第07讲 7.4.2 超几何分布（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第07讲 7.4.2 超几何分布 课程标准 学习目标 ①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。 ②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。 ③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。 通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题 知识点1：超几何分布 （1）超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． （2）对超几何分布的理解 ①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取. ②若随机变量满足： 试验是不放回地抽取次； 随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. ③超几何分布的特点： 不放回抽样； 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列. （3）超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 【即学即练1】（24-25高三·上海·课堂例题）从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，用表示其中的黑球数，则的期望等于 ． 知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系 （1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 题型01 对超几何分布的理解 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．( ) 【典例2】（多选）（24-25高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有(    ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X. 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）判断正误 （1）超几何分布就是一种概率分布模型．( ) （2）一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数X服从超几何分布．( ) 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 题型02 超几何分布的概率 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 【典例3】（23-24高二下·重庆·期末）喝酒不开车，开车不喝酒．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上认定为醉酒驾车．某地统计近年来查处的醉酒驾车共200人，这200人血液酒精浓度检测结果按，，⋯⋯，分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这200人血液酒精浓度的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； (2)求这200人中血液酒精浓度在的人数； (3)按比例分配分层随机抽样的方法，在酒精浓度为和人员中随机抽取16人集中学习．现从这16人中抽取4人检查学习效果，求抽到的人员恰有3人酒精浓度为的概率． 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【变式2】（23-24高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 题型03 超几何分布均值与方差（选填） 【典例1】（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【典例2】（多选）（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高三上·浙江杭州）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则 ； . 【变式1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为 . 题型04 超几何分布均值与方差（解答） 【典例1】（23-24高二下·广东东莞）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【典例2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【典例3】（2024·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【变式1】（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 【变式2】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【变式3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 题型05 二项分布与超几何分布 【典例1】（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为. (1)求的分布列与期望； (2)已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值. 【典例2】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为. (1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率； (2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望. 【典例3】（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【变式1】（2024·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过. (1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望. (2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求. 参考数据：. 【变式2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【变式3】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 10．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．恰有3个白球的概率为 B．取出的最大号码X服从超几何分布 C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 三、填空题 11．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 12．（23-24高二·全国·课后作业）一个袋中装有黑球、白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球，当 时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，且最大概率为 ． 四、解答题 13．（2025高三·全国·专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 14．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． (1)若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． (2)若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． (3)若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 15．（24-25高三上·江苏常州·期中）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. B能力提升 16．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立. (1)求的分布列； (2)记随机变量.已知， （i）证明：，； （ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值. （已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则） / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 7.4.2 超几何分布 课程标准 学习目标 ①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。 ②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。 ③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。 通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题 知识点1：超几何分布 （1）超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． （2）对超几何分布的理解 ①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取. ②若随机变量满足： 试验是不放回地抽取次； 随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布. ③超几何分布的特点： 不放回抽样； 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列. （3）超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 【即学即练1】（24-25高三·上海·课堂例题）从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，用表示其中的黑球数，则的期望等于 ． 【答案】 【知识点】超几何分布的均值 【分析】略 【详解】略 知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系 （1）区别 由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题. （2）联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布. 题型01 对超几何分布的理解 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．( ) 【答案】错误 【知识点】求超几何分布的概率 【详解】超几何分布是不放回抽样，因此取到黑球的次数X不服从超几何分布，命题错误. 故答案为：错误. 【典例2】（多选）（24-25高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有(    ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X 【答案】CD 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是不是不放回抽样； (3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数. 据此逐项分析判断即可. 【详解】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意； CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布. 故选：CD. 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X. 【答案】①② 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布模型定义逐个分析即可求出结果. 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①②. 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）判断正误 （1）超几何分布就是一种概率分布模型．( ) （2）一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数X服从超几何分布．( ) 【答案】 √ √ 【知识点】超几何分布的分布列 【详解】根据超几何分布的定义可知（1）（2）正确. 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项. 【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布. 故选：B. 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球， 而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球， 故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布. 对于③，的可能取值为， 表示取出4个白球； 表示取出3个白球1个黑球； 表示取出2个白球2个黑球； 表示取出1个白球3个黑球； 表示取出4个黑球； 因此服从超几何分布. 由超几何分布的概念知④符合， 故选：B. 题型02 超几何分布的概率 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 【典例2】（多选）（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 【答案】ACD 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望. 【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品， 所以共有种不同的抽法，所以A正确， 对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误， 对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确， 对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 【典例3】（23-24高二下·重庆·期末）喝酒不开车，开车不喝酒．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上认定为醉酒驾车．某地统计近年来查处的醉酒驾车共200人，这200人血液酒精浓度检测结果按，，⋯⋯，分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这200人血液酒精浓度的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； (2)求这200人中血液酒精浓度在的人数； (3)按比例分配分层随机抽样的方法，在酒精浓度为和人员中随机抽取16人集中学习．现从这16人中抽取4人检查学习效果，求抽到的人员恰有3人酒精浓度为的概率． 【答案】(1)116mg/100mL (2)50人 (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可; （2）根据频率=,计算所求的频数即可; （3）借助组合数公式和古典概型的计算公式求解. 【详解】（1）设第一组纵坐标为a，则，则， 这200人血液酒精浓度的平均值约为. （2）这200人中血液酒精浓度在的人数为人. （3）在酒精浓度为和人员中分别有人， 人. 设从这16人中抽取4人检查学习效果，抽到的人员恰有3人酒精浓度为为事件A， . 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【答案】BD 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】AB选项，根据超几何分布的定义判断；CD选项，根据超几何分布的概率公式计算. 【详解】A，B均根据超几何分布的定义可得，故A错，B正确； C中，，故C错误； D中，，故D正确． 故选：ABD. 【变式2】（23-24高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】利用二项分布求分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解; （2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 题型03 超几何分布均值与方差（选填） 【典例1】（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的均值、超几何分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D 【典例2】（多选）（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的方差 【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 【典例3】（24-25高三上·浙江杭州）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则 ； . 【答案】 【知识点】超几何分布的方差、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可. 【详解】取得红球数为可能为0,1,2， 则， , , 所以， . 故答案为：； 【变式1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二项分布的方差、超几何分布的方差、二项分布的均值、超几何分布的均值 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】确定，均服从于超几何分布，且，，计算，可判断A，根据判断B，由判断C，根据及超几何分布方差公式判断D正确. 【详解】，均服从于超几何分布，且，， ，， 对选项A：，，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：ACD. 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为 . 【答案】576 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的方差、超几何分布的均值 【分析】先分析可得的可能取值为190，150，110，然后根据超几何分布的概率计算公式求出概率，然后再根据均值和方差的计算公式进行计算即可得解. 【详解】由题意，可得的可能取值为190，150，110， 且，，， 则， 所以方差. 故答案为：576. 题型04 超几何分布均值与方差（解答） 【典例1】（23-24高二下·广东东莞）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，，． 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的方差、超几何分布的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由古典概型的概率公式计算可得； （2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差． 【详解】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率； （2）由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故， ． 【典例2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的方差、二项分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 【典例3】（2024·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的方差 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出； （3）根据方差公式计算可知，． 【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ，， ， 所以． （3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布， ，，， ，，， 因为，， 可得， ， 所以． 【变式1】（23-24高二下·湖南张家界·阶段练习）袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的方差、超几何分布的均值 【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得； （2）借助分布列计算期望与方差即可得. 【详解】（1）的可能取值为、、， 则， ， ， 故其分布列为： （2）， . 【变式2】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析， 【知识点】计算频率、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的方差 【分析】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【详解】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 【变式3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 【答案】(1) (2)选择乙老师，理由见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、超几何分布的方差、二项分布的方差 【分析】（1）借助二项分布与超几何分布的概率计算公式计算即可得； （2）计算出相应二项分布与超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件， 则，； 所以； （2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有， 故，， 设乙教师得分数为，则的可能取值为，，， ，，， 则， ， 由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师. 题型05 二项分布与超几何分布 【典例1】（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为. (1)求的分布列与期望； (2)已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)20 【知识点】二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）列出分布列，根据期望定义进行计算，或者利用二项分布期望公式进行计算； （2）由题意可知，依题意列出不等式，可得的范围，即得的最小值. 【详解】（1）根据题意有， 其中， ， ， . 的分布列为： 0 1 2 3 方法1：所以 方法2：因为，故 （2）根据题意有. 由（1）可知， 故应满足. 解得. 故的最小值为20. 【典例2】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为. (1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率； (2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】超几何分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况； （2）随机变量的所有可能取值为，利用超几何分布求出各概率，然后由期望公式计算出期望． 【详解】（1）设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为. （2）因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，则重水和超重水分子个数共有4个，随机变量的所有可能取值为， 则，，，. 故. 【典例3】（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【变式1】（2024·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过. (1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望. (2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求. 参考数据：. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、建立二项分布模型解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）确定的可能取值，再由即可求解； （2）由题意确定，均服从二项分布.即可求解. 【详解】（1）(1)由题意知的所有可能取值为1，2，3， 且，. 所以的分布列为 1 2 3 . （2）设下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数为，乙晨跑路程超过的天数为， 则，均服从二项分布. 则 . 【变式2】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）由题意可知，选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为，进而由二项分布即可求解； （2）由题意可得A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，进而由超几何分布可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 【变式3】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)，证明见解析 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率； （2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可； （3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可． 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望，. （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， ， 由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【知识点】两点分布、利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】超几何分布的均值 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 4．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】超几何分布的均值、二项分布的均值、超几何分布的方差、二项分布的方差 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意可知，由，可得，然后根据超几何分布的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B 7．（23-24高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】超几何分布的均值 【分析】由题意可知服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可. 【详解】由题意可知从含有顾客喜好的k（）种糕点的n种糕点中，任取m（）种糕点，其中恰有种顾客喜好的糕点，则服从超几何分布， 所以，其中， 所以， 故选：A 8．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据超几何概率问题得取值情况及相应概率，即可得所求. 【详解】取值是：， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】BD 【知识点】求超几何分布的概率、利用二项分布求分布列 【分析】根据超几何分布的定义即可求解AB，根据超几何的概率公式即可求解CD. 【详解】对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确； 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为，故D正确． 故选：BD． 10．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．恰有3个白球的概率为 B．取出的最大号码X服从超几何分布 C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】ACD 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率 【分析】利用古典概型可判定A、D，利用超几何分布的定义及概率公式可判定B、C. 【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确； 对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球， 其概率为，故D正确； 对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义， 故X不服从超几何分布，故B错误， 对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布， 易知 ，显然当时，概率最大，故C正确； 故选：ACD 三、填空题 11．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 【答案】 0，1； . 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 12．（23-24高二·全国·课后作业）一个袋中装有黑球、白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球，当 时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，且最大概率为 ． 【答案】 / 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】由题知袋中黑球的个数为，进而得从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球的概率为，进而得概率最大，即可得答案. 【详解】解：依题意，得袋中黑球的个数为（，10，15，20，…）． 记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件C， 则， 所以当时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为． 故答案为：；. 四、解答题 13．（2025高三·全国·专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲比乙闯关成功的可能性大 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大. 【详解】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则． （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为．因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 14．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． (1)若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． (2)若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． (3)若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】（1）由题意可知，从甲箱中任取出两个球， 这两个球的颜色不同的概率为. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （3）用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球， 则，，， ，， 由全概率公式可得. 15．（24-25高三上·江苏常州·期中）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）利用全概率公式来求得正确答案. 【详解】（1）的可能取值为0,1,2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 其数学期望为. （2）用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 用表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 两两互斥，， 由(1)知， 由全概率公式得， ， 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为. B能力提升 16．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立. (1)求的分布列； (2)记随机变量.已知， （i）证明：，； （ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值. （已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则） 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）， 【知识点】均值的性质、方差的性质、超几何分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用超几何分布求解即可； （2）（ⅰ）利用均值和方差的性质求解即可； （ⅱ）利用题目给的方差公式结合第（ⅰ）中的结论，求出，，然后列方程求解即可. 【详解】（1）依题意，均服从完全相同的超几何分布， 且，均大于100， 故的分布列为. 0 1 99 100 （2）（i）均服从完全相同的超几何分布，故 ， ， 故， （ii）由（ⅰ）可知的均值 利用公式计算的方差， 所以 依题意有 解得，． 所以可以估计，． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于灵活运用期望和方差的性质，以及超几何分布的方差公式. / 学科网（北京）股份有限公司 $$