专题10 正方形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题10 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 5 类型三、求正方形重叠部分面积 8 类型四、根据正方形的性质证明 12 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 16 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 21 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 26 压轴能力测评（16题） 32 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·全国·期中）如图，E是正方形内一点，是等边三角形，那么 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则 ．   2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）以正方形的一边作等边三角形，连接，则的度数是 ． 3．（2024·广东广州·三模）将正方形的边绕点A逆时针旋转，得到，连接．当点E落在的垂直平分线上时，的度数为 ． 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，边上的一点，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2024·陕西商洛·二模）如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转能与重合，若，则 ． 3．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长为 ． 类型三、求正方形重叠部分面积 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 2.（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 类型四、根据正方形的性质证明 例题：（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到．连接若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东河源·期中）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，E，F，G，H分别是四边形的边的中点，四边形的两条对角线：满足条件 时，四边形是菱形；满足条件 时，四边形是矩形；满足条件 时，四边形是正方形． 7．（18-19九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，正方形中，，把绕点逆时针旋转得到，连接则（1） ；（2） ． 9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ． 10．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 12．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)在图1中，点是上任意一点，以为边画一个平行四边形； (2)在图2中，点为对角线上任意一点，以为边画一个菱形． 13．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)请添加一个条件______使四边形为菱形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，_______，四边形是正方形； (3)若，四边形的面积是_______． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）在正方形中，是所在直线上一动点，与相交于点与相交于点是的中点，连接，． (1)如图，当点在边上时．求证：； (2)如图，当点在的延长线上时，中的结论是否成立？请说明理由． 15．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是正方形的边上一点，过点作交的延长线于点，连接． (1)可以由顺时针旋转得到，旋转角是_______度； (2)判断的形状，并证明； (3)若，，求的长． 16．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形，并证明； ②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； (2)已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由． 17．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 18．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）【问题初探】 （1）北师大版教材九年级上册第一章《特殊平行四边形——正方形》习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明给出这样的解题思路：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．通过小明的思路点拨，你认为：______（填一个数值） 【类比探究】 （2）如图2，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______；______； 【问题解决】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 5 类型三、求正方形重叠部分面积 8 类型四、根据正方形的性质证明 12 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 16 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 21 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 26 压轴能力测评（16题） 32 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·全国·期中）如图，E是正方形内一点，是等边三角形，那么 ． 【答案】/75度 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形以及等边三角形的性质，根据、求出，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：. 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则 ．   【答案】 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）以正方形的一边作等边三角形，连接，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度、等边对等角 【分析】主要考查了正方形和等边三角形的特殊性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．分为点E在四边形外部及点E在四边形内部，两种情况进行讨论求解即． 【详解】解：如图，若点E在四边形外部时，   正方形及等边三角形， ， ，， ． 如图，若点E在四边形内部时， 四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ； 故答案为：或 3．（2024·广东广州·三模）将正方形的边绕点A逆时针旋转，得到，连接．当点E落在的垂直平分线上时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查选旋转的性质、线段垂直平分线的性质，全等三角形法人判定和性质及正方形的性质，分两种情况讨论，根据点在的垂线平分线上，利用全等三角形，可得出是等边三角形，据此可解决问题，能通过全等三角形的性质得出是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：当点在正方形内部时，如图所示， 点在的垂线平分线上， ， ． 又四边形是正方形， ，， ． 在和中， ， ， ． 由旋转可知，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 当点在正方形外部时，如图所示， 同理可得，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，边上的一点，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，连接，过点E作于点F，首先求出，然后证明出是等腰直角三角形，设，根据勾股定理得到，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，过点E作于点F ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴设 ∴ ∵正方形的边长为 ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·陕西商洛·二模）如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、二次根式的混合运算 【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用．过作于，由正方形的边长为6，可得，，，而，故，根据是等腰直角三角形，求出，，再用勾股定理可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 正方形的边长为6， ，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转能与重合，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据旋转易得，，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据正方形的性质可得，由勾股定理求得，再由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 绕点顺时针旋转，得到， ， ， 故答案为：． 类型三、求正方形重叠部分面积 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是连接构造全等三角形． 如图，连接，由点是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为2， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为1． 故答案为：1． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 2.（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定；由四边形是正方形，四边形是正方形，可证明，即得，而，可知，故． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型四、根据正方形的性质证明 例题：（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)；，理由见解析． 【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可； （）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论； 过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ，理由： 过点作于点，    ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可； （2）证明，推出，得到四边形是菱形，再证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示：； ； （2）解：四边形是正方形， ∵正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定． （1）平分正方形的面积，会经过正方形的中心，过点作的垂线即可； （2）过点作于点，过点作，设交于点，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴即 在中， ∴ ∴ 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，即有； （2）设、交于点T，连接、，二者交于点P，连接，连接，并延长交于点G，连接，并延长交的延长线于点O，连接，问题得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 在正方形中，有，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图， 矩形即为所求． 证明：根据点E为边中点，，可得，进而可证明，则有，，即点T为、的中点； 根据正方形的性质可得点P为、的中点； 即有：，，结合点P为、的中点，可得点G为、的中点，即可证明四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】先由正方形的性质得到，，再由线段中点的定义推出，，据此可证明四边形是平行四边形，即可判断②；证明，得到，进而证明，即，即可判断①；根据直角三角形的性质可得，据此可判断⑤；根据，即可判断③；证明垂直平分，得到，进而证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，，分别为边，，上的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点G为的中点， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故③错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定,直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．本题的综合性较强，是中考常考题型． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质和“”可证明，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设相交于点，相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理可得，即可判断②；过点作的延长线于，过点作于，根据余角的性质即可判断③；利用“”即可证明，可得，同理可证，从而得到，再证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于，过点作于，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质得，，而，则，即可证明，得，，可判断①正确，②正确，由，得，可判断③正确；设，则，求得，所以，由，求得，则，所以点不是的中点，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故①②正确； ， ， 故③正确； 设， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 点不是的中点， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中点定义及三角形面积等知识，证明是解题的关键． 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系、证明四边形是正方形 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）31 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长，进而可得到答案； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）四边形 是正方形，见解析；（2），见解析；（3），不发生变化，见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）， ，， 证明 ，，可得，可得矩形是正方形． （2）证明四边形是矩形，结合 ， 可得四边形是正方形 ，可得，进一步可得结论； （3）过点B作于点P ，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 理由： ∵四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 即， 又∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴矩形是正方形． （2）， 理由： ， ， ， ∴四边形是矩形， 由（1）得 ， ∴ ，， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴； （3），理由如下： 过点B作于点P ，在上截取，连接， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形为正方形， ∴，，， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意； 若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】四边形的不稳定性、根据正方形的性质求线段长、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的稳定性，多边形，过点作于，由题意得四边形是菱形，根据等腰直角三角形的性质求出，再求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， 由题意知， ∴四边形是菱形， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积， 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到．连接若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正方形性质理解、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质；过点F作交的延长线于点G，证明，得到再结合得到，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点F作交的延长线于点G，    ∵， ∴， ∴ ∴ ∵是正方形 ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴ 又∵ ∴ ∵是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东河源·期中）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和． 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：A． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 先证明，得到，过作于点M, 过作于, 根据正方形性质得,, 推出四边形EMCN是正方形, 由矩形性质得,, 根据全等三角形的性质得，推出，矩形是正方形，故①②正确； 根据正方形性质得推出,得到, 故③正确； 由此推出平分，故④正确解题即可. 【详解】解：∵为正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 如图, 过作于点M, 过作于, ∴, ∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴, ∴, ∴四边形是正方形， ∴, ∵四边形是矩形， ∴, ∴, ∴, 在和中, ， ∴, ∴, ∴，矩形是正方形，故①②正确； ∴, ∵, ∴, ∵四边形是正方形， ∴, ∴, ∴, ∴ 故③正确， ∴平 故④正确； 综上所述：正确的序号有①②③④. 故选: D. 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，E，F，G，H分别是四边形的边的中点，四边形的两条对角线：满足条件 时，四边形是菱形；满足条件 时，四边形是矩形；满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】 且 【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的证明 【分析】由题意知，分别是的中位线，则，，，，可证四边形是平行四边形，当时，即时，四边形是菱形；当时，即时，四边形是矩形；当且时，即且时，四边形是正方形；然后作答即可． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，即时，四边形是菱形； 当时，即时，四边形是矩形； 当且时，即且时，四边形是正方形； 故答案为：；；且． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，菱形、矩形、正方形的判定是解题的关键． 7．（18-19九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理等知识，利用正方形和旋转的性质得出，进而利用勾股定理得出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：由题意可得出：， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为： 8．（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，正方形中，，把绕点逆时针旋转得到，连接则（1） ；（2） ． 【答案】 /度 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、根据正方形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，由旋转的性质可得，由此即可求解； （2）如图所示，连接，过点作于点，可证是等边三角形，，设，则，，在中，，由此列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵把绕点逆时针旋转60°得到， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，过点作于点， 根据题意可得，，，，， ∴是等边三角形，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， 在中，，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵； 故答案为：（1）；（2） ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，理解旋转的性质，数形结合分析，找出是解题的关键． 9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，，最后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形，是正方形， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 则． 在中，点H是的中点， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形边长为，为边中点，连接，点为线段延长线上一点，若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】分种情况：当时，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；当时，证明，可得，从而可解答． 【详解】解：分种情况讨论： 如图，当时， ∵是的中点，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题 11．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论； （2），延长交于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)在图1中，点是上任意一点，以为边画一个平行四边形； (2)在图2中，点为对角线上任意一点，以为边画一个菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了复杂作图以及平行四边形判定、菱形判定，正方形的性质等知识点， （1）利用正方形的性质，连接正方形的对角线交于点O，连接并延长交于点N，即可得出答案； （2）利用正方形的性质延长，交于点P，连接并延长于点Q，连接交于点F，即可得出答案； 正确应用平行四边形、菱形的判定方法是解题关键． 【详解】（1）如图所示：四边形即为所求的平行四边形； （2）如图所示：四边形即为所求的菱形． 13．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)请添加一个条件______使四边形为菱形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，_______，四边形是正方形； (3)若，四边形的面积是_______． 【答案】(1) 或 ⊥ 等均可，理由见解析； (2) ； (3)． 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法添加即可； （2）当时，四边形是正方形，设，则，然后根据勾股定理求解即可； （3）作交的延长线于H，然后根据四边形的面积与的面积相等求解即可． 【详解】（1）解：添加： 或 ⊥ ． ∵， ∴，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若添加，则根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形； 或若添加 ⊥ ，则根据对角线垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形． 故答案为： 或 ⊥ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形，． ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴． 故答案为： ； （3）解：作交的延长线于H， ∵， ∴，， ∴，四边形的面积与的面积相等， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）在正方形中，是所在直线上一动点，与相交于点与相交于点是的中点，连接，． (1)如图，当点在边上时．求证：； (2)如图，当点在的延长线上时，中的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、两直线平行内错角相等、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，所以可证，等量代换可得，所以可证； 当点在的延长线上时，根据正方形的性质和全等三角形的性质仍然可证，所以可得，所以可得仍然成立． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 又，是的中点， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 又，是的中点， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的性质．解决本题的关键是根据正方形的性质和全等三角形的性质找到边和角之间的相等关系． 15．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是正方形的边上一点，过点作交的延长线于点，连接． (1)可以由顺时针旋转得到，旋转角是_______度； (2)判断的形状，并证明； (3)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，理由见解析； (3)． 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）由正方形的性质可知，，又，可证明，从而可得，然后根据旋转性质即可求解； （）由正方形的性质可知，，又，可证明，从而可得，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定即可求解； （）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可以由绕点顺时针旋转得到， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（）得，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴由勾股定理得． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形，并证明； ②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； (2)已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由． 【答案】(1)①见解析，②，证明见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）①由得出，由得出，从而； ②作，交于H，交于R，可证得，从而得出，，可证得，从而得出四边形是平行四边形，进而推出，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）可推出当点E在上时，不能是等腰三角形；当点E在的延长线上时，作于H，当时，可推出，从而得出． 【详解】（1）解：①如图1， 四边形是正方形， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ， ， ； ②如图2， 作，交于H，交于R， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由①知，， ， ， ； （2）解：如图2， 当点E在上时， 由（1）②得，≌， ，， ，， ， ， ， ， ， 不能是等腰三角形， 如图3， 当点E在的延长线上时， 作于H， ， ，， ， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，是等腰三角形． 17．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 18．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）【问题初探】 （1）北师大版教材九年级上册第一章《特殊平行四边形——正方形》习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明给出这样的解题思路：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．通过小明的思路点拨，你认为：______（填一个数值） 【类比探究】 （2）如图2，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______；______； 【问题解决】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少？ 【答案】（1）；（2）①，；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求角度、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题； （3）过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后根据已知四边形储藏间的占地面积为，即可解决问题． 【详解】解：（1），， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， ，四边形是正方形， ，， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 故答案为：，； （3）如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，，则， ，，，，，， 是等边三角形，设其边长为 ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∵四边形储藏间的占地面积为 ∴ 解得：（负值舍去） 即， ∴菱形的周长为 答：需要篱笆 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$