第06讲 7.4.1 二项分布（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第06讲 7.4.1 二项分布 课程标准 学习目标 ①理解相互独立事件的概念，理解独立重 复试验的概念，理解二项分布的概率模型。 ②理解相互独立事件的概率模型.伯努利 试验的特点。 ③掌握二项分布的特点，会求二项分布 列，期望与方差。 通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差 知识点1：重伯努利试验(次独立重复试验) （1）重伯努利试验的定义 ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. （2）重伯努利试验的特征 ①每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变； ②各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 （3）重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) . 知识点2：二项分布 （1）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． 【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； （2）明确二项分布中的各量表示的意义 ：伯努利试验的次数 ： 事件发生的次数 ：每次试验中事件发生的概率 分布列：， 结论：随机变量服从参数为,的二项分布 记法：记作,并称为成功概率 （3）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 【即学即练2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 题型01 重伯努利试验的判断 【典例1】（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. 【变式1】6．（2025高三·全国·专题练习）表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则服从二项分布.( ) 【变式2】（24-25高三·上海·课堂例题）已知100件产品中有8件次品，现从中随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布． (1)若采用有放回抽样，随机变量服从二项分布吗？ 题型02 重伯努利试验的概率问题 【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（    ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 【典例3】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n分的概率为 ．（用与n有关的式子作答） 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·全国·阶段练习）2024年巴黎奥运会女子乒乓球决赛，中国选手陈梦与孙颖莎奉献了一场精彩绝伦的巅峰对决，她们技艺精湛，顽强拼搏，展现国球风采，为观众带来了视觉盛宴.现甲､乙两名乒乓球选手进行一场七局四胜的比赛，即谁先赢4局的比赛，谁就获胜，比赛结束.已知每一局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且第一局乙获胜，则甲最终以比获胜的概率为 . 【变式3】（24-25高三上·山东烟台·开学考试）甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 题型03 二项分布及其应用 【典例1】（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【典例3】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望. 【变式1】（23-24高三上·广东·阶段练习）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负． (1)若乙得6分的概率，求； (2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？ 【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%，现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率; (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【变式3】（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”. (1)证明：事件相互独立； (2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望. 题型04 二项分布的均值与方差 【典例1】（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高三上·甘肃白银·期中）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）为营造良好的学习氛围，某校组织学生开展互帮活动，其中数学学习小组有10位学生结成5对“1-1帮扶对”，为见证“1-1帮扶对”的学习成长，特别邀请一位数学老师进行“培优”讲座．若每个“1-1帮扶对”中两人同时参加讲座学习的概率为且各“1-1帮扶对”是否参加讲座相互独立，记为“1-1帮扶对”中两人一起参加讲座学习的对数，且，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【变式1】（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量满足，令，写出使得成立的的一个值 ． 题型05 服从二项分布的概率最值问题 【典例1】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 【典例2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【典例3】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知离散型随机变量服从二项分布. (1)求证：，且为大于1的正整数； (2)求证：； (3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【变式2】（23-24高二下·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【变式3】（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）若随机变量，则的值为（    ） A．0．8 B．4 C．5 D．3 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0．7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0．9163 B．0.0081 C．0．0756 D．0.9919 4．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（    ） A．1．24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东清远·期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0．25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（    ） A．1．5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 7．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 8．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 二、多选题 9．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）下面不正确得是（   ） A．若的分布列为，则 B．将一枚硬币扔三次，设为正面向上的次数，则 C．随机变量的概率分别为，，，且依次成等差数列，则公差的取值范围是 D．两人独立破译密码，各自译出的概率是，，则此密码能被译出的概率是 三、填空题 11．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知随机变量服从二项分布，若，则 . 12．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人独立地解题，甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为．若两人一起合计解题10道，且甲、乙两人解题的数量之比为，则两人解题正确的期望之和为 ；若甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，则他们的解题正确的方差之比为 ． 四、解答题 13．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. (1)求李明被终止比赛的概率； (2)求李明获一等奖的概率； (3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. B能力提升 14．（24-25高二下·全国·课后作业）某超市为提高销售量，特推出纪念开业5周年的优惠活动：购物满300元，即可参与抽奖活动，活动有两种方案： 方案一：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，3红、3白、2黑．随机向球盘投掷3颗完全相同的小球（每颗小球落入每个球洞的概率相同，每个球洞最多允许一个球进入），中奖规则：①三球落入同色球洞，享受免单；②若有1球落入黑色球洞，剩余2球落入红色或白色球洞中，则享受半价：③其他情况无优惠． 方案二：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，2红6黑．向其重复投掷一颗小球（投完取回重投）3次，每落入一次红色球洞，减免50元，依次累加． (1)若某消费者刚好消费300元，且他选择方案一抽奖，求他实付款不超过150元的概率： (2)若某消费者刚好消费500元，从统计学角度，请你为他选择一个划算的付款方案． 15．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. (1)若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 16．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）为防范火灾，对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概率为，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的.若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修 (1)求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差； (2)系统需要维修的概率； (3)为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工作的概率为，且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火系统可以正常工作．问：满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 7.4.1 二项分布 课程标准 学习目标 ①理解相互独立事件的概念，理解独立重 复试验的概念，理解二项分布的概率模型。 ②理解相互独立事件的概率模型.伯努利 试验的特点。 ③掌握二项分布的特点，会求二项分布 列，期望与方差。 通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差 知识点1：重伯努利试验(次独立重复试验) （1）重伯努利试验的定义 ①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. ②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. （2）重伯努利试验的特征 ①每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变； ②各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 （3）重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) . 知识点2：二项分布 （1）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． 【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 【答案】/ 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，利用二项分布的概率公式可求解. 【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，， 用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：. （2）明确二项分布中的各量表示的意义 ：伯努利试验的次数 ： 事件发生的次数 ：每次试验中事件发生的概率 分布列：， 结论：随机变量服从参数为,的二项分布 记法：记作,并称为成功概率 （3）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 【即学即练2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 【答案】9 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，， 则，即得， 故答案为：9 题型01 重伯努利试验的判断 【典例1】（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【详解】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）判断，写出二项分布列即可； （2）判断，写出二项分布列即可； 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. 【变式1】6．（2025高三·全国·专题练习）表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则服从二项分布.( ) 【答案】正确 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】由二项分布的定义即可判断. 【详解】投掷一次骰子相当于进行一次随机试验，用表示“出现点数是3的倍数”投掷次相当于做了20次独立重复试验，表示事件发生的次数，所以. 故答案为：正确. 【变式2】（24-25高三·上海·课堂例题）已知100件产品中有8件次品，现从中随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布． (1)若采用有放回抽样，随机变量服从二项分布吗？ 【答案】(1)服从二项分布； 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据二项分布的定义分析判断； 【详解】（1）采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立， 此时服从二项分布； 题型02 重伯努利试验的概率问题 【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有和，且两种方式第次移动向左向右均可以求解. 【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和，且两种方式第次移动向左向右均可以， 所以该质点共两次到达1的位置的概率为. 故选：A. 【典例2】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（    ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】ACD 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】利用独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式逐项求解即可. 【详解】由题意得小汽车的普及率为. 对于A选项，这5个家庭均拥有小汽车的概率为，故A选项正确； 对于B选项，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为， 故B选项不正确； 对于C选项，这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为，故C选项正确； 对于D选项，这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为，故D选项正确. 故选：ACD 【典例3】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n分的概率为 ．（用与n有关的式子作答） 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令表示“恰好得n分”的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次不小于3的情况，则有，进而利用构造等比数列可求（2）. 【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率, 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率. 因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分， 所以恰好得3分的概率等于. （2）令表示“恰好得n分”的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次不小于3的情况， 因为“不出现分”的概率是，所以“恰好得到分”的概率是. 因为“掷一次得2分”的概率是，所以有， 即，则构造等比数列， 设，即，则，， 所以， 又，，所以是首项为，公比为的等比数列， 即，. 故恰好得n分的概率为. 故答案为：（1）；（2）. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据二项分布的定义即可得到答案. 【详解】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为． 由二项分布知识可知， 故选：D． 【变式2】（24-25高三上·全国·阶段练习）2024年巴黎奥运会女子乒乓球决赛，中国选手陈梦与孙颖莎奉献了一场精彩绝伦的巅峰对决，她们技艺精湛，顽强拼搏，展现国球风采，为观众带来了视觉盛宴.现甲､乙两名乒乓球选手进行一场七局四胜的比赛，即谁先赢4局的比赛，谁就获胜，比赛结束.已知每一局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且第一局乙获胜，则甲最终以比获胜的概率为 . 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】甲最终以比获胜，即甲在第，，，局比赛中胜局，且第局获胜，据此求出概率即可. 【详解】甲最终以比获胜，即甲在第，，，局比赛中胜局，且第局获胜， 事件甲最终以比获胜的概率为：， 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·山东烟台·开学考试）甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】分别求得甲以获胜的概率，甲以获胜的概率为，列出不等式即可求得. 【详解】甲以获胜的概率，甲以获胜的概率为， 由题意，，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型03 二项分布及其应用 【典例1】（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值 【分析】（1）根据二次函数的性质可求当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）根据二项分布可求的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题知：第三组通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以 所以，当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为. 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以随机变量的分布列为: . 【典例3】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据二项分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，由题可知，， 所以. （2）可能的取值为， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【变式1】（23-24高三上·广东·阶段练习）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负． (1)若乙得6分的概率，求； (2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？ 【答案】(1) (2)甲获胜的可能性大 【知识点】根据古典概型的概率求参数、写出简单离散型随机变量分布列、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出乙得6分的概率，从而得到方程，求出； （2）设为甲累计获得的分数，则，从而求出期望值，设为乙累计获得的分数，得到的可能取值及相应的概率，求出分布列，得到期望值，比较后得到结论. 【详解】（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中， 其概率为，又， 故，解得； （2）设为甲累计获得的分数，则，所以， 设为乙累计获得的分数，则的可能取值为0，2，4，6，8，10， ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 所以， 因为，所以甲获胜的可能性大 【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%，现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率; (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由全概率公式计算即得； （2）根据二项分布的分布列及期望公式分别计算即得. 【详解】（1）设事件会员是男会员，会员是女会员，事件对服务质量不满意. 由题意， 于是，由全概率公式可得，; （2）由题意知，’ 则 . 则的分布列为： 0 1 2 3 因，则. 【变式3】（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”. (1)证明：事件相互独立； (2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望. 【答案】(1)证明见解析, (2)分布列见解析，期望为. 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）要证明事件相互独立的充要条件是，所以先要去求出，，，然后再根据充要条件加以判断； （2）先求出抛掷这两枚骰子一次，满足点在圆内的概率，然后根据连续抛掷三次，说明，即可用二项分布的概率公式计算分布列和求出期望. 【详解】（1）证明：由题意可知点的坐标有种，其中事件所包含的基本事件有 ，，，，，，共6种，所以， 事件所包含的基本事件有种，所以， 积事件有，，，共3种，所以， 满足，所以事件A、B相互独立； （2）点P在圆内的基本事件有：，，，，，，共6种 ， 所以点P在圆内的概率为， 由题意可知，， ， ， ， ， 所以，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 题型04 二项分布的均值与方差 【典例1】（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】均值的性质、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据期望的性质可得，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 【典例2】（多选）（24-25高三上·甘肃白银·期中）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误； ，故B项正确； ，故C项正确； ，故D项错误. 故选：BC 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）为营造良好的学习氛围，某校组织学生开展互帮活动，其中数学学习小组有10位学生结成5对“1-1帮扶对”，为见证“1-1帮扶对”的学习成长，特别邀请一位数学老师进行“培优”讲座．若每个“1-1帮扶对”中两人同时参加讲座学习的概率为且各“1-1帮扶对”是否参加讲座相互独立，记为“1-1帮扶对”中两人一起参加讲座学习的对数，且，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】由题意可知，根据根据二项分布的概率公式求得的范围，再由二项分布的期望与方差公式求解． 【详解】依题意可知，由可得，解得， 所以，． 故答案为：；． 【变式1】（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据题意，得到，根据二项分别的期望与方差，列出方程组，即可求解. 【详解】由随机变量，且， 因为，可得， 则，解得. 故选：C. 【变式2】（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用二项分布求分布列、均值的性质、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】AB选项，由二项分布知识即可判断选项正误；分析可知，由题可得对应概率即可判断C；根据期望的性质分析判断D. 【详解】AB选项，由题可得. 则，，故AB正确； CD选项，因为， 则，故C错误； 则，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量满足，令，写出使得成立的的一个值 ． 【答案】1（答案不唯一，符合即可）. 【知识点】均值的性质、二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差 【分析】根据二项分布可得，根据期望、方差的性质可得，代入不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，即，解得，可以取的一个值为1． 故答案为：1（答案不唯一，符合即可）. 题型05 服从二项分布的概率最值问题 【典例1】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）运用二项分布的概率公式和方差公式计算即可； （2）运用二项分布概率公式，结合组合数公式，构造不等式组计算即可. 【详解】（1）根据题意，,可以取0、1、2、3、4， ， ， ， ， 所以，的分布列： X 0 1 2 3 4 P                                                              故 （2） 则：，化简得, 继续化简得到，解得：，又由于，故 【典例2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)2枚 【知识点】独立事件的乘法公式、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求出各种情况概率，列出的分布列，并求； （2）运用二项分布的概率公式，假设最大，则，解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4. ， ， ， ，… ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）每一轮获得纪念章的概率为， 每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布， 设10轮答题获得纪念章的数量为，则， ，. 由， 得， 解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大. 【典例3】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知离散型随机变量服从二项分布. (1)求证：，且为大于1的正整数； (2)求证：； (3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)最大时的值小于的大小 【知识点】利用组合数公式证明、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）根据组合数公式分析证明； （2）根据二项分布结合二项式定理分析证明； （3）分析可知随机变量，结合二项分布概率公式可得概率最大，进而与期望对比分析. 【详解】（1）左边， 右边， 所以左边=右边，即； （2）由知， 令由（1）知可得， ， 令，则， ； （3）由题意知，所以， 要使最大，则必有，， 即 即解得， 又因为，所以． 最大时的值小于． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)①分布列见详解，期望，方差； ② 【知识点】利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案； （2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差； ②根据二项式定理即可求得最大项. 【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，， ，， ， 所以期望，方差； ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以， 当时，取最大值. 【变式2】（23-24高二下·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解； ②，结合数列单调性分析求解. 【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． （2）由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 【变式3】（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 【答案】(1)11.5 (2)平均值为9，方差为 (3)，理由见解析 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出再计算高一学生阅读时间的上四分位数； （2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果； （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据最大不等式节出的值； 【详解】（1）由频率分布直方图得： ，解得 频率分布直方图中，第一个小长方形面积为 第二个小长方形面积为 第三、四个小长方形面积为 第五个小长方形面积为 第六个小长方形面积为 前六个长方形面积和为0.8， 所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内， 设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得 （2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人 设这一组的平均值，方差 所以总体方差是，解得 （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题， 由频率分布直方图可知内的概率是， 由 得 解得 所以当最大时， A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）若随机变量，则的值为（    ） A．0．8 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用二项分布求分布列 【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得. 【详解】因，则，，1，2，3. . 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0．7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0．9163 B．0.0081 C．0．0756 D．0.9919 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果. 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 4．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（    ） A．1．24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 【答案】B 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值为，解得； 所以的方差为. 故选：B 5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用二项分布求分布列 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 6．（23-24高二下·广东清远·期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0．25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（    ） A．1．5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 【答案】D 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】由二项分布的方差公式结合方差的性质即可求解. 【详解】设答对题目个数为Y，根据题目可知， 从而由方差公式， 又. 故选：D 7．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】由二项分布的概率公式计算可得，再由二项分布的方差公式可得，根据方差性质可得结果. 【详解】由题可得，解得， 即． 又随机变量满足，故． 故选：C 8．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立．记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为    （    ） A．32 B．31 C．28 D．27 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【分析】表示出每一轮过关的概率后结合基本不等式可得该概率的最大值，再结合二项分布期望公式计算即可得解. 【详解】由题可知每一轮过关的概率: ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故．因为，所以，则. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】均值的性质、二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可. 【详解】对A，因为，所以， 解得，故A错误； 对B，由上知，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确． 故选：BCD． 10．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）下面不正确得是（   ） A．若的分布列为，则 B．将一枚硬币扔三次，设为正面向上的次数，则 C．随机变量的概率分别为，，，且依次成等差数列，则公差的取值范围是 D．两人独立破译密码，各自译出的概率是，，则此密码能被译出的概率是 【答案】AD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】根据分布列的性质求出，即可判断A；根据二项分布的概率公式判断B；由分布列的性质及等差数列通项公式判断C；根据相互独立事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：，，，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：依题意，所以，故B正确； 对于C：因为，即，即，则，， 又，即，解得，即公差的取值范围是，故C正确； 对于D：此密码能被译出的概率，故D错误. 故选：AD 三、填空题 11．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知随机变量服从二项分布，若，则 . 【答案】 【知识点】均值的性质、二项分布的均值 【分析】利用二项分布的期望公式以及期望的性质可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，由二项分布的期望公式可得， 由期望的性质可得，解得. 故答案为：. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两人独立地解题，甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为．若两人一起合计解题10道，且甲、乙两人解题的数量之比为，则两人解题正确的期望之和为 ；若甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，则他们的解题正确的方差之比为 ． 【答案】 / 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】设甲解题正确的题量为，乙解题正确的题量为，得到，结合二项分布的期望公式，即可求得期望之和，再设甲解道题，乙解道题，结合二项分布的期望公式，求得，利用方差的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得甲解了6题，乙解了4题， 设甲解题正确的题量为，乙解题正确的题量为， 因为甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为，所以， 可得期望之和为； 设甲解道题，乙解道题，根据题意，可得，， 因为甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，可得 解得，所以． 故答案为：；. 四、解答题 13．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. (1)求李明被终止比赛的概率； (2)求李明获一等奖的概率； (3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 【答案】(1) (2) (3)80 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用、二项分布的均值 【分析】（1）李明被终止比赛表示选出的4题2题不会操作且2题会操作，根据相互独立事件的概率公式计算； （2）李明获一等奖表示类4道题全部操作正确，且类3道题全部操作正确，由相互独立事件的概率公式计算； （3）类题全部操作正确后得分为，则的取值为：，且类题正确操作题数，通过二项分布的概率计算公式可以求得. 【详解】（1）设“李明被终止比赛”事件为，表示选出的4题2题不会操作且2题会操作， 故李明被终止比赛的概率； （2）设李明获一等奖的事件为，事件即类4道题全部操作正确， 且类3道题全部操作正确，故由独立事件的概率公式可得； （3）设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，则的取值为：， 且类题正确操作题数，可得； ；； ， 从而. B能力提升 14．（24-25高二下·全国·课后作业）某超市为提高销售量，特推出纪念开业5周年的优惠活动：购物满300元，即可参与抽奖活动，活动有两种方案： 方案一：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，3红、3白、2黑．随机向球盘投掷3颗完全相同的小球（每颗小球落入每个球洞的概率相同，每个球洞最多允许一个球进入），中奖规则：①三球落入同色球洞，享受免单；②若有1球落入黑色球洞，剩余2球落入红色或白色球洞中，则享受半价：③其他情况无优惠． 方案二：桌面上放有一圆形球盘，上面均匀排列有8个球洞，2红6黑．向其重复投掷一颗小球（投完取回重投）3次，每落入一次红色球洞，减免50元，依次累加． (1)若某消费者刚好消费300元，且他选择方案一抽奖，求他实付款不超过150元的概率： (2)若某消费者刚好消费500元，从统计学角度，请你为他选择一个划算的付款方案． 【答案】(1) (2)方案一 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得方案一实付金额的分布列，从而得到期望，由二项分布可得方案二实付金额的分布列，比较大小，即可得到结果. 【详解】（1）实付款不超过150元，即享受免单或者半价，所以． （2）选择方案一更划算． ①若选择方案一，设实付金额元，则可取0，250，500， ， ． 的分布列为： 0 250 500 ． ②若选择方案二，设落入红色球洞的次数为，实付金额为， 则，． 因为，所以选择方案一更划算． 15．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. (1)若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】(1) (2)至少要进行16轮比赛 【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的均值 【分析】（1）分答对题为3道或4道两类情况，结合概率乘法公式即可求解； （2）通过，结合，求出同学在第一轮比赛中晋级的概率的最大值，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为3道或4道， 概率为：. （2）同学在第一轮比赛中晋级的概率为 . ， 由于， 因此，故. 令，则， 当时，可得， 同学在轮比赛中晋级的次数， 由，知， 即要想晋级9次，那么理论上至少要进行16轮比赛. 16．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）为防范火灾，对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概率为，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的.若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修 (1)求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差； (2)系统需要维修的概率； (3)为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工作的概率为，且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火系统可以正常工作．问：满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？ 【答案】(1)均值为，方差为； (2) (3) 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）根据二项分布得出均值及方差公式计算即可； （2）应用二项分布的概率求解即可； （3）应用二项分布的概率及互斥事件求和计算求解即可； 【详解】（1）记X为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数． 由题意知， 所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均值为 方差D； （2）记事件A为“该仓库灭火系统需要维修” 则． 所以系统需要维修的概率为． （3）记事件为“该仓库灭火系统能正常工作”， 由题意可知 则 由（2）可知灭火系统原来可以正常工作概率为， 若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等式成立， 解得，而． 综上当时，可以提高整个系统的正常工作概率． / 学科网（北京）股份有限公司 $$