课时达标检测29 直线与抛物线的位置关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(二十九)　直线与抛物线的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是(C) A.y2=x B.y2=-x C.y2=±x D.y2=±x 解析　设抛物线方程为y2=ax(a≠0)。又A(取点A在x轴上方),则有a,解得a=±,所以抛物线方程为y2=±x。 2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为(D) A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 解析　设切线方程为2x-y+m=0,联立得x2-2x-m=0。由Δ=4+4m=0,得m=-1,所以切线方程为2x-y-1=0。 3.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于(D) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称,不妨设A,B,a>0,则S△AOB==16,解得a=4,所以A(-4,4),B(4,4),所以|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以△AOB为等腰直角三角形,∠AOB=90°。 4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为60°的直线l交C于A,B两点,若|AB|=16,则p=(A) A.2 B.4 C.6 D.12 解析　抛物线C:x2=2py的焦点为F,直线l:y-x,可得x=,代入抛物线方程,得y2-7py+p2=0,则y1+y2=7p,|AB|=y1+y2+p=7p+p=16,解得p=2。 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过点(2,0)的直线与抛物线C交于A,B两点,且|AF|+|BF|=7,则△OAB的面积为(B) A.4 B.6 C.6 D.8 解析　由题可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2)。由可得y2-4my-8=0,则Δ=16m2+32>0,y1+y2=4m,y1y2=-8。由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1+x2+2=m(y1+y2)+6=4m2+6=7,解得m=±,则|AB|=,又点O到直线AB的距离d=,所以△OAB的面积为=6。故选B。 6.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是(B) A. B.- C.3 D.-3 解析　由y2=2x得焦点坐标为,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0)。由消y得k2x2-(k2+2)x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=·+(-1)=-。当直线AB的斜率不存在时,易求得A,B,所以··。综上,·的值是-。 二、多项选择题 7.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点,则(AC) A.C的准线方程为x=-4 B.F点的坐标为(0,4) C.|FN|=12 D.△ONF的面积为8(O为坐标原点) 解析　 如图,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A。由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,F点的坐标为(4,0), 则|AN|=4,|FF'|=8,在直角梯形ANFF'中,中位线|BM|==6,由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,|ON|=,S△ONF=。故选AC。 8.已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且抛物线的准线与x轴的交点为M,则以下结论正确的是(ABD) A.x1x2= B.p2 C.∠AMB=90° D. 解析　设过点F的直线方程为x=ty+,由消x得y2-2pty-p2=0,则则x1+x2=2pt2+p,x1x2=·p2,故A,B正确。因为M点坐标为,故,,·(x1+x2)++y1y2=t2p2。当t≠0时,·≠0,即∠AMB≠90°,故C错误。,故D正确。故选A,B,D。 三、填空题 9.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是 (3,2) 。  解析　设线段的端点为(x1,y1),(x2,y2),将y=x-1代入y2=4x,整理得x2-6x+1=0。由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3。所以=2。所以所求点的坐标为(3,2)。 10.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是 32 。  解析　设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,最小,为32。 11.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点。若∠AMB=90°,则k= 2 。  解析　由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1),由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=1,因为∠AMB=90°,所以·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+[k(x1-1)-1]·[k(x2-1)-1]=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)·x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)+(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解得k=2。 四、解答题 12.设直线y=2x+b与抛物线y2=4x交于A,B两点,已知弦AB的长为3,求b的值。 解　由消去y,得4x2+4(b-1)x+b2=0。由Δ>0,得b<。设A(x1,y1),B(x2,y2)。则x1+x2=1-b,x1x2=。所以|x1-x2|=。所以|AB|=·,所以1-2b=9,即b=-4。 13.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)是C上一点,且|PF|=5。 (1)求抛物线C的方程; (2)设M,A,B是C上不同的三点,且直线MA,MB的倾斜角互补,△MAB重心的纵坐标为1,求直线AB的斜率k。 解　(1)抛物线C的准线方程为x=-,由抛物线的定义,得|PF|=4-=5, 解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x。 (2)设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线MA的斜率k1=,同理,直线MB的斜率k2=,由k1+k2=0,得2y0+y1+y2=0　①。由三角形重心坐标公式,得y0+y1+y2=3　②,联立①②,得y0=-3,进而y1+y2=6,所以直线AB的斜率k=。 素养提升 14.已知抛物线的方程为x2=-2y,A,B是抛物线上分别位于y轴两侧的两个动点,且=3(其中O为坐标原点),则直线AB所过定点的坐标为 (0,-3) 。  解析　设直线AB的方程为y=tx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与y轴的交点为M(0,m)。由整理得x2+2tx+2m=0,可得x1+x2=-2t,x1x2=2m。因为·=3(其中O为坐标原点),所以x1x2+y1y2=3,又因为=-2y1,=-2y2,所以x1x2+=3,因为点A,B位于y轴的两侧,所以x1x2=-6(舍去x1x2=2),可得2m=-6,解得m=-3,所以y=tx-3,所以直线AB经过定点(0,-3)。 15.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F。 (1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程; (2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于M,N两点,试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值,并说明理由。 解　(1)设直线PQ的倾斜角为α,由题意得tan α=,α=60°,由抛物线的焦点弦公式得|PQ|=⇒p=2,所以C的方程为y2=4x。 (2) △ABO与△MNO的面积之比为,理由如下:设AB的方程为x=ty+,代入y2=2px得y2-2pty-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,x1x2=·。因为∠AOB=∠MON,所以··。 学科网（北京）股份有限公司 $$