圆锥曲线小题常考题型思路总结讲义-2025届高三数学二轮复习

【圆锥曲线小题常考解题思路总结】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：通过定义求圆锥曲线的方程】 知识讲解 1.椭圆 定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用2c表示。设椭圆上任意一点为，则（）。 易错提示： 要特别注意“常数大于”这个条件。若常数等于，则动点轨迹是线段；若常数小于，则不存在这样的轨迹。 在判断点的轨迹是否为椭圆时，需验证是否为定值，且该定值要大于。 2.双曲线 定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于且大于零）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，用$2c$表示。设双曲线上任意一点为，则（）。 易错提示： 注意“绝对值”和“”这两个关键条件。若没有绝对值，那么轨迹只是双曲线的一支；若，则轨迹是以为端点的两条射线（除端点外）；若，则轨迹不存在。 对于给定的条件，要准确判断是双曲线的两支还是一支。若已知（），则点的轨迹是双曲线中靠近的一支；若（），则点的轨迹是双曲线中靠近的一支。 3.抛物线 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。设抛物线上任意一点为，则（为点到准线的距离）。 易错提示： 容易忽略“不经过点”这个条件。若直线经过点，则满足条件的点的轨迹是过点且垂直于直线的直线（除点外）。 在解决抛物线相关问题时，要准确找到焦点和准线的位置，并且注意抛物线上的点到焦点和准线的距离关系是一一对应的。同时，要根据抛物线的开口方向正确使用定义进行计算和推理。例如，对于开口向右的抛物线，焦点坐标为，准线方程为；对于开口向上的抛物线，焦点坐标为，准线方程为等。不同开口方向的抛物线，其焦点和准线的位置不同，在应用定义时不能混淆 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 3．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 二、多选题 4．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B．若，动点的轨迹是双曲线的右支 C．若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D．若，动点的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【分析】根据相切的性质，结合抛物线的定义即可求解A，根据垂直平分线的性质，结合双曲线以及椭圆的定义即可求解BD，根据点点距离公式，结合圆的性质，即可求解C. 【详解】对于A,由于圆与圆外切，与轴相切，故,其中为圆心到轴的距离，因此圆心到的距离与到直线的距离相等，且圆心不经过直线，故点的轨迹为以为焦点，以为准线在抛物线，A正确， 对于B，当时，,由垂直平分线的性质可得， 如图，当靠近左半圆时，， 当靠近右半圆时，， 因此点的轨迹为以为焦点的双曲线，B错误， 对于C,连接,由于为线段的中点，故,又，故, 设，由,即，化简可得，即，故点的轨迹是圆，C正确， 对于D，时，在圆内，如图，此时,由垂直平分线的性质可得，故，因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，D正确， 故选：ACD 方法点睛：解析几何中与动点轨迹有关的题目，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 相似练习 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 6．（2025高三·全国·专题练习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 7．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 则，， 所以方程为； 如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 则，， 所以方程为. 故答案为：， 四、解答题 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆方程为分别为其左、右焦点，为椭圆上的动点，过点作椭圆在点处的切线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】作点关于切线的对称点，则有，由椭圆的光学性质可知，焦半径与切线所成的角相等，则三点共线，进而可得出点的轨迹，再根据恒为的中点，即可得解. 【详解】作点关于切线的对称点，如图，则有， 又由椭圆的光学性质可知，焦半径与切线所成的角相等， 所以三点共线，因此有， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 又因为恒为的中点，所以， 点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为． 9．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； 【详解】（1）设圆，的交点为M，则，， 因为，所以， 故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，， 故曲线T的方程为 10．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； 【详解】（1）由点M到点的距离比它到直线的距离小2， 得点M到点的距离等于它到直线的距离， 因此点M的轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以C的方程为. . 【题型二：与坐标有关的焦半径结论的应用】 椭圆知识讲解 设椭圆方程为，其左、右焦点分别为，（其中），点是椭圆上任意一点。我们的目标是求出点到两焦点的距离和关于、以及椭圆参数、、的表达式。 二、推导左焦半径的公式 1. 利用两点间距离公式： 根据两点间距离公式，可得。 2. 结合椭圆方程消去： 因为点在椭圆上，所以。 将代入中： 3. 利用椭圆中、、的关系化简： 由于，那么，继续对上式化简： 因为，且、均大于，所以，则。 又因为椭圆离心率，所以。 三、推导右焦半径的公式 1. 同样利用两点间距离公式： 。 2. 代入椭圆方程并化简： 把代入： 3. 确定绝对值内式子的正负并得出结果： 因为，所以，则，即。 综上，在椭圆中，左焦半径，右焦半径 。 设双曲线的方程为，其左、右焦点分别为，，其中，点是双曲线上任意一点。 推导左焦半径的公式 利用两点间距离公式：根据两点间距离公式，。 结合双曲线方程消去：因为点在双曲线上，所以。将其代入上式可得： 利用双曲线中、、的关系化简：由于，那么，继续化简可得： 当点在双曲线左支上时，，此时，则（为双曲线的离心率）；当点在双曲线右支上时，则。 推导右焦半径的公式 利用两点间距离公式：。 代入双曲线方程并化简：把代入可得： 当点在双曲线左支上时，，，则；当点在双曲线右支上时，，，则。 综上，双曲线（，）的焦半径公式为： 当点在双曲线左支上时，，； 当点在双曲线右支上时，， 【以下例题在此可以尝试用焦半径公式做】例题精选 1．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则 ． 【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线）， 椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d， 则 ， 所以， 因为本题椭圆离心率:，设 由焦半径公式:得:, 即中点，，则垂直平分线斜率为 根据点在椭圆上，则有，，作差化简得， 则线段的垂直平分线方程为,代入得: ,即,则. 故答案为：. 2．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是 ． 【详解】解：设的坐标为，椭圆中，，， ，所以椭圆的准线方程为，即， 作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连接， 根据圆锥曲线的统一定义，得， ，同理可得， ， 点在椭圆上，得，， 由此可得，得， 即，当时， 当时，所以，所以 所以，． 故答案为： 3已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】如图所示，设双曲线实轴长为， 则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 相似练习 1．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 【法二：焦半径公式】 1. 首先明确椭圆的焦半径公式：对于椭圆，设为椭圆上一点，为椭圆的左右焦点，那么左焦半径，右焦半径，其中是椭圆的离心率，，。 对于椭圆，由，可得；由，可得，则离心率。 2. 因为在第一象限，，，且为等腰三角形，所以只能是。 根据焦半径公式，已知，，，则。 解方程： 首先移项可得，即。 两边同时乘以，解得。 3. 把代入椭圆方程： 得到。 即，。 移项可得。 两边同时乘以$20$得，因为，所以。 2．设为椭圆:的右焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于，两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则的横坐标为 . 【详解】如图所示： 因为椭圆方程为， 所以, 所以椭圆的右焦点是， 所以离心率为 ， 设， 由椭圆的第二定义得： ， 所以 ， 设 ，由外角平分线定理得，即， 化简得 ， 解得 所以的横坐标为4 故答案为：4 【题型三：中点弦问题（点差法）】 知识讲解 圆锥曲线的第三定义 1. 椭圆的第三定义：平面内与两个定点，连线的斜率之积为常数（为椭圆离心率，）的动点的轨迹是椭圆（除去与轴的交点）。 设为椭圆上一点，则。 由椭圆方程，可得，所以，即。 2. 双曲线的第三定义：平面内与两个定点，连线的斜率之积为常数（为双曲线离心率，）的动点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点）。 设为双曲线上一点，则。 由双曲线方程，可得，所以，即。 点差法推导 1. 设椭圆方程为，，是椭圆上的两点。 则有 ①， ②。 2. 用①式减去②式可得： ，即。 3. 设AB的中点为，则，。 那么上式可化为，进一步得到。 而就是直线$AB$的斜率，所以。 对于双曲线，点差法的推导过程类似： 1. 设，是双曲线上的两点，则 ③， ④。 2. 用③式减去④式可得： ，即。 3. 设AB的中点为，则，。 上式可化为，进而得到，即直线$AB$的斜率。 对于抛物线，设，是抛物线上两点，则 ⑤， ⑥。 1. 用⑤式减去⑥式可得： ，即。 2. 设$AB$的中点为，则。 所以，则，即直线$AB$的斜率。 例题精选 【经典点差解法】1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 2.（2023·陕西商洛·三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率. 【详解】如图，取的中点，连接，则，所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 由，得到， 所以，所以，则. 故选：C 3.（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线 的离心率的取值范围. 【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且， 设点为的中点，因为为的重心，所以， 即，解得，即， 因为直线与的右支交于两点，则满足， 整理得，解得或（舍去）， 当离心率为时，即时，可得，此时， 设，可得， 又由，两式相减可得， 即直线的斜率为， 又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意， 综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为. 故选：A. 【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题. 相似练习 1.（22-23高二上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 2. （2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】由题意，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，，， 则，两式相减，得， 故，即①． 又四边形为平行四边形，为线段的中点，所以为线段的中点， 所以，又P在椭圆上， 所以，即②． 由①②，得，故直线的方程为， 即． 故选：B． 3. （24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】由题意利用点差法可得等量关系，利用圆的切线、锐角正切函数的定义以及直线关系，可得斜率，代入等量关系，结合离心率的公式，可得答案. 【详解】由题意，记直线交轴于点，连接，如下图： 设，，， 则，. 又，所以， 所以，即. 由图易知与圆分别相切于，则， 由，则，即， 由直线与圆，则， 在中，则， 由，则，可得， 所以直线CD的斜率， 因为，所以直线AB的斜率，即. 又直线OD的斜率为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 【题型四：与直线倾斜角有关的椭圆焦半径公式与焦点弦长公式】 知识讲解 设椭圆方程为，其左、右焦点分别为，，离心率。设过焦点的直线与椭圆交于点，直线的倾斜角为，，。 根据椭圆的定义，，且。 2. 在中应用余弦定理 在中，由余弦定理可得，即。 因为，将其代入上式得： 3. 展开并化简等式 展开得： 等式两边的可以消去，得到： 移项可得： 提取公因式得： （因为） 4. 求解 两边同时除以，得到，则。 将分子分母同时除以，并结合和进行化简： ，这就是以左焦点为起点的焦半径公式。 5. 推导以右焦点为起点的焦半径公式 设过右焦点的直线与椭圆交于点，直线倾斜角为，此时在中，（因为夹角为）。 即，又，代入可得： 展开： 消去，移项得： 提取公因式： 解得 1. 焦比相关结论 设椭圆方程为（），其左、右焦点分别为，，离心率。设点是椭圆上一点，直线的倾斜角为，则 。 2. 结论推导 利用焦半径公式： 已知椭圆中过焦点的焦半径公式，以左焦点为起点的焦半径，以右焦点为起点的焦半径。 计算焦比： 将上述两个焦半径公式相除，可得，因为（，），分子分母同时约去 ，从而得到 。 例题精选 1．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 【法三：焦半径公式】 1. 先明确椭圆的倾斜角相关焦半径公式：对于椭圆，过焦点的直线与椭圆交于、两点，设直线$AB$的倾斜角为，则焦半径，。 在本题中，椭圆焦点为，，所以。设椭圆方程为。 设直线$AB$过，倾斜角为，则，。 已知，所以。 因为（若，就不是椭圆了），两边同时约去，得到。 交叉相乘可得。 展开式子：。 移项可得。 2. 又因为，且，。 由，设，，则，，所以，。 即，。 由可得。 由可得。 把代入，。 又因为，根据，即。 即。 那么。 所以椭圆的方程为。 2．（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，可得齐次方程，可得答案. 【详解】设，，则l的方程为， 由，得， 设，，则，①． 因为，所以②． 由①②可得，再结合，，得，解得． 故选：B. 【法二：焦比结论】 1. 先明确椭圆焦比结论：对于过椭圆焦点的直线与椭圆交于、两点，设直线倾斜角为，（），则。 2. 在本题中，已知椭圆，直线过左焦点，倾斜角，，即。 把，代入，可得。 因为，所以。 求解，两边同时乘以，得。 3．（2022·湖南长沙·二模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，可得，，三点共线，且，根据的周长为4，结合椭圆的定义求得，设，根据，求得点坐标，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以，，三点共线，且. 因为，分别为和的中点， 所以，所以. 设，，， 由，可得， 求得，，所以. 因为点在椭圆上，所以，求得，， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 相似练习 4．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设，    因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，不妨令，    由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，， 则，， 又因为，所以，则和都是直角三角形， 由勾股定理可得，， 即，解得， 所以，， 又，， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 二、填空题 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 【法二：焦点弦长结论】 1. 回顾焦点弦长结论： 对于椭圆，过焦点的直线与椭圆交于，两点，设直线的倾斜角为，则焦点弦长。 2. 结合本题分析： 在本题中，已知椭圆离心率，即，又。 直线$DE$过，且由前面分析可知直线$DE$与轴夹角，。 把，，代入焦点弦长公式中，得到： 先计算分母：。 分子为，则。 因为已知，所以，解得。 3. 求的周长： 由前面解析知的周长，又因为，所以。 把代入，可得。 【题型五：与直线倾斜角有关的双曲线焦半径公式与焦点弦长公式】 知识讲解 1. 双曲线的焦点弦长公式推导 设过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于、两点，直线$AB$的倾斜角为。 情况一：、在双曲线的同一支上（假设都在右支） 设，，根据双曲线的定义，，。 在中，由余弦定理得，即。 展开可得：，化简得。 同理，在中，，解得。 所以焦点弦长（因为、在同一支上，这里、相减取绝对值）。 情况二：、在双曲线的不同支上 设，，则，。 在中，，解得。 在中，。 展开可得：，化简得。 所以焦点弦长。 综合两种情况，双曲线的焦点弦长公式为。 2. 双曲线的焦长比推导（设在右支，在左支） 设，。 在中，由余弦定理，化简得。 在中，，化简得。 则焦长比。 当在左支，在右支时，同理可推导得到焦长比为。 综上，通过余弦定理我们推导出了双曲线的焦点弦长公式以及焦长比。 双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为（如下图左） 焦长公式：（1）当AB交双曲线于一支时，，（图中） （2）当AB交双曲线于两支时，，（图右） 双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致： 令，即，代入弦长公式可得． 若交于两支时，，代入弦长公式可得． 例题精选 2.（2023·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：A. 相似练习 1.．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，用分别表示，再由得到之间的关系，结合余弦定理即可得的关系，可得离心率. 【详解】设，如下图所示：    由题意可得，； 又，由可得， 即，解得； 所以； 因为，所以； 即，可得， 即，解得. 故选：D 2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，再根据条件得，联立方程即可得出结果. 【详解】假设F为右焦点， 根据题意，设直线方程为，， 由，消得到， 易知，由韦达定理得， 又因为，所以，得到， 将代入，得到， 将代入，得到， 又，所以，得到， 故选：A. 【题型六：抛物线焦点弦结论】 知识讲解 1. 焦点弦长公式 若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，消去可得，展开并整理得。 由韦达定理得。 根据抛物线的定义，焦点弦长（因为，）。 当直线AB的斜率不存在时，即，此时，该公式依然成立。 2. 、两点横坐标之积与纵坐标之积 由上述韦达定理可知。 因为，，两式相乘得，则（因为、两点在抛物线两侧，纵坐标异号）。 3. 以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系 设$AB$的中点为，过、、分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'、M'。 由梯形中位线定理可知。 又因为，所以，即以焦点弦$AB$为直径的圆与准线相切。 4. 焦半径公式 对于抛物线上一点，其焦半径。 若已知直线倾斜角，设点到准线的距离为，则，由几何关系可得（当在轴上方时），（当在轴下方时）。 5. 为定值 由焦半径公式可得，。 则。 将，代入上式并化简可得，为定值。 例题精选 1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上一点到焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】由点到焦点的距离为，即到准线的距离为， 故，，抛物线， 设，不妨设，设直线的方程为， 联立 化为， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立．   故选：B 2．（2024·云南昆明·模拟预测）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】由三角形重心坐标公式可得，再由抛物线的定义计算出长度即可. 【详解】由题意可知，点的坐标为， 设点，，的坐标分别为，，， 又为的重心，则，即， 由抛物线方程可得， 所以由抛物线的定义可知， 故选：D. 3．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，设，， 联立直线与抛物线方程， 所以， 而. 当且仅当时取得等号. 故选：D 相似练习 4．（2021·福建漳州·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，设点，利用平面向量的坐标运算求出点的纵坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】易知，抛物线的焦点为，准线为， 设点，设点，，， 因为，则，解得，即点， 因此，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 5．（2022·福建·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B．4 C．8 D．24 【答案】C 【分析】点差法求得，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得. 【详解】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以. 故选：C 6．（2023·福建三明·三模）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，设过点的直线方程为，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合得到，解得，根据相似得到，从而列出方程，求出，再考虑焦点在轴上，同理可得到，求出答案. 【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为， 由题意得，， 若过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设过点的直线方程为，， 与抛物线联立得， 设， 则， 因为，设， 则，即， 将代入中得，， 如图所示，可知，， 因为∽，所以，故， 即，解得， 则到抛物线准线的距离为，    假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为 同理可得，故到抛物线准线的距离为， 综上，到抛物线准线的距离为. 故选：B 二、填空题 7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 ；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，得到，再抛物线的定义，求得，不妨设，得出的直线方程为，联立方程组，结合焦点弦长，即可求解. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为， 且恰过，，三点中的两点， 因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过和两点， 又因为在第一象限，在第三象限， 即抛物线不可能同时过和两点， 所以抛物线经过与两点， 设抛物线的方程为，则，解得，即， 过抛物线的交点的直线与交于两点，且到的距离为， 由抛物线的定义，可得，解得， 则，可得， 结合抛物线的对称性，不妨设， 因为抛物线的焦点为，则的直线方程为， 联立方程组，整理得，可得， 则. 故答案为：；. 【题型六：轨迹方程常见解法】 知识讲解 圆锥曲线轨迹方程的五种求法： 1. 直接法 步骤：直接根据题目所给的条件，建立平面直角坐标系，设动点坐标为，然后根据动点所满足的几何条件，将其转化为与的等式，从而得到轨迹方程。 示例：已知动点到定点的距离等于它到直线的距离，求动点的轨迹方程。 根据两点间距离公式和点到直线的距离公式可得，两边平方并化简得，此即为动点的轨迹方程。 2. 定义法 步骤：若动点的轨迹满足某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的定义直接写出其轨迹方程。 示例：已知平面内一动点到两定点，的距离之和为，求动点的轨迹方程。 因为，根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆。其中，，可得，，所以动点的轨迹方程为。 3. 相关点法（代入法） 步骤：若动点随已知曲线上的动点的运动而运动，且与$x,y$之间存在某种关系，则可先将用$x,y$表示出来，再代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 示例：已知点在圆上运动，点，线段$AP$的中点为，求点的轨迹方程。 设，，因为是$AP$的中点，所以，。又因为在圆上，将，代入圆的方程可得，化简得，此即为点的轨迹方程。 4. 参数法 步骤：当动点的坐标之间的关系不易直接找到时，可考虑引入一个或几个参数，用参数表示动点的坐标x,y，然后消去参数，得到动点的轨迹方程。 示例：已知过点的直线与抛物线相交于，两点，求线段MN中点的轨迹方程。 设直线的方程为（为参数），代入得，即。设，，，由韦达定理得，则。又，将代入得，消去可得，此即为点的轨迹方程。 5. 交轨法 步骤：若动点是两动曲线的交点，可通过设出两动曲线的方程，然后联立方程消去参数，得到动点的轨迹方程。 示例：已知两条直线，，为非零实数，求与交点的轨迹方程。 联立与的方程，消去得。因为（），代入上式得，化简得，此即为交点的轨迹方程（去掉两点，因为此时不存在）。 例题精选 1．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得. 【详解】 设，因为，所以， 由已知，，化简得， 故选：B． 二、填空题 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 3．（24-25高三上·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】将点，代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得，再代入中点的坐标公式化简即可求解. 【详解】因为点，在椭圆：上，所以， 两式相加可得，即， 又因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 所以， 设中点为，则，， 所以，即， 即中点的轨迹方程为， 故答案为： 4．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设动点，由点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 得，即， 整理得：，点P的轨迹方程为. 故答案为： 相似练习 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【分析】设，则，又，代入即可求解. 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 7．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为． (1)求动点P的轨迹方程C； (2)直线l：与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值． 【答案】(1) (2)，1 【分析】（1）由的面积为可求出，再根据题意可得，由此可得，再由结合两点间的距离公式化简可求出椭圆的方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及为定值求出t的值，再利用三角形的面积公式及基本不等式求出面积的最大值. 【详解】（1）因为的面积为，， 所以，有， 又因为M到定直线的距离为， 由题意可知，， 又因为， 所以，则定直线为， 因为，所以， 化简，整理得， 所以动点P的轨迹方程为C：． （2）设，，联立得， 则，即． 则有，， ． 当为定值时，即与无关，故，得， 此时 ， 又因为点O到直线l的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 8．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； 【详解】（1）圆上的圆心为，半径为4， 因为线段的垂直平分线与半径交于点，所以， 所以 由椭圆定义可知，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆 ， 求动点的轨迹方程为    9．（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数. (1)求点的轨迹方程； 【详解】（1）令，结合题设有，则， 所以，即点的轨迹方程为. 10．（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． (1)求点G的轨迹方程C； 【详解】（1）设，易知直线，则，因为三点共线， 则；    【题型七：余弦定理在圆锥曲线小题中的应用】 知识讲解 涉及椭圆的情况 步骤一：利用椭圆定义和余弦定理建立等式 设椭圆方程为，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点。 根据椭圆的定义，。 在中，由余弦定理可得，即。 将代入上式，得到，从而得出。 步骤二：再次使用余弦定理并结合已知条件求解 若已知或等其他角，可在中再次使用余弦定理。 例如，若已知，则在中，。 结合和以及前面得到的等关系，通过化简、代换等方法求解出所需的量，如离心率等。 涉及双曲线的情况 步骤一：利用双曲线定义和余弦定理建立等式 设双曲线方程为，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点。 根据双曲线的定义，。 在中，由余弦定理可得，即。 将代入上式，得到，从而得出。 步骤二：再次使用余弦定理并结合已知条件求解 若已知或等其他角，可在中再次使用余弦定理。 例如，若已知，则在中，。 结合和以及前面得到的等关系，通过化简、代换等方法求解出所需的量，如离心率等。 两次使用余弦定理解决圆锥曲线小题的关键是要充分利用圆锥曲线的定义以及三角形中的边角关系，通过建立等式、化简和代换来求解问题。同时，要注意根据题目中的具体条件灵活运用定理，选择合适的角度和边长进行计算。 例题精选 1.（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，用分别表示，再由得到之间的关系，结合余弦定理即可得的关系，可得离心率. 【详解】设，如下图所示：    由题意可得，； 又，由可得， 即，解得； 所以； 因为，所以； 即，可得， 即，解得. 故选：D 2. （2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 相似练习 1.（2020·河南·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，则，， 所以，， 因为，则， 设，则，则， 由勾股定理可得，即， 整理可得，因为，解得，所以，，， 由勾股定理可得，即，整理可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 2.（22-23高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线C：的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，分别在、中，利用余弦定理运算求解. 【详解】设左焦点为，连接， 设，则， ∵，则有： 在中，由余弦定理， 即，整理得， 在中，由余弦定理， 即，整理得， 可得， 注意到，即，整理得， 故离心率. 故选：D. （2023·湖北·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率. 【详解】 因为，所以∽， 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由得， 所以，即是等边三角形， 所以． 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为． 故选：A． 【题型八：向量及坐标运算解圆锥曲线小题】 知识讲解 定比分点向量公式的应用 确定分点与端点的关系：若点分有向线段所成的比为，则。利用这个关系，结合题目中给出的向量条件，可以得到关于点以及、坐标的等式。 结合圆锥曲线方程：设，，，由定比分点向量公式（为坐标原点）可得，。将点的坐标代入圆锥曲线方程，再结合、在圆锥曲线上的条件，通过联立方程求解相关参数。 利用定比分点坐标公式求点的坐标 根据已知条件求定比：根据题目中给出的线段比例关系、向量关系或其他几何条件，确定定比的值。例如，若已知，则（当在线段$AB$上）或（当在线段$AB$的延长线或反向延长线上）。 代入公式求坐标：得到后，将、的坐标代入定比分点坐标公式，求出分点的坐标。然后根据点在圆锥曲线上或与圆锥曲线相关的其他条件，建立方程求解问题。 与圆锥曲线的性质相结合 利用焦点弦性质：在圆锥曲线中，过焦点的弦常涉及到定比分点问题。例如，在椭圆中，过焦点的弦$AB$，若为$AB$上一点，且，可结合椭圆的第二定义，即（为到相应准线的距离，为椭圆离心率），以及，再利用定比分点的向量与坐标关系，求解与弦长、点的坐标等相关问题。 结合对称性：圆锥曲线具有对称性，若点、关于某直线对称，且为$AB$的定比分点，则在对称轴上。利用这一性质，结合定比分点坐标公式，可以简化计算，快速求解相关问题。 在运用定比分点的向量与坐标解决圆锥曲线小题时，要仔细分析题目中的条件，灵活运用相关公式和圆锥曲线的性质，将向量关系、坐标关系与圆锥曲线方程有机结合起来，通过建立方程、化简求解等步骤，得出最终答案。 例题精选 1. （2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 【答案】 【分析】根据所给的角确定B所在直线，设出B点坐标，再由三角形相似得出B点坐标代入椭圆方程，化简即可得解. 【详解】因为，所以直线的斜率为或， 不妨取，则如图， 设，过作轴于点， 由∽，，， 可得，即，故， 代入椭圆方程可得：， 即，解得， 所以. 故答案为： 2.（2024·福建泉州·一模）O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，根据双曲线定义得到，，设，列出方程，解得，这里取，则，由列出方程，求出，得到离心率. 【详解】由题意得为双曲线的一条渐近线， 设双曲线的右焦点为，连接， 因为，所以， 故，， 由双曲线定义得，即，故， 设，则，解得， 这里取，则， ，则，又， 故， 化简得，故. 故答案为： 相似练习 1.（2023·福建泉州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由可知 N是的中点，求出N的坐标，带入双曲线的方程化简即可. 【详解】的渐近线为：，焦点， ∵渐近线与圆在第一象限的交点为M 联立可得 ，所以N是的中点，， 因为N在双曲线上，化简得： 所以离心率为， 故答案为： 2.（2022·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为，，实轴为线段，虚轴为线段，直线与直线交于点D，若，则C的离心率等于 . 【答案】 【分析】不妨设双曲线方程为， ，，则，根据判断的位置，再联立方程组求出，再根据向量关系列式可求出结果. 【详解】不妨设双曲线方程为， ，，则， 因为，所以在的延长线上，故必为右焦点，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，则， 由得， 所以，所以，所以. 故答案为：. 【题型九：焦点三角形内切圆圆心结论】 知识讲解 椭圆焦点三角形内切圆圆心坐标 设椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，的内切圆的圆心为。 1. 推导思路： 利用椭圆的定义，。 设内切圆与，，分别相切于点，，。根据圆的切线性质可知，，。 由，可得，。 因为，，且点在轴上，设点坐标为，则，。 又因为，所以（点横坐标）。 由于内切圆的圆心在的角平分线上，且到的距离为内切圆半径，的横坐标与点横坐标相同。 已知的面积，可得。 所以内切圆圆心的坐标为，符号取决于点所在的象限。 2. 结论：椭圆焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为（为椭圆的长半轴长），纵坐标为（为椭圆的半焦距，为点的纵坐标）。 双曲线焦点三角形内切圆圆心坐标 设双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线上一点，的内切圆的圆心为。 1. 推导思路： 由双曲线的定义，设内切圆与，，分别相切于点，，。 根据圆的切线性质有，，。 不妨设点在双曲线的右支上，则，即。 又，联立可解得，，所以点的坐标为（当在双曲线右支上时）。 因为内切圆的圆心在的角平分线上，且到的距离为内切圆半径，的横坐标与点横坐标相同。 对于的面积，可求出（过程略）。 当在双曲线左支上时，同理可得点坐标为。 所以内切圆圆心的坐标为，其中为内切圆半径，符号取决于点所在的象限以及在双曲线的左支还是右支。 2. 结论：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为（为双曲线的实半轴长），纵坐标为（为内切圆半径，由的面积和半周长等确定）。 例题精选 1．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线的距离公式计算可得，结合，求，进而得到离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：， 即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示， 则，即，即轴，圆的半径为， 则，点到直线的距离为， 整理得且，解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 相似练习 二、多选题 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（    ） A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 【答案】BD 【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A错误；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；由内切圆性质可得所在直线方程为，根据直线的倾斜角范围与渐近线关系可得，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确. 【详解】对于A，若双曲线渐近线的夹角为，则或， 故可得或，即A错误； 对于B，设，则由以及双曲线定义可得， 故，则 又，即可得， 因此，解得， 又，即， 可得，即， 故双曲线的离心率为，即B正确； 对于C，如下图所示： 令的内切圆切分别为， 则， 所以， 令点，而，因此，解得； 又，则点的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，即所在直线方程为； 设直线的倾斜角为，则， 在中，， 在中，， 又，可得渐近线斜率为，且， 因为均在右支上，故，即， 因此，可知C错误； 对于D，由可得, 故，而，可得， 又直线的斜率为，所以， 由余弦定理可得，解得， 即则双曲线的离心率为，可得D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：在求解焦点三角形内切圆问题时，要利用双曲线定义以及切线长性质得出内切圆圆心的横坐标为双曲线的顶点坐标，再利用内心性质可求出半径. 三、填空题 5．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，的内切圆的半径的为，的内切圆半径为，若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由内心性质结合双曲线定义可知，，分别过作的垂线交于点，作，交于点，由可得直线倾斜角，在，中运用余弦定理求解即可. 【详解】如图， 由内心性质结合双曲线定义可知，，分别过作的垂线交于点， 设直线倾斜角为（不妨设为锐角，由对称性可知，不影响答案）， 在直角梯形中，作，交于点， 所以，则，即， 又由，令，， 在，中有： 联立消去得，即. 故答案为：. 6．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得，结合椭圆的定义以及勾股定理可得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图，的内切圆与三边分别切于点， 若，则， 因为，则，可得， 则，可得， 因为， 即，可得， 又因为， 即，可得， 且，解得， 所以椭圆的离心率是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 【题型十：圆锥曲线的参数方程】 知识讲解 参数方程的应用解题思路 利用参数方程表示点的坐标 对于椭圆（），其参数方程为（为参数）。对于双曲线，其参数方程为（为参数）。对于抛物线（），其参数方程为（为参数）。 当遇到涉及圆锥曲线上点的坐标问题时，可将点的坐标用参数方程表示，这样可以将问题转化为关于参数的问题，便于分析和计算。 解决最值与范围问题 通过将圆锥曲线上的点用参数方程表示后，将所求的量（如距离、面积等）表示为参数的函数。 然后利用三角函数或其他函数的性质来求解最值或范围。例如，对于形如的式子，可以利用辅助角公式将其化为的形式，进而根据正弦函数的值域来确定最值。 简化计算 在一些涉及直线与圆锥曲线相交的问题中，若直线的倾斜角已知或与角度有关，利用圆锥曲线的参数方程可以简化计算。设直线的参数方程为（为参数，为直线倾斜角），与圆锥曲线的参数方程联立，通过参数的几何意义来解决问题，如求弦长、点到直线的距离等。 辅助角公式的应用解题思路 化简三角函数表达式 在圆锥曲线问题中，常常会出现含有三角函数的表达式，如在求椭圆或双曲线焦点三角形的相关问题中，可能会出现，等形式的式子。 利用辅助角公式，其中，将其化简为一个三角函数的形式，以便于分析其性质和求解相关问题。 求解角度相关问题 当圆锥曲线问题涉及到角度的计算或范围求解时，若能将相关式子转化为含有辅助角公式的形式，就可以根据三角函数的取值范围来确定角度的范围。 例如，已知，根据正弦函数的值域$[ 1,1]$，可以得到关于的不等式，从而求解的取值范围。 结合参数方程求最值 如前所述，将圆锥曲线的参数方程代入所求式子中，经过化简可能会得到需要使用辅助角公式的形式。 例如，求椭圆上一点到某直线距离的最值问题，设椭圆上的点为，根据点到直线的距离公式得到距离的表达式，通过辅助角公式将其化简为的形式，进而求出最值。 例题精选 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 【法二：参数方程】 1. 设椭圆：的参数方程为（为参数），已知，设点。 2. 计算的表达式： 根据两点间距离公式，则。 对其进行化简： 。 因为，所以。 展开式子得。 进一步整理得。 令，因为，则，函数，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为。 3. 分情况讨论函数在上的最大值： 当，即时： 函数在上单调递减，所以当时，取得最大值。 ，此时，满足。 由，又，可得，即，那么，所以离心率。 当，即时： 函数在处取得最大值。 由，则，即，，，而，所以，这与矛盾，这种情况不成立。 综上，椭圆的离心率的取值范围是，答案选C。 二、填空题 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 相似练习 3．（24-25高二上·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质可得，设，结合两点间距离公式求的最值，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为点是圆上任意一点， 则，即， 又因为点是椭圆上任意一点，设， 可得， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值5； 可得，所以的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； 【详解】（1）    设点的坐标为， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【圆锥曲线小题常考解题思路总结】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：通过定义求圆锥曲线的方程】 知识讲解 1.椭圆 定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用2c表示。设椭圆上任意一点为，则（）。 易错提示： 要特别注意“常数大于”这个条件。若常数等于，则动点轨迹是线段；若常数小于，则不存在这样的轨迹。 在判断点的轨迹是否为椭圆时，需验证是否为定值，且该定值要大于。 2.双曲线 定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于且大于零）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，用$2c$表示。设双曲线上任意一点为，则（）。 易错提示： 注意“绝对值”和“”这两个关键条件。若没有绝对值，那么轨迹只是双曲线的一支；若，则轨迹是以为端点的两条射线（除端点外）；若，则轨迹不存在。 对于给定的条件，要准确判断是双曲线的两支还是一支。若已知（），则点的轨迹是双曲线中靠近的一支；若（），则点的轨迹是双曲线中靠近的一支。 3.抛物线 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。设抛物线上任意一点为，则（为点到准线的距离）。 易错提示： 容易忽略“不经过点”这个条件。若直线经过点，则满足条件的点的轨迹是过点且垂直于直线的直线（除点外）。 在解决抛物线相关问题时，要准确找到焦点和准线的位置，并且注意抛物线上的点到焦点和准线的距离关系是一一对应的。同时，要根据抛物线的开口方向正确使用定义进行计算和推理。例如，对于开口向右的抛物线，焦点坐标为，准线方程为；对于开口向上的抛物线，焦点坐标为，准线方程为等。不同开口方向的抛物线，其焦点和准线的位置不同，在应用定义时不能混淆 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B．若，动点的轨迹是双曲线的右支 C．若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D．若，动点的轨迹是椭圆 相似练习 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 7．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 四、解答题 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆方程为分别为其左、右焦点，为椭圆上的动点，过点作椭圆在点处的切线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 9．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； 10．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； 【题型二：与坐标有关的焦半径结论的应用】 椭圆知识讲解 设椭圆方程为，其左、右焦点分别为，（其中），点是椭圆上任意一点。我们的目标是求出点到两焦点的距离和关于、以及椭圆参数、、的表达式。 二、推导左焦半径的公式 1. 利用两点间距离公式： 根据两点间距离公式，可得。 2. 结合椭圆方程消去： 因为点在椭圆上，所以。 将代入中： 3. 利用椭圆中、、的关系化简： 由于，那么，继续对上式化简： 因为，且、均大于，所以，则。 又因为椭圆离心率，所以。 三、推导右焦半径的公式 1. 同样利用两点间距离公式： 。 2. 代入椭圆方程并化简： 把代入： 3. 确定绝对值内式子的正负并得出结果： 因为，所以，则，即。 综上，在椭圆中，左焦半径，右焦半径 。 设双曲线的方程为，其左、右焦点分别为，，其中，点是双曲线上任意一点。 推导左焦半径的公式 利用两点间距离公式：根据两点间距离公式，。 结合双曲线方程消去：因为点在双曲线上，所以。将其代入上式可得： 利用双曲线中、、的关系化简：由于，那么，继续化简可得： 当点在双曲线左支上时，，此时，则（为双曲线的离心率）；当点在双曲线右支上时，则。 推导右焦半径的公式 利用两点间距离公式：。 代入双曲线方程并化简：把代入可得： 当点在双曲线左支上时，，，则；当点在双曲线右支上时，，，则。 综上，双曲线（，）的焦半径公式为： 当点在双曲线左支上时，，； 当点在双曲线右支上时，， 【以下例题在此可以尝试用焦半径公式做】例题精选 1．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则 ． 2．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是 ． 3已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 相似练习 1．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 2．设为椭圆:的右焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于，两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则的横坐标为 . 【题型三：中点弦问题（点差法）】 知识讲解 圆锥曲线的第三定义 1. 椭圆的第三定义：平面内与两个定点，连线的斜率之积为常数（为椭圆离心率，）的动点的轨迹是椭圆（除去与轴的交点）。 设为椭圆上一点，则。 由椭圆方程，可得，所以，即。 2. 双曲线的第三定义：平面内与两个定点，连线的斜率之积为常数（为双曲线离心率，）的动点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点）。 设为双曲线上一点，则。 由双曲线方程，可得，所以，即。 点差法推导 1. 设椭圆方程为，，是椭圆上的两点。 则有 ①， ②。 2. 用①式减去②式可得： ，即。 3. 设AB的中点为，则，。 那么上式可化为，进一步得到。 而就是直线$AB$的斜率，所以。 对于双曲线，点差法的推导过程类似： 1. 设，是双曲线上的两点，则 ③， ④。 2. 用③式减去④式可得： ，即。 3. 设AB的中点为，则，。 上式可化为，进而得到，即直线$AB$的斜率。 对于抛物线，设，是抛物线上两点，则 ⑤， ⑥。 1. 用⑤式减去⑥式可得： ，即。 2. 设$AB$的中点为，则。 所以，则，即直线$AB$的斜率。 例题精选 【经典点差解法】1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 2.（2023·陕西商洛·三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 相似练习 1.（22-23高二上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2. （2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3. （24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型四：与直线倾斜角有关的椭圆焦半径公式与焦点弦长公式】 知识讲解 设椭圆方程为，其左、右焦点分别为，，离心率。设过焦点的直线与椭圆交于点，直线的倾斜角为，，。 根据椭圆的定义，，且。 2. 在中应用余弦定理 在中，由余弦定理可得，即。 因为，将其代入上式得： 3. 展开并化简等式 展开得： 等式两边的可以消去，得到： 移项可得： 提取公因式得： （因为） 4. 求解 两边同时除以，得到，则。 将分子分母同时除以，并结合和进行化简： ，这就是以左焦点为起点的焦半径公式。 5. 推导以右焦点为起点的焦半径公式 设过右焦点的直线与椭圆交于点，直线倾斜角为，此时在中，（因为夹角为）。 即，又，代入可得： 展开： 消去，移项得： 提取公因式： 解得 1. 焦比相关结论 设椭圆方程为（），其左、右焦点分别为，，离心率。设点是椭圆上一点，直线的倾斜角为，则 。 2. 结论推导 利用焦半径公式： 已知椭圆中过焦点的焦半径公式，以左焦点为起点的焦半径，以右焦点为起点的焦半径。 计算焦比： 将上述两个焦半径公式相除，可得，因为（，），分子分母同时约去 ，从而得到 。 例题精选 1．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 2．（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·湖南长沙·二模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，，分别是，的中点，且的周长为4，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 相似练习 4．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 二、填空题 6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【题型五：与直线倾斜角有关的双曲线焦半径公式与焦点弦长公式】 知识讲解 1. 双曲线的焦点弦长公式推导 设过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于、两点，直线$AB$的倾斜角为。 情况一：、在双曲线的同一支上（假设都在右支） 设，，根据双曲线的定义，，。 在中，由余弦定理得，即。 展开可得：，化简得。 同理，在中，，解得。 所以焦点弦长（因为、在同一支上，这里、相减取绝对值）。 情况二：、在双曲线的不同支上 设，，则，。 在中，，解得。 在中，。 展开可得：，化简得。 所以焦点弦长。 综合两种情况，双曲线的焦点弦长公式为。 2. 双曲线的焦长比推导（设在右支，在左支） 设，。 在中，由余弦定理，化简得。 在中，，化简得。 则焦长比。 当在左支，在右支时，同理可推导得到焦长比为。 综上，通过余弦定理我们推导出了双曲线的焦点弦长公式以及焦长比。 双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为（如下图左） 焦长公式：（1）当AB交双曲线于一支时，，（图中） （2）当AB交双曲线于两支时，，（图右） 双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致： 令，即，代入弦长公式可得． 若交于两支时，，代入弦长公式可得． 例题精选 2.（2023·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 相似练习 1.．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【题型六：抛物线焦点弦结论】 知识讲解 1. 焦点弦长公式 若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，消去可得，展开并整理得。 由韦达定理得。 根据抛物线的定义，焦点弦长（因为，）。 当直线AB的斜率不存在时，即，此时，该公式依然成立。 2. 、两点横坐标之积与纵坐标之积 由上述韦达定理可知。 因为，，两式相乘得，则（因为、两点在抛物线两侧，纵坐标异号）。 3. 以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系 设$AB$的中点为，过、、分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'、M'。 由梯形中位线定理可知。 又因为，所以，即以焦点弦$AB$为直径的圆与准线相切。 4. 焦半径公式 对于抛物线上一点，其焦半径。 若已知直线倾斜角，设点到准线的距离为，则，由几何关系可得（当在轴上方时），（当在轴下方时）。 5. 为定值 由焦半径公式可得，。 则。 将，代入上式并化简可得，为定值。 例题精选 1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线的焦点为，上一点到焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·模拟预测）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 相似练习 4．（2021·福建漳州·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·福建·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B．4 C．8 D．24 6．（2023·福建三明·三模）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 ；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则 ． 【题型六：轨迹方程常见解法】 知识讲解 圆锥曲线轨迹方程的五种求法： 1. 直接法 步骤：直接根据题目所给的条件，建立平面直角坐标系，设动点坐标为，然后根据动点所满足的几何条件，将其转化为与的等式，从而得到轨迹方程。 示例：已知动点到定点的距离等于它到直线的距离，求动点的轨迹方程。 根据两点间距离公式和点到直线的距离公式可得，两边平方并化简得，此即为动点的轨迹方程。 2. 定义法 步骤：若动点的轨迹满足某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的定义直接写出其轨迹方程。 示例：已知平面内一动点到两定点，的距离之和为，求动点的轨迹方程。 因为，根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆。其中，，可得，，所以动点的轨迹方程为。 3. 相关点法（代入法） 步骤：若动点随已知曲线上的动点的运动而运动，且与$x,y$之间存在某种关系，则可先将用$x,y$表示出来，再代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 示例：已知点在圆上运动，点，线段$AP$的中点为，求点的轨迹方程。 设，，因为是$AP$的中点，所以，。又因为在圆上，将，代入圆的方程可得，化简得，此即为点的轨迹方程。 4. 参数法 步骤：当动点的坐标之间的关系不易直接找到时，可考虑引入一个或几个参数，用参数表示动点的坐标x,y，然后消去参数，得到动点的轨迹方程。 示例：已知过点的直线与抛物线相交于，两点，求线段MN中点的轨迹方程。 设直线的方程为（为参数），代入得，即。设，，，由韦达定理得，则。又，将代入得，消去可得，此即为点的轨迹方程。 5. 交轨法 步骤：若动点是两动曲线的交点，可通过设出两动曲线的方程，然后联立方程消去参数，得到动点的轨迹方程。 示例：已知两条直线，，为非零实数，求与交点的轨迹方程。 联立与的方程，消去得。因为（），代入上式得，化简得，此即为交点的轨迹方程（去掉两点，因为此时不存在）。 例题精选 1．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 3．（24-25高三上·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 4．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ． 相似练习 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 三、解答题 6．（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 7．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为． (1)求动点P的轨迹方程C； 8．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平面直角坐标系中，定点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)求动点的轨迹方程； 9．（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数. (1)求点的轨迹方程； 10．（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． (1)求点G的轨迹方程C； 【题型七：余弦定理在圆锥曲线小题中的应用】 知识讲解 涉及椭圆的情况 步骤一：利用椭圆定义和余弦定理建立等式 设椭圆方程为，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点。 根据椭圆的定义，。 在中，由余弦定理可得，即。 将代入上式，得到，从而得出。 步骤二：再次使用余弦定理并结合已知条件求解 若已知或等其他角，可在中再次使用余弦定理。 例如，若已知，则在中，。 结合和以及前面得到的等关系，通过化简、代换等方法求解出所需的量，如离心率等。 涉及双曲线的情况 步骤一：利用双曲线定义和余弦定理建立等式 设双曲线方程为，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点。 根据双曲线的定义，。 在中，由余弦定理可得，即。 将代入上式，得到，从而得出。 步骤二：再次使用余弦定理并结合已知条件求解 若已知或等其他角，可在中再次使用余弦定理。 例如，若已知，则在中，。 结合和以及前面得到的等关系，通过化简、代换等方法求解出所需的量，如离心率等。 两次使用余弦定理解决圆锥曲线小题的关键是要充分利用圆锥曲线的定义以及三角形中的边角关系，通过建立等式、化简和代换来求解问题。同时，要注意根据题目中的具体条件灵活运用定理，选择合适的角度和边长进行计算。 例题精选 1.（24-25高二上·广西玉林·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2. （2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 相似练习 1.（2020·河南·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线C：的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为（    ） A． B．2 C． D． （2023·湖北·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型八：向量及坐标运算解圆锥曲线小题】 知识讲解 定比分点向量公式的应用 确定分点与端点的关系：若点分有向线段所成的比为，则。利用这个关系，结合题目中给出的向量条件，可以得到关于点以及、坐标的等式。 结合圆锥曲线方程：设，，，由定比分点向量公式（为坐标原点）可得，。将点的坐标代入圆锥曲线方程，再结合、在圆锥曲线上的条件，通过联立方程求解相关参数。 利用定比分点坐标公式求点的坐标 根据已知条件求定比：根据题目中给出的线段比例关系、向量关系或其他几何条件，确定定比的值。例如，若已知，则（当在线段$AB$上）或（当在线段$AB$的延长线或反向延长线上）。 代入公式求坐标：得到后，将、的坐标代入定比分点坐标公式，求出分点的坐标。然后根据点在圆锥曲线上或与圆锥曲线相关的其他条件，建立方程求解问题。 与圆锥曲线的性质相结合 利用焦点弦性质：在圆锥曲线中，过焦点的弦常涉及到定比分点问题。例如，在椭圆中，过焦点的弦$AB$，若为$AB$上一点，且，可结合椭圆的第二定义，即（为到相应准线的距离，为椭圆离心率），以及，再利用定比分点的向量与坐标关系，求解与弦长、点的坐标等相关问题。 结合对称性：圆锥曲线具有对称性，若点、关于某直线对称，且为$AB$的定比分点，则在对称轴上。利用这一性质，结合定比分点坐标公式，可以简化计算，快速求解相关问题。 在运用定比分点的向量与坐标解决圆锥曲线小题时，要仔细分析题目中的条件，灵活运用相关公式和圆锥曲线的性质，将向量关系、坐标关系与圆锥曲线方程有机结合起来，通过建立方程、化简求解等步骤，得出最终答案。 例题精选 1. （2025·福建泉州·一模）设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点．若，且，则的离心率等于 ． 2.（2024·福建泉州·一模）O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为 ． 相似练习 1.（2023·福建泉州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为 ． 2.（2022·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为，，实轴为线段，虚轴为线段，直线与直线交于点D，若，则C的离心率等于 . 【题型九：焦点三角形内切圆圆心结论】 知识讲解 椭圆焦点三角形内切圆圆心坐标 设椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，的内切圆的圆心为。 1. 推导思路： 利用椭圆的定义，。 设内切圆与，，分别相切于点，，。根据圆的切线性质可知，，。 由，可得，。 因为，，且点在轴上，设点坐标为，则，。 又因为，所以（点横坐标）。 由于内切圆的圆心在的角平分线上，且到的距离为内切圆半径，的横坐标与点横坐标相同。 已知的面积，可得。 所以内切圆圆心的坐标为，符号取决于点所在的象限。 2. 结论：椭圆焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为（为椭圆的长半轴长），纵坐标为（为椭圆的半焦距，为点的纵坐标）。 双曲线焦点三角形内切圆圆心坐标 设双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线上一点，的内切圆的圆心为。 1. 推导思路： 由双曲线的定义，设内切圆与，，分别相切于点，，。 根据圆的切线性质有，，。 不妨设点在双曲线的右支上，则，即。 又，联立可解得，，所以点的坐标为（当在双曲线右支上时）。 因为内切圆的圆心在的角平分线上，且到的距离为内切圆半径，的横坐标与点横坐标相同。 对于的面积，可求出（过程略）。 当在双曲线左支上时，同理可得点坐标为。 所以内切圆圆心的坐标为，其中为内切圆半径，符号取决于点所在的象限以及在双曲线的左支还是右支。 2. 结论：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为（为双曲线的实半轴长），纵坐标为（为内切圆半径，由的面积和半周长等确定）。 例题精选 1．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 相似练习 二、多选题 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（    ） A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 三、填空题 5．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，的内切圆的半径的为，的内切圆半径为，若，且，则双曲线的离心率为 . 6．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ． 【题型十：圆锥曲线的参数方程】 知识讲解 参数方程的应用解题思路 利用参数方程表示点的坐标 对于椭圆（），其参数方程为（为参数）。对于双曲线，其参数方程为（为参数）。对于抛物线（），其参数方程为（为参数）。 当遇到涉及圆锥曲线上点的坐标问题时，可将点的坐标用参数方程表示，这样可以将问题转化为关于参数的问题，便于分析和计算。 解决最值与范围问题 通过将圆锥曲线上的点用参数方程表示后，将所求的量（如距离、面积等）表示为参数的函数。 然后利用三角函数或其他函数的性质来求解最值或范围。例如，对于形如的式子，可以利用辅助角公式将其化为的形式，进而根据正弦函数的值域来确定最值。 简化计算 在一些涉及直线与圆锥曲线相交的问题中，若直线的倾斜角已知或与角度有关，利用圆锥曲线的参数方程可以简化计算。设直线的参数方程为（为参数，为直线倾斜角），与圆锥曲线的参数方程联立，通过参数的几何意义来解决问题，如求弦长、点到直线的距离等。 辅助角公式的应用解题思路 化简三角函数表达式 在圆锥曲线问题中，常常会出现含有三角函数的表达式，如在求椭圆或双曲线焦点三角形的相关问题中，可能会出现，等形式的式子。 利用辅助角公式，其中，将其化简为一个三角函数的形式，以便于分析其性质和求解相关问题。 求解角度相关问题 当圆锥曲线问题涉及到角度的计算或范围求解时，若能将相关式子转化为含有辅助角公式的形式，就可以根据三角函数的取值范围来确定角度的范围。 例如，已知，根据正弦函数的值域$[ 1,1]$，可以得到关于的不等式，从而求解的取值范围。 结合参数方程求最值 如前所述，将圆锥曲线的参数方程代入所求式子中，经过化简可能会得到需要使用辅助角公式的形式。 例如，求椭圆上一点到某直线距离的最值问题，设椭圆上的点为，根据点到直线的距离公式得到距离的表达式，通过辅助角公式将其化简为的形式，进而求出最值。 例题精选 1．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 相似练习 3．（24-25高二上·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ． 三、解答题 4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$