第15讲 基本立体图形（2大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第15讲 基本立体图形 目录 题型归纳 1 题型01 棱柱 3 题型02 棱锥 4 题型03 棱台 5 题型04 圆柱 6 题型05 圆锥 7 题型06 圆台 8 题型07 斜二测画法辨析 9 题型08 斜二测画法中有关量的计算 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 14 知识点01多面体的结构特征 1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 知识点02旋转体的结构特征 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴； （3）轴截面为矩形。 2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3、圆台 第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 题型01棱柱 【例1】（20-21高一下·湖南株洲·期中）“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（21-22高一下·安徽芜湖·期中）在正方体中，、分别是上、下底面的中心，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（23-24高一下·青海·期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【变式3】（21-22高一下·云南昆明·期中）已知长方体的表面积为66，所有棱长之和为40，则线段AC1的长为 ． 题型02 棱锥 【例2】（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【变式2】（21-22高一下·山西运城·期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 【变式3】（20-21高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 题型03 棱台 【例3】（22-23高一下·贵州·期中）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台 【变式1】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【变式2】（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）给出下列说法： ①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 题型04 圆柱 【例4】（21-22高一下·浙江温州·期中）下列说法错误的是（    ） A．一个八棱柱有10个面 B．任意四面体都可以割成4个棱锥 C．棱台侧棱的延长线必相交于一点 D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 【变式1】（20-21高一下·江苏泰州·期中）碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 【变式2】（20-21高二上·山西·期中）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是 . 【变式3】（22-23高一下·浙江台州·期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 题型05 圆锥 【例5】（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【变式1】（20-21高一下·安徽·期中）给出下列四个命题： ①底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱； ④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥． 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（20-21高一下·福建·期中）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 . 【变式3】（21-22高一下·山东菏泽·期中）如图，圆锥SO的底面半径，轴截面SAB（经过旋转轴SO的截面）是等边三角形，点P为母线SA上一点，且，点Q为半圆弧的中点． (1)求圆锥SO的外接球体积； (2)动点M从点P沿圆锥SO表面运动到点Q，求点M运动的最短路程． 题型06 圆台 【例6】（23-24高一下·湖南常德·期中）圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 【变式2】（20-21高二上·浙江宁波·期中）一圆台的母线长为20cm，母线与轴的夹角为，上底面半径为15cm，则下底面半径为 ，圆台的高为 . 【变式3】（21-22高一下·黑龙江大庆·阶段练习）圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是 . 题型07 斜二测画法辨析 【例7】（23-24高一下·山东聊城·期中）下列结论正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱 B．一个棱柱至少有6个面 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【变式2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【变式3】（21-22高一下·天津·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形在直观图中仍然是正方形 D．平行的线段在直观图中仍然平行 题型08 斜二测画法中有关量的计算 【例8】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·浙江·期中）一个菱形的边长为4，一内角为，若用斜二测画法画出其直观图，则该直观图的面积为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·天津·期中）边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（   ） A． B．4 C．8 D． 3．（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山西太原·期中）已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 6．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 三、填空题 7．（21-22高一下·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 8．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    四、解答题 9．（21-22高二上·江西吉安·期中）如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．求该三角形原来的面积． 10．（22-23高一上·江西抚州·阶段练习）已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·广西柳州·期中）若的直观图如图所示，，，则顶点B到x轴的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（    ） A． B．3 C． D． 3．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·吉林通化·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·陕西渭南·期末）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（22-23高一下·广东韶关·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 7．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 三、填空题 8．（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    9．（23-24高一下·海南·期中）按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是 ． 10．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    四、解答题 11．（22-23高一下·云南曲靖·期中）（1）球的半径长为，求球的表面积； （2）已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，求这个正四棱锥的体积； （3）已知长方体的长､宽､高的比是，若表面积为，求长方体的体积. 12．（21-22高一下·山东淄博·期末）已知在圆锥中，底面的直径，的面积为12． (1)求圆锥的表面积； (2)若球内切于圆锥，用一个与圆锥的底面平行且与球相切（切点）的平面截圆锥得圆台，求球的体积和圆台的体积之比． 13．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆． (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 基本立体图形 目录 题型归纳 1 题型01 棱柱 3 题型02 棱锥 6 题型03 棱台 11 题型04 圆柱 13 题型05 圆锥 16 题型06 圆台 21 题型07 斜二测画法辨析 24 题型08 斜二测画法中有关量的计算 27 分层练习 30 夯实基础 30 能力提升 38 知识点01多面体的结构特征 1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 知识点02旋转体的结构特征 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴； （3）轴截面为矩形。 2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3、圆台 第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 题型01棱柱 【例1】（20-21高一下·湖南株洲·期中）“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质、棱柱的结构特征和分类 【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】充分性：多面体为长方体则可以得出多面体为直棱柱，故充分性满足； 必要性：当多面体为直棱柱时，底面不一定为矩形可以取三角，所以多面体为直棱柱时不能得出多面体为长方体，故必要性不满足. 故“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】（21-22高一下·安徽芜湖·期中）在正方体中，、分别是上、下底面的中心，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】正棱柱及其有关计算 【分析】取的中点，连接，，，根据题意可知，，且，，结合三角形的三边关系即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 由已知得，，且，， 又根据三角形的三边关系知，又， 所以， 故 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·青海·期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、正弦定理解三角形 【分析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.． 【详解】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一下·云南昆明·期中）已知长方体的表面积为66，所有棱长之和为40，则线段AC1的长为 ． 【答案】 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】设交于同一顶点的三条棱长分别为，再根据题意列式求解即可 【详解】如图，设，由题可得，即，故体对角线AC1的长为 故答案为： 题型02 棱锥 【例2】（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】将四个球的球心设为一个三棱锥的四个顶点，求出三棱锥的高再加上大球、小球的半径即可. 【详解】如图所示：    设下层三个半径为1的球的球心分别为，，， 上层较小的球的球心为，则是边长为2的等边三角形， ，过作平面的垂线，交平面于点， 则是的重心，则有， 所以， 所以上层小球的最高点到桌面的距离为：. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 【变式2】（21-22高一下·山西运城·期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、棱锥的展开图、正棱锥及其有关计算 【分析】立体图形中爬行距离最短问题可以转换到平面展开图中求两点距离最短，即为线段的长，解三角形求出线段的长度即可 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短. 即蚂蚁爬行的最短的路线为， 由，，， ， 从而最短距离为. 【变式3】（20-21高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【知识点】棱锥中截面的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状. 【详解】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 题型03 棱台 【例3】（22-23高一下·贵州·期中）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱台 C．四棱柱 D．四棱台 【答案】D 【知识点】棱台的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理. 【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不满足要求， 四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求， 四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台. 故选：D. 【变式1】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B． 【变式2】（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）给出下列说法： ①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为棱台、判断几何体是否为棱锥 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台和平面的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确； 对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以②不正确； 对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱，所以③不正确； 对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确. 故选：A. 【变式3】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 【答案】 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果. 【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.    故答案为：. 题型04 圆柱 【例4】（21-22高一下·浙江温州·期中）下列说法错误的是（    ） A．一个八棱柱有10个面 B．任意四面体都可以割成4个棱锥 C．棱台侧棱的延长线必相交于一点 D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 【答案】D 【知识点】圆柱的结构特征辨析、棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验． 【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A说法正确； 对于选项B：任意四面体，在四面体内取一点为，将点与四面体的各个顶点连，即可构成4个棱锥，故B说法正确； 对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确； 对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误. 故选：D． 【变式1】（20-21高一下·江苏泰州·期中）碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 【答案】B 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求得答案. 【详解】设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆盘的半径h， 由已知可得， ∴   即碌碡的底面圆的半径与其高之比为， 故选：B. 【变式2】（20-21高二上·山西·期中）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是 . 【答案】20 【知识点】圆柱轴截面的有关计算 【分析】因为圆柱轴截面为矩形，根据题中数据，即可求得答案, 【详解】解：由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为， 所以面积为， 故答案为：20. 【变式3】（22-23高一下·浙江台州·期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据题意，沿将侧面展开后，得到矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，结合勾股定理，即可求解. 【详解】根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点， 沿将侧面展开后，最短路程，如图所示， 其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍， 即， 所以蜗牛爬行的最短路径为. 故答案为：. 题型05 圆锥 【例5】（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、棱台的结构特征和分类 【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 【变式1】（20-21高一下·安徽·期中）给出下列四个命题： ①底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱； ④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥． 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断几何体是否为圆锥、棱台的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可． 【详解】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确； ②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确； ③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确； ④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确； 故选：B． 【变式2】（20-21高一下·福建·期中）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据三角形的面积公式求得正确结论. 【详解】如图所示，是圆锥的轴截面. , 所以, 所以任意截面的面积为， 当时，截面面积最大为. 故答案为： 【变式3】（21-22高一下·山东菏泽·期中）如图，圆锥SO的底面半径，轴截面SAB（经过旋转轴SO的截面）是等边三角形，点P为母线SA上一点，且，点Q为半圆弧的中点． (1)求圆锥SO的外接球体积； (2)动点M从点P沿圆锥SO表面运动到点Q，求点M运动的最短路程． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】(1)因为圆锥SO的外接球球心在SO上,在中，可根据勾股定理求得外接球半径，进而得到外接球体积. (2)将圆锥SO沿母线SA侧面展开，即可找到PQ的最短距离. 【详解】（1）∵△SAB是等边三角形，AB＝2OA＝2， ∴， 圆锥SO的外接球球心在SO上，连接，设球的半径为R，则， ． 在中，，即，解得， ∴圆锥SO的外接球体积． （2）将圆锥SO沿母线SA侧面展开（如图）， 弧的长度为圆锥SO的底面周长，则 ∵点Q为半圆弧的中点，∴ 又SA＝2，∴． 在△SPQ中，，， 由余弦定理得： 即，即， ∴点M运动的最短路程为． 题型06 圆台 【例6】（23-24高一下·湖南常德·期中）圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】该圆台的轴截面如图所示，设圆台的上底面半径为r，则，得到，再计算表面积得到答案. 【详解】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高 则它的母线长∴，. ∴，. 故选：D． 【变式1】（22-23高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 【答案】C 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、判断几何体是否为圆台、判断几何体是否为棱柱 【分析】利用空间几何体的结构特征判断. 【详解】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误； B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误； C.符合棱锥的结构特征，故正确； D.符合棱柱的结构特征，故错误. 故选：C 【变式2】（20-21高二上·浙江宁波·期中）一圆台的母线长为20cm，母线与轴的夹角为，上底面半径为15cm，则下底面半径为 ，圆台的高为 . 【答案】 25 【知识点】圆台的结构特征辨析 【解析】根据题意画出图形，结合图形求出圆台的高和下底面圆的半径和高． 【详解】解：如图所示， 圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，上底面的半径为， 所以圆台的高为， 则， 所以底面圆的半径为， 故答案为：； 【变式3】（21-22高一下·黑龙江大庆·阶段练习）圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是 . 【答案】 【知识点】圆台的展开图 【分析】利用圆台得侧面展开图，两圆半径之差即为所求 【详解】   如图所示,设圆台的上底面周长为,因为扇环的圆心角是, 所以 又, 所以. 同理. 所以 故答案为:. 题型07 斜二测画法辨析 【例7】（23-24高一下·山东聊城·期中）下列结论正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱 B．一个棱柱至少有6个面 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 【答案】D 【知识点】判断几何体是否为棱锥、斜二测画法辨析、判断几何体是否为棱柱 【分析】对A，直四棱柱底面不一定是矩形；对B，三棱柱只有五个面，即可判断；对C，利用平面图形和直观图的定义可判断，对D，由棱锥的定义即可判断. 【详解】对A，直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误； 对B，三棱柱只有五个面，故B错误； 对C，相等的角在直观图中不一定相等，因为直观图是按照一定的规则绘制的，可能会产生变形， 例如等腰直角三角形的直观图不一定是等腰直角三角形（原图形中两底角相等，直观图中不一定相等），故C错误； 对D，棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，故D正确. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 【详解】依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【变式2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【答案】A 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【详解】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 【变式3】（21-22高一下·天津·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形在直观图中仍然是正方形 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可. 【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误. 选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故B错误. 选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C错误. 选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确. 故选：D. 题型08 斜二测画法中有关量的计算 【例8】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果. 【详解】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为. 故选：D 【变式2】（22-23高一下·浙江·期中）一个菱形的边长为4，一内角为，若用斜二测画法画出其直观图，则该直观图的面积为 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】计算出菱形的面积，根据直观图面积与原图形面积之比为可计算得到结果. 【详解】因为菱形的面积为， 其直观图的面积为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边， 边上的高，所以的面积是. 故答案为：. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·天津·期中）边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜二测画法求解即可. 【详解】作出正方形的直观图，如图： 则面积为， 故选：A. 2．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可. 【详解】由题意，作出的图象可得，且，故. 故选：C 3．（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【详解】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【点睛】 4．（23-24高一下·山西太原·期中）已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原图与直观图的面积关系即可求解. 【详解】正方形ABCD的边长为2， 则原图面积， 由原图与直观图的面积关系得. 故选：. 二、多选题 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】BCD 【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断. 【详解】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】由题意可画出其直观图如下， 其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（21-22高一下·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【答案】 【分析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 8．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 四、解答题 9．（21-22高二上·江西吉安·期中）如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．求该三角形原来的面积． 【答案】 【分析】根据斜二测法中原图与直观图面积的数量关系，即可求原来面积. 【详解】由题设，正三角形在轴上的底与原图一样为2， 而正三角形的高是原图高的并倾斜45°后得到，有，即， 若原来面积为，则. 10．（22-23高一上·江西抚州·阶段练习）已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)6个面，8个顶点，12条棱 (2)是长方形， 【分析】(1)由直四棱柱的特征即可得出答案. (2)由直四棱柱的特征可知侧面展开图为长方形，求出长方形面积即可. 【详解】（1）由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱. （2）将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长，所以宽为8cm，长为直四棱柱的底边边长的四倍，即，所以长为20cm，所以侧面展开图面积为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·广西柳州·期中）若的直观图如图所示，，，则顶点B到x轴的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴交轴于点，求得，结合斜二测画法的规则，得到点到轴的距离即为，即可求解. 【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交轴于点， 又因为，且，可得， 在直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示， 根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到轴的距离即为. 故选：C. 2．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中AC的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，进行计算即可. 【详解】在直观图中，，，取中点，连接， 则，而，于是， 则，，， 由斜二测画法规则作出，如图， 则，所以. 故选：C 3．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段，利用余弦定理即可求解，过作的垂线，垂足为，由题意得到为上坡路段，为下坡路段，计算即可. 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    由题可得该扇形半径，弧长为，故圆心角， 最短路线即为扇形中的直线段，由余弦定理可得：；， 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小，故为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大，故为下坡路段，下坡路段长， 故选：D 4．（23-24高一下·吉林通化·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据几何图形特征求出,再应用余弦定理求解即可. 【详解】 在中， 在中，因为 由余弦定理得. 在中，因为, 由余弦定理得. 过B作 在中，由余弦定理得 因为所以. 故选：D. 5．（21-22高一上·陕西渭南·期末）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 二、多选题 6．（22-23高一下·广东韶关·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可. 【详解】如图过作，    由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即,即C错误； 还原平面图为下图，    即，即A正确； 过C作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD. 7．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 【答案】AC 【分析】根据斜二测画法的概念，空间几何体的概念判断各选项． 【详解】如图，，由斜二测画法， 直观图面积为， 任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形， 通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用． 所以时，，故A正确； 底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，故B错误； 正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故C正确； 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥， 若以斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个共底的圆锥组合而成，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 8．（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为 .    【答案】 【分析】先求出梯形的面积，再根据公式，即可求解. 【详解】过作垂直于点，如图所示， 因为是直角梯形， 所以四边形是矩形， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：.    9．（23-24高一下·海南·期中）按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】由斜二测画法求解即可． 【详解】如图所示：原图为： ， 由斜二测画法得，， 得， 则， 故为等边三角形， 故答案为：等边三角形 10．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    四、解答题 11．（22-23高一下·云南曲靖·期中）（1）球的半径长为，求球的表面积； （2）已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，求这个正四棱锥的体积； （3）已知长方体的长､宽､高的比是，若表面积为，求长方体的体积. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）直接运用球的表面积公式即可求出； （2）根据题意知顶点在底面的射影是正方形的中心，求出斜高，再计算正四棱锥的高，然后求解体积. （3）由表面积计算出棱长，再由体积公式计算即可. 【详解】（1）； （2）顶点在底面的射影是正方形的中心，如图所示；    正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，设是中点，则， 设底面边长为，由勾股定理有：，则，解得， 所以正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为2，所以该正四棱锥的高长度为： ，所以棱锥的体积为：. 即这个正四棱锥的体积：. （3）由题意，设该长方体的长､宽､高分别为， 则，解得， 所以长､宽､高分别为， 体积. 12．（21-22高一下·山东淄博·期末）已知在圆锥中，底面的直径，的面积为12． (1)求圆锥的表面积； (2)若球内切于圆锥，用一个与圆锥的底面平行且与球相切（切点）的平面截圆锥得圆台，求球的体积和圆台的体积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆锥的表面积公式求解即可. （2）利用几何体的轴截面进行处理，分别求出球和圆台的体积. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面的直径为， 所以，因为的面积为12， 所以， 解得，由勾股定理有：，由圆锥的表面积公式有： . 所以圆锥的表面积为. （2）作该圆锥的轴截面，如图，则 因为球内切于圆锥，所以，所以， 设球的半径为，则，即，解得， 所以球的体积为. 由题知，，所以，即，解得. 所以圆的面积，又圆的面积，圆台的高记为， 所以， 由圆台的体积公式有 ， 所以球的体积和圆台的体积之比为. 13．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆． (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积可建立的方程求解即可. （2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积. 【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l， 高为h， 由题意知，侧面展开图的弧长， ∴圆锥高， 由其轴截面的面积为.   解得，则. 即其母线长为.    （2）    设正四棱柱的高为， 所以圆锥体积为. 由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为， 由图可得，所以， 故正四棱柱的体积为= 所以该几何体的体积为=. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$