课时达标检测17 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(十七)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(D) A. B. C.3 D.2 解析　d==2。故选D。 2.已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为(C) A.(8,0) B.(-12,0) C.(8,0)或(-12,0) D.(0,0) 解析　设P(a,0),则=6,解得a=8或a=-12,故点P的坐标为(8,0)或(-12,0)。 3.到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为(B) A.3x-4y-1=0 B.3x-4y-1=0或3x-4y-21=0 C.3x-4y+1=0 D.3x-4y-21=0 解析　设所求的直线方程为3x-4y+C=0。由题意=2,解得C=-1或C=-21。 4.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为(C) A.3x-y-13=0 B.3x-y+13=0 C.3x+y-13=0 D.3x+y+13=0 解析　由题意知直线l与AB垂直,且过A点,所以kl·kAB=-1,又因为kAB=,所以kl=-3,所以l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0。 5.两平行线分别经过A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(B) A.0<d≤3 B.0<d≤5 C.0<d<4 D.3≤d≤5 解析　当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|=5,所以0<d≤5。 6.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1,l2间的距离是(B) A. B. C.4 D.2 解析　因为l1∥l2,所以解得a=-1。所以l1的方程为x-y+6=0,l2的方程为-3x+3y-2=0,即x-y+=0,所以l1,l2间的距离是。故选B。 二、多项选择题 7.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可以为(AD) A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x-y-2=0 D.2x+y+2=0 解析　根据题意可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),因为两直线间的距离等于,所以d=,解得C=0或C=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0。 8.若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为(AB) A.3 B.-17 C.-3 D.17 解析　由题意,n≠0,-,所以n=-4,所以l2:2x-4y-6=0,即x-2y-3=0,由两平行直线间的距离公式得,解得m=7或m=-13,所以m+n=3或m+n=-17。故选AB。 三、填空题 9.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为 x=-3或7x+24y-75=0 。  解析　①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意;②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0。由原点到直线l的距离d==3,解得k=-。所以直线l的方程为7x+24y-75=0。综上,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0。 10.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m= - ,此时直线l1与l2之间的距离为  。  解析　因为直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,所以-=3,所以m=-,故直线l1:6x-2y+3=0,直线l2:6x-2y-2=0。则直线l1与l2之间的距离为。 11.已知直线l1:2x+3y=1和直线l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1,则直线l的方程为 2x+3y-8=0或6x+9y-10=0 。  解析　直线l1的方程可化为4x+6y-2=0。易知l1∥l2,且直线l与直线l1,l2平行,所以设直线l的方程为4x+6y+C=0(C≠-2且C≠-9),由题意,可得,解得C=-16或C=-。故直线l的方程为4x+6y-16=0或4x+6y-=0,即2x+3y-8=0或6x+9y-10=0。 四、解答题 12.设直线l经过点A(1,0),且与直线3x+4y-12=0平行。 (1)求直线l的方程; (2)若点B(a,1)到直线l的距离小于2,求实数a的取值范围。 解　(1)因为直线3x+4y-12=0的斜率k=-,又直线l过点A(1,0),所以直线l的方程为y-0=-(x-1),整理得3x+4y-3=0。 (2)点B(a,1)到直线l的距离d=,依题意得<2,即|3a+1|<10,解得-<a<3,即a∈。 13.已知点P(2,-1)。 (1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程; (2)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由。 解　(1)①当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;②当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0。根据题意,得=2,解得k=,所以直线方程为3x-4y-10=0。故符合题意的直线方程为x-2=0或3x-4y-10=0。 (2)不存在。理由:过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线,此时最大距离为|OP|=,而6>,故不存在这样的直线。 素养提升 14.点P(sin θ,cos θ)到直线x+y+8=0的距离的最小值为(C) A.4 B.2 C.3 D.5 解析　点P(sin θ,cos θ)到直线x+y+8=0的距离为d=。故选C。 15.已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为(B) A.2 B. C. D.2 解析　将(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ变形,得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以l是经过两直线x+y-2=0和3x+2y-5=0的交点的直线系。设两直线的交点为Q,由得交点Q(1,1),所以直线l恒过定点Q(1,1),于是点P到直线l的距离d≤|PQ|=,即点P到直线l的距离的最大值为。 16.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,求l2的方程。 解　则l2的方程为y=-x+b(b>1),则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b)。所以|AD|=,|BC|=b。梯形的高h就是A点到直线l2的距离,故h=(b>1),由梯形面积公式得·=4,所以b2=9,所以b=±3。又b>1,所以b=3。从而得到直线l2的方程是x+y-3=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$