所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，，由余弦定理可得，则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为，由题意可知，则，所以.因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故答案为：BCD. 【点睛】关键点睛：D选项的解题关键在于得到当正方体为圆锥内切球的内接正方体时，正方体的体积最大，然后通过计算内切球的半径求正方体的体积. 3．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    4．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 5．（23-24高一下·江苏无锡）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)， (2)4 cm 【知识点】台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用等面积法，可得答案. 【详解】（1）由题可知上底面半径为，下底面半径为，母线长， ， 设圆台的高为h，则， . （2）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，    设，，则，，解得，， ∴，， ∴，即绳子最短长度为50cm， 作于点Q，交弧于点P，则PQ为所求的最短距离， ∵，∴，故(cm)， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 【题型四 旋转体中的截面问题】 1．（23-24高一下·辽宁大连·）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】求出圆锥底面圆的半径，计算得圆锥的轴截面三角形顶角为钝角，轴截面面积的最大是为直角三角形时最大可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的轴截面三角形顶角为，则， 又因为，所以，， 所以过圆锥顶点作轴截面，轴截面面积最大时即顶角为， 所以最大值为. 故选：B.      2．（23-24高二上·湖南）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥中截面的有关计算、圆柱轴截面的有关计算、组合体截面的形状 【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答案. 【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2， 则截面圆的面积为： 设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以 正四棱锥的底面正方形的面积为 由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似 设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为 则,从而 所以截面图形的面积为． 故选：C． 3．（23-24高二上·湖北·开学考试）圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、圆台的结构特征辨析、余弦定理解三角形、由平面的基本性质作截面图形 【分析】 求出轴截面时所补成的等腰三角形的顶角的余弦值，则判断其为钝角，再计算出截面积的表达式，得到最值. 【详解】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形， 根据，则为三角形的中位线，则， 在中利用余弦定理得， 因为，所以， 过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成的等腰三角形，设其顶角为， 则，因为，且， 则当时，的最大值为. 故选：C.      4．（22-23高一·全国·课后作业）从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解. 【详解】解：如图所示作出轴截面， 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径， 设圆锥的截面圆的半径为， 因为，所以是等腰直角三角形. 又，所以，故， 所以截面积. 故答案为：. 【题型五 斜二测画法中的计算问题】 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用斜二测画法规则还原直观图，根据面积比例关系求解可得. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：C.   2．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知的直观图是一个边长为4的等边三角形，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】根据直观图的性质还原并求出的高即可求解. 【详解】如图， 是边长为4的直观图，, O为中点，在轴上，过作交轴于点D，    则，轴， 又， 所以由正弦定理可得， 又由题意可知， 所以由三角形相似性得：， 所以由直观图特点得， 所以. 故选：D. 3．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 【详解】由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 4．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（ ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．的周长为 D．的面积为 【答案】CD 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测法可求出，，再利用余弦定理可求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】如图，因为正三角形的边长为，故， 所以，， 在中，，由余弦定理得： ， 在中，，由余弦定理得： ， 在中，因为， 由余弦定理知，故A错误； 又因为，故B错误，D正确； 的周长为： ，故C正确. 故选：CD. 5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】先求出梯形的面积，再根据公式，即可求解. 【详解】过作垂直于点，如图所示， 因为是直角梯形， 所以四边形是矩形， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：.    一、单选题 1．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【详解】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D．    【点睛】关键点点睛：根据球的半径为2，判断球只与侧而及侧面，上底面及下底面相交. 2．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、棱锥中截面的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】取线段的中点，连接、， 因为、为等边三角形，为的中点，则，， ，、平面，平面， 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， 且， 取的中点，连接，则， 且，故. ①当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则； ②当时，； ③当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则. 综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象. 3．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】A 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C，D项错误； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到为，为，由此得解. 4．（23-24高一下·北京大兴）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状、判断线面是否垂直 【分析】作出正方体的对角线的中垂面截正方体所得截面多边形，再分段求出AP的长范围作答. 【详解】点在棱长为2的正方体表面运动，且，则点的轨迹是 线段的中垂面截正方体所得截面多边形， 分别取棱的中点， 则， 因此点在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图， 当点在线段上时，若点为线段中点，有，， 于是点为线段上任意一点，， 当点在线段上时，，为钝角，则，即， 当点在线段上时，，，， 为钝角，则，即， 当点在线段上时，由， 边上的高为，此时， 由对称性知，当点在折线上时，， 所以线段AP的长的取值范围是. 故选：D 【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形. 5．（23-24高一下·河北张家口）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，                        设点的新位置为，连接，则有. 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即 在三角形中，，，由勾股定理可得：,且. 同理可求： 因为，所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故选B. 【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值. 二、多选题 6．（2024·重庆·模拟预测）如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）    A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C．若保持，则点M的运动轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为等腰梯形 【答案】BCD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D. 【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，    连接，则，故A错误； 对于B，如图：    因为平面，平面，，又， ，，平面 ， 所以平面 ，平面 . 所以'，同理可得，，，平面 . 所以平面 . 所以过点作交交于，过作交交于， 由，可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 则平面平面. 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，由点在棱上，且，可得， 所以，故B正确； 对于C，如图：    若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则，此时. 所以点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为. 点的运动轨迹长度，故C正确； 对于D，如图：        延长，交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为. ，所以. ，所以， 所以，所以，且， 所以截面为梯形， ，所以截面为等腰梯形. 故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高一下·浙江·期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，，，……，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（    ） A．当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2 B．当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是 C．当此几何体为半正多面体时，或 D．当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成 【答案】BD 【知识点】多面体的性质探究 【分析】根据不同的半正多面体，取不同的数值，画出几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算求解即可. 【详解】由题意得，，， 对于A，当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，，， ，故A错误； 对于B，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，，所以，表面积为，正确； 对于C，D，当时，如下图所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成，此时几何体也是半正多面体，故C错误，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题考查半正多面体的几何性质.本题关键点是根据取不同的数值，画出对应的几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算. 三、填空题 8．（2024·江苏·模拟预测）小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为，则“十字捆扎”所需绳长为 ；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为 .（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含的式子表示）    【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用长方体的结构特征计算即可得“十字捆扎”所需绳长；将长方体按照“对角捆扎”路径展开，求出两点间距离作答. 【详解】依题意，“十字捆扎”所需绳长为； 当采用“对角捆扎”时，将长方体沿着捆绑路径展开，如图，    观察图形知，“对角捆扎”所需绳长， 当且仅当展开图中，点共线时取等号， 在中，，因此， 所以“对角捆扎”所需绳长的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 9．（23-24高二下·福建泉州）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 . 【答案】 【知识点】正棱柱及其有关计算 【分析】将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，再解三角形可得答案. 【详解】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中， 则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，所以过点A、E、F的截面为AEGF， 因为和均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以， 在中，连接H1F交于，则为的重心， 所以，因为，所以， 又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决. 10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若正四面体的棱切球（球与正四面体的棱均相切）半径为1，则正四面体的棱长为 ；该棱切球的球面与正四面体的表面相交所得曲线的总长度为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】确定棱切球与棱相切于棱的中点，由此由对棱中点连线段即为球的直径，从而可求得下正面体棱长，然后确定棱切圆与正四面体每个面的交线就是这个面三角形的内切圆，求得圆周长再乘以4即得交线总长度． 【详解】由正四面体性质，其棱切球与各棱切于棱中点，如图，   分别是中点，则是棱切球的直径， 的中点是棱切球球心，在正四面体的高上，是中心， 易知与垂直， 设，则，解得， ，是底面正的中心，， ， 因此以为圆心，为半径的圆与的三边切于中点， 它就是棱切球的球面与正四面体的底面的交线， 其周长为， 因此棱切球的球面与正四面体的表面相交所得曲线的总长度为， 故答案为：；． 【点睛】结论点睛：正四面体的内切球，外接球，棱切球，它们的球心重合为正四面体的中心，正四面体棱长为，则外接球半径为，内切球半径为，棱切球半径为， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$