第08讲 7.5 正态分布（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第08讲 7.5 正态分布 课程标准 学习目标 ①通过误差模型初步了解服从正态分布 的随机变量的特点。 ②并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质。 ③了解正态分布的均值、方差及含义。 ④了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.。 通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题。 知识点1：正态曲线 （1）连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （2）正态的曲线的定义 函数，其中,为参数. 显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. ①函数的自变量为,定义域为 ②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数 ③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的. ④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致. （3）正态曲线的几何意义 由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值. （4）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 知识点2：正态分布 （1）正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 【即学即练1】（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. （2）标准正态分布 若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线. 【即学即练2】（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（    ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 【答案】C 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知，. 故选：C. 知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【即学即练3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，随着越来越大，（    ） A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定 【答案】A 【知识点】3δ原则 【分析】由为定值，与的变化无关，即可得出答案. 【详解】为定值，与的变化无关． 故选：A. 题型01 正态密度函数 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2024·山东潍坊·模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有 ． 题型02 概率分布曲线的认识 【典例1】（2024·浙江宁波）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【典例3】（多选）（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·河南南阳）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（多选）（2024高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 题型03 标准正态分布的应用 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【典例2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 【典例3】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【变式1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量，，则 ． 【变式2】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 题型04 特殊区间的概率 【典例1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【典例2】（2024高二下·全国·专题练习）某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 参考： A．456 B．558 C．584 D．651 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则 ．（假设，则，，．） 【变式1】（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【变式2】（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为.该厂每天生产的零件尺寸在的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为（    ） 参考数据：若，则，，. A．1587 B．2275 C．2700 D．1350 【变式3】（多选）（23-24高二下·重庆·期末）若随机变量服从正态分布，已知，则（    ） A．B． C． D． 题型05 指定区间的概率 【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高三上·江苏南京·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生.设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（    ） （参考数据：） A．变量服从正态分布 B． C． D． 【典例3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数. (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【变式1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 【变式2】（多选）（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. (1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 题型06 正态分布的实际应用 【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【典例3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图. (1)求出这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)①该产品的该项质量指标值Z服从正态分布,用样本平均数作为的估计值,利用该正态分布,求Z落在内的概率； ②将频率视为概率,如果产品的质量指标值位于区间,企业每件产品可以获利10元；如果产品的质量指标值位于区间之外,企业每件产品要损失50元.从该企业一天生产的产品中随机抽取3件产品,记抽取的3件产品中产品质量指标在内的件数为X,记Y为抽取的3件产品所获得的总利润,求X的分布列和. 附：,. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下： 2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7  2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s； (2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算） 【变式2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【变式3】（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 题型07 原则 【典例1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）某校高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.84，则n的值约为（    ） 参考数据：①；②；③ A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【典例3】（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式1】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【变式2】（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【变式3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 支出费用 频数 (1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率 (2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上 （ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若∽，则，，． 题型08 根据正态曲线的对称性求参数 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2025·贵州贵阳）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 【典例3】（多选）（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）已知某厂生产的陶瓷碗的质量（单位：）服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 【变式2】（23-24高三上·河南周口·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则每天营业额在的天数约为（    ） A．90 B．80 C．60 D．40 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南保山·期中）某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（    ）（若，则） A．6828 B．5436 C．4773 D．2718 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 5．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）随机变量服从若 则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（    ） （1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0； （2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04； （3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8； （4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135． （附：若随机变量服从正态分布，则，） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知随机变量，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 二、多选题 9．（24-25高三上·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则当减小时，保持不变 D．一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 三、填空题 11．（24-25高三上·湖北·期中）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 12．（24-25高三上·江苏南通·期中）某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率 （精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为 ． 附：， 四、解答题 13．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． (1)求． (2)求． (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 14．（24-25高三上·浙江·开学考试）中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛. (1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）； (2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望. 附：若，则， 15．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， B能力提升 16．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； (2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 17．（24-25高三上·广西·期中）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差．假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间的车辆数，求； (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在轴上从原点出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移动到点（胜利大本营）或点（失败大本营）时，游戏结束．若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 7.5 正态分布 课程标准 学习目标 ①通过误差模型初步了解服从正态分布 的随机变量的特点。 ②并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质。 ③了解正态分布的均值、方差及含义。 ④了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.。 通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题。 知识点1：正态曲线 （1）连续型随机变量 除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （2）正态的曲线的定义 函数，其中,为参数. 显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. ①函数的自变量为,定义域为 ②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数 ③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的. ④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致. （3）正态曲线的几何意义 由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值. （4）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 知识点2：正态分布 （1）正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 【即学即练1】（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. （2）标准正态分布 若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线. 【即学即练2】（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（    ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 【答案】C 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知，. 故选：C. 知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【即学即练3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，随着越来越大，（    ） A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定 【答案】A 【知识点】3δ原则 【分析】由为定值，与的变化无关，即可得出答案. 【详解】为定值，与的变化无关． 故选：A. 题型01 正态密度函数 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态密度函数 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【典例2】（多选）（2024·山东潍坊·模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【答案】AD 【知识点】3δ原则、正态密度函数 【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项. 【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为， 其中，其中，， 则，故A正确； B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，， 所以生产线乙的食盐质量，故B错误； C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误； D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确. 故选：AD 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【知识点】正态分布的实际应用、特殊区间的概率、3δ原则、正态密度函数 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有 ． 【答案】①②③ 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故答案为：①②③ 题型02 概率分布曲线的认识 【典例1】（2024·浙江宁波）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 【典例2】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【典例3】（多选）（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由图可知，由此可判断A； 由图可知Y分布更集中，有，由此可判断B； 由计算可判断C； 由可知，，可判断D． 【详解】对A，由图可知，所以A错误； 对B，由图可知Y分布更集中，所以，则，所以B错误； 对C，由正态分布，， 则，故C正确； 对D，由图可知，，所以，故D正确． 故选：CD. 【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·河南南阳）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 【变式3】（多选）（2024高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 题型03 标准正态分布的应用 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 【答案】/ 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 【典例3】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【变式1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量，，则 ． 【答案】0.7/ 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 【变式2】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【答案】BCD 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【知识点】标准正态分布的应用、正态分布的实际应用 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 题型04 特殊区间的概率 【典例1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】由正态曲线的性质求出，即可求解． 【详解】依题意，得， 则， 则估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是：， 故选：A. 【典例2】（2024高二下·全国·专题练习）某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（    ） 参考： A．456 B．558 C．584 D．651 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的概率分布即可求解. 【详解】因为， 故人数为， 故选：B. 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则 ．（假设，则，，．） 【答案】0.1573 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】运用正态分布性质计算即可. 【详解】因为，所以，则 ． 故答案为：. 【变式1】（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】B 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解. 【详解】由题意得， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为.该厂每天生产的零件尺寸在的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为（    ） 参考数据：若，则，，. A．1587 B．2275 C．2700 D．1350 【答案】D 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由正态分布得，，零件尺寸在的概率为，零件尺寸在15.15以上的概率为，根据已知求得其概率后可得所求零件数． 【详解】由已知，，， 零件尺寸在15.15以上的概率为， 设零件尺寸在15.15以上的零件数为， 则，， 故选：D． 【变式3】（多选）（23-24高二下·重庆·期末）若随机变量服从正态分布，已知，则（    ） A．B． C． D． 【答案】AB 【知识点】特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】由对称性，结合条件，即可判断选项. 【详解】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为， A. ，故A正确； B. 由对称性可知，，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D错误. 故选：AB 题型05 指定区间的概率 【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方差的性质、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合期望、方差结论逐个验证即可. 【详解】对于A选项，变量，这里，所以，A选项正确. 对于B选项，因为正态分布图象关于对称，. 根据正态分布的对称性，，B选项正确. 对于C选项，若，则.对于， 根据期望的性质.所以，C选项正确. 对于D选项，若，则，对于， 根据方差的性质.所以， D选项错误. 故选：D. 【典例2】（多选）（24-25高三上·江苏南京·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生.设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（    ） （参考数据：） A．变量服从正态分布 B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据给定条件，求出，再利用正态分布的性质逐项计算判断. 【详解】依题意，，， 对于A，变量服从正态分布，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 【典例3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩（单位：分），绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和第40百分位数. (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)62， (2)182 (3). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由频率分布直方图估计平均数、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）由平均数、百分位数的计算公式即可求解； （2）由正态分布特殊区间概率及对称性即可求解； （3）由题意构造，求导确定单调性即可求解. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为，则， 所以样本平均数的估计值为62. 因为前三个小矩形的面积依次是，所以第40百分位数在之间， 设第40百分位数为，. （2）因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，. 所以，所以. 所以估计能参加复试的人数为. （3）由该生获一等奖的概率为可知，， 则. 令，， 则， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以的最小值为. 【变式1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 【答案】A 【知识点】3δ原则、指定区间的概率 【分析】根据正态分布对称性求得答案. 【详解】因为，所以，， ， 根据正态曲线的对称性可得， . 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由题意可得随机变量，即可判断AB选项，根据题中数据结合正态分布性质求，，即可判断CD. 【详解】由题设可知，，则随机变量， 可得随机变量的标准差为，可得A错误，B正确； 因为 ，即C正确； 易知，即D错误. 故选：BC 【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. (1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 【答案】(1)“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为人、人 (2) (3)班级成绩优于年级成绩 【知识点】计算古典概型问题的概率、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据题设中已知区间上的概率可求及，故可求成绩优秀的人数和不及格人数； （2）根据条件概率的概率公式可求同学丙入选的概率： （3）根据小概率几乎不发生可判断该班成绩由于年级成绩. 【详解】（1）由已知， “成绩优秀”的概率为： . “不及格”的概率为： ， 所以“成绩优秀”的人数为人， “不及格”的人数为人. （2）设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选， 则， （3）由条件知年级中， 而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了， 这说明班级成绩优于年级成绩. 题型06 正态分布的实际应用 【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则、服从二项分布的随机变量概率最大问题、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 【典例3】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图. (1)求出这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)①该产品的该项质量指标值Z服从正态分布,用样本平均数作为的估计值,利用该正态分布,求Z落在内的概率； ②将频率视为概率,如果产品的质量指标值位于区间,企业每件产品可以获利10元；如果产品的质量指标值位于区间之外,企业每件产品要损失50元.从该企业一天生产的产品中随机抽取3件产品,记抽取的3件产品中产品质量指标在内的件数为X,记Y为抽取的3件产品所获得的总利润,求X的分布列和. 附：,. 【答案】(1) (2)①Z落在内的概率为0.47725 ②答案见解析. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、建立二项分布模型解决实际问题、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值作代表代入数据计算可得答案. （2）①根据结合（1）中的样本平均数和参考数据可求出Z落在内的概率.②求出产品质量指标在内的件数,进而求得对应利润,可求得答案. 【详解】（1）样本平均数. （2）①由（1）可知：,从而 ∴ 所以Z落在内的概率为0.47725. ②设抽取的3件产品中,产品质量指标在内的件数为X,又任取一件质量指标在内的频率为, ∴,,, 分布列为： 0 1 2 3 所以产品质量指标在内的件数约为2.7件，不在此区间约为0.3件. ∴. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下： 2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7  2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s； (2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算） 【答案】(1)0，0.05 (2)①不能；②0.3756 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据平均数、标准差的定义计算； （2）①求出后可得；②由计算可得． 【详解】（1）由题意10件产品的误差分别为， 误差的平均数为； 方差为， 所以标准差为； （2）①由（1）中计算得 所以 因为在内包括了所有的合格产品,也包括了不合格的产品,而， 所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%. ②因为产品重量的误差服从正态分布，所以， 即为， 所以每件产品合格的概率, 所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为． 【变式2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】(1)75，71.7 (2)分布列见解析， (3)504，不能 【知识点】正态分布的实际应用、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、由频率分布直方图估计中位数 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可； （2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （3）由正态分布的概率特征求解即可． 【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； （2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． 【变式3】（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 【答案】(1) (2) 【知识点】二项分布的均值、3δ原则、正态分布的实际应用、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据平均数为，利用方差的计算公式可得方差，利用所给数据，估算得标准差. （2）由题目提示可得，，利用正态分布的性质可得，又因为，所以，从而估算得到最终结果. 【详解】（1）抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为 . 故估计这20000名考生数学成绩方差为150，标准差. （2）由（1）知可用来估计，可用来估计. 故. . ， 故. 又， 所以. 故这20000名考生中成绩在的人数服从二项分布，约为. 题型07 原则 【典例1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）某校高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.84，则n的值约为（    ） 参考数据：①；②；③ A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的对称性与原则即可得解. 【详解】因为，所以，， 因为①， 而，， 所以②， 对比①②两式可知且，则， 所以，解得. 故选：D. 【典例2】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 【典例3】（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)①841；②14 【知识点】计算古典概型问题的概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、3δ原则、指定区间的概率 【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算； （2）①由样本数计算，进而利用求解即可； ②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值. 【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为． 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7， 则， 所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为． （2）①由样本数据知，． 因为， 所以， 所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841. ②每名教师的学习时长在内的概率为， 由题意可知，则， 设，则． 令，得，所以当时，， 令，得，所以当时，， 所以当时，最大，即使最大的的值为14． 【变式1】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由题意可得，根据正态分布的特征逐一判断即可. 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 【变式3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 支出费用 频数 (1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率 (2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上 （ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若∽，则，，． 【答案】(1) (2)（i）11.375万；（ii）分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、3δ原则 【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解； （2）  （i）  根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解；（ii）根据题意可得所有可能取值为结合二项分布求概率和均值即可求解． 【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）（i）计算， 所以，，服从正态分布， ， 万， 估计襄阳市有万市民每年旅游费用支出在元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为 ， ， ， ； 所以随机变量的分布列为： 均值为 题型08 根据正态曲线的对称性求参数 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用正态分布的对称性得出，再由基本不等式计算即可. 【详解】因为随机变量，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值4. 故选：C. 【典例2】（2025·贵州贵阳）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】由正态分布曲线的对称性可列方程求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，解得. 故选：B. 【典例3】（多选）（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）已知某厂生产的陶瓷碗的质量（单位：）服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】 根据正态分布的对称性判断. 【详解】因为， 所以 故A，C均正确. ，B错误. 故D错误. 故选：AC 【变式1】（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】二项分布的方差、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的期望和二项分布的方差可得，进而结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，则， 且，即，可得， 若， 则，即，解得. 故选：C. 【变式2】（23-24高三上·河南周口·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则每天营业额在的天数约为（    ） A．90 B．80 C．60 D．40 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】求出营业额不低于4000元的天数所占比例，根据正态分布的对称性求出的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得营业额不低于4000元的天数所占比例为， 由于每天的营业额满足， 故每天营业额在的天数所占比例为， 故每天营业额在的天数约为（天）， 故选：C 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、3δ原则 【分析】结合原则与正态分布曲线的对称性即可求解． 【详解】由题可设，则， 又的学生人数为，故. 故选：C A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【详解】观察曲线知，. 故选：D 2．（24-25高三上·云南保山·期中）某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（    ）（若，则） A．6828 B．5436 C．4773 D．2718 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布的对称性即可求得抽测成绩在内大约的学生人数. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布，则 ， 由于总人数为20000， 则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：D. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于服从正态分布，则， 故. 故选：B 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论. 【详解】由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同， 所以. 故选；B. 5．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）随机变量服从若 则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布的性质逐项判定即可. 【详解】因为 由正态分布的对称性，可得，正态分布方差无法判断， ，， 所以ABD错误. 故选:：C 6．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（    ） （1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0； （2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04； （3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8； （4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135． （附：若随机变量服从正态分布，则，） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】对于（1），利用平均数的公式计算即可；对于（2），先计算出方差，开方得到标准差；对于（3），对数据从小到大排列，利用百分位数的定义进行求解；对于（4），计算出，利用正态分布的对称性得到相应的概率 【详解】对于（1），，正确； 对于（2），方差为， 故标准差为，错误； 对于（3），从小到大排序为， ，故从小到大，选择第3个数作为第25百分位数，即1.9，错误； 对于（4），，又， 故用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为，正确． 故选：B 7．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知随机变量，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性求得即可. 【详解】已知随机变量，， 则，， 根据正态密度曲线的对称性得出 故选：A. 8．（24-25高二下·全国·课后作业）某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 【答案】B 【知识点】指定区间的概率 【分析】利用正态分布的计算公式结合对称性逐项判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； 女生身高在和男生身高在的概率一样，人数未知，D错误． 故选：B 二、多选题 9．（24-25高三上·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则当减小时，保持不变 D．一组数据的极差不小于该组数据的标准差 【答案】ACD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、残差的计算、二项分布的方差、正态曲线的性质 【分析】由二项分布的方差公式计算方差判断A，由残差的定义判断B，根据正态分布的性质判断C，由极差与标准差的概念判断D． 【详解】由于，所以A正确； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B错误； 根据正态分布的概率分布特点知为定值，C正确； 由于， 标准差，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据标准正态分布性质判断A,B,应用偶函数定义判断C,应用对称中心定义判断D. 【详解】因为 ，所以 正确; 显然 是减函数，正确. 因为 ， 的图象关于点 对称， 且 ,所以 不是偶函数,不正确， 正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高三上·湖北·期中）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 【答案】 【知识点】二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 12．（24-25高三上·江苏南通·期中）某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率 （精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为 ． 附：， 【答案】 0.2 0.36 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布的意计算可得结论. 【详解】由，所以， 优品满足，所以，（第一空）； 抽查次数不超过两次的概率为（第二空）. 故答案为：；. 四、解答题 13．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． (1)求． (2)求． (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)100 (2)0.3 (3)分布列见解析，1.4 【知识点】计算几个数的平均数、写出简单离散型随机变量分布列、指定区间的概率 【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值； （2）由正态分布的对称性即可算出结果. （3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以． （3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则． 依题意可得的可能取值为， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 所以. 14．（24-25高三上·浙江·开学考试）中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛. (1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）； (2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望. 附：若，则， 【答案】(1)95 (2)60 【知识点】求离散型随机变量的均值、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布的对称性求解概率，即可求解人数， （2）分别求解单选题和多选题每一道题目得分的期望，即可求解成绩的期望. 【详解】（1）由于，故， 故， 所以， 故进入决赛的人数为. （2）甲同学每个单选题得分的数学期望分， 甲同学每个多选题得分的数学期望分， 因此甲同学的成绩的数学期望为分 15．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【答案】(1)80，0.8186 (2)①；②；③4 【知识点】计算条件概率、指定区间的概率、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得． 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为4. B能力提升 16．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望； (2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束. ①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析. 【知识点】累加法求数列通项、互斥事件的概率加法公式、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望； （2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断. 【详解】（1）， 由Z服从正态分布，得 ，因此， 所以X的数学期望为. （2）①棋子开始在第0格为必然事件，， 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即， 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 因此，即，且， 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列. ②由①知，，，，， 将以上各式相加，得， 于是， 则闯关成功的概率为， 闯关失败的概率为， ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率. 17．（24-25高三上·广西·期中）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差．假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间的车辆数，求； (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在轴上从原点出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移动到点（胜利大本营）或点（失败大本营）时，游戏结束．若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，，有吸引力 【知识点】特殊区间的概率、由频率分布直方图估计平均数、二项分布的均值、由定义判定等比数列 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算方法计算可得； （2）依题意，根据正态分布的性质求出，则，再根据二项分布的期望公式计算可得； （3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得，利用差比较法比较和的大小，即可判断. 【详解】（1）由频率分布直方图可得： ； （2）依题意可得， 则， 所以，所以； （3）当时，，则， 又，，所以， ∴是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则. 累加得：， 所以， 又， ∴， ∵，∴， 所以这种游戏方案对意向客户有吸引力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$