高二第二学期第一次月考卷01（考试范围：选择性必修一+选择性必修二）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

高二第二学期第一次月考卷01 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（选择性必修一+选择性必修二） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【详解】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故. 故选：C 2．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A．在处的切线的斜率大于0 B．是函数的极值 C．在区间上不单调 D．是函数的最小值 【答案】A 【详解】由图象可知：当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则为的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误； 对于A：可知，即在处的切线的斜率大于0，故A正确； 故选：A. 3．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得： ，， 所以. 故选：D 4．直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 5．已知为数列的前项和，，则（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【详解】当时，，因为，所以． 当时，由得， 两式相减可得，即． 因为，所以， 可得，所以2024． 故选：D. 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 7．如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在四边形中，连接，由题意可知是边长为1的等边三角形， 则，，，则，可知， 即，且，由，，， 则，可知. 由，，平面， 可得平面，又因为平面，所以平面平面 取中点O，中点H，连，，则，，可得， 因为为等边三角形，则，平面平面， 平面，所以平面. 以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，可得，，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 可得， 由点F为线段的中点，知点F到平面的距离是点B到平面的距离的. 平面的一个法向量，， 点B到平面的距离 ，所以点F到平面的距离为. 故选：B. 8．设函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】当时，，定义域为不恒成立，不合题意； 当时，定义域为在定义域内单调递增， 当时，，不合题意； 当时，定义域为， ， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， 令， ， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为. 故答案为：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的实轴长为定值 B．双曲线的焦点在轴上 C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线的离心率 【答案】BCD 【详解】由可得，所以曲线表示焦点在轴上的双曲线，且不是定值，所以A错误，B正确； 双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 离心率，故D正确． 故选：BCD 10．当时，函数取得极大值，则有（   ） A．= B．= C． D．= 【答案】ABC 【详解】对于AB：因为函数定义域为，所以依题可知，，，而， 所以，，即，，故A、B正确； 对于C：， 当，，当，， 所以函数在上递增，在上递减， 时取最大值，满足题意， 所以.故C正确； 对于D：又，，故D错误. 故选：ABC. 11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则（   ）    A． B．1275既是三角形数，又是正方形数 C． D．，总存在，使得成立 【答案】ACD 【详解】对于A，因为， 所以， 当时也满足上式，所以， 所以，故A正确； 对于B，由得，，即， 解得，故1275是三角形数的第50项，但1275不是完全平方数，故B错误； 对于C，，其中， 所以当时， ，当或时不等式显然成立，故C正确： 对于D，，所以， 故，总存在，使得成立，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于用累加法求得数列的累加法求得通项公式，利用放缩法求得，求解可得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 13．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【详解】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 14．已知椭圆的焦点为、，、为椭圆上不在轴上的关于原点对称的两动点，现将椭圆的上半部分沿轴进行翻折，当四面体体积最大时，异面直线和所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】在椭圆中，，，则， 因为、为椭圆上不在轴上的关于原点对称的两动点， 当点为椭圆短轴的端点时，的面积取最大值， 且当平面平面时，为椭圆短轴的端点时， 点到平面的体积取最大值，此时，四面体体积最大， 因为，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， ， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，无极大值. 【详解】（1）因为，. 所以，. 由题意. （2）因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 16．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， 故， （2）由（1）可得，      则，     所以，       两式相减得，   所以 17．如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． (1)当时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接， 由 知，，∴， ∵，∴，∴， 又平面，平面，∴平面． （2）∵平面，∴为与底面所成的角， 即，∴， 又四边形是直角梯形， 故以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ∴，，， 设平面法向量为，则 ， 即 ，令，则， 设， 则， 设平面的法向量为，则， 即 ，令，则， 因为二面角的余弦值为， ∴，解得， 所以，， 所以. 18．已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10 【详解】（1）由得， 因此抛物线的方程为． （2）（i）由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以， 设直线的方程为，如下图所示： 联立得，， 同理可得，． 又， ∴直线的方程为， 化简，得，即， 令，则， 故直线过定点； （ii）由（i）知， ， ， 当且仅当时等号成立， 故与面积和的最小值为10． 19．函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增 【详解】（1）∵，∴单调递增， 当时，，∵，又，∴，． ∴使，∴有且仅有一个零点． （2） ， 令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象． 由（1）知，，当时，，当时，，其中，． ∴当时，，当时，． ∴当时，，，，则，函数单调递增． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第二学期第一次月考卷01 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（选择性必修一+选择性必修二） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 2．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A．在处的切线的斜率大于0 B．是函数的极值 C．在区间上不单调 D．是函数的最小值 3．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 4．直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为数列的前项和，，则（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的实轴长为定值 B．双曲线的焦点在轴上 C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线的离心率 10．当时，函数取得极大值，则有（   ） A．= B．= C． D．= 11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则（   ）    A． B．1275既是三角形数，又是正方形数 C． D．，总存在，使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数的减区间为，则的值为 . 13．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 14．已知椭圆的焦点为、，、为椭圆上不在轴上的关于原点对称的两动点，现将椭圆的上半部分沿轴进行翻折，当四面体体积最大时，异面直线和所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 16．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． (1)当时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 18．已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 19．函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$