2.5.2 圆与圆的位置关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5.2　圆与圆的位置关系 情境导入 课程标准 圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象,如奥运五环、自行车轮、咬合的齿轮、望远镜等。 上图反映了圆与圆的位置关系。本节课我们类比上一节课研究圆与圆的位置关系。 1.理解圆与圆的位置关系的种类。 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系。 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性。 自主预习明新知 1.两圆之间存在以下三种位置关系 (1)两圆相交,有两个公共点。 (2)两圆相切,包括外切与内切,只有一个公共点。 (3)两圆相离,包括外离与内含,没有公共点。 2.两圆之间位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆心连线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 d> r1+r2 d= r1+r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d=|r1 -r2| 0≤d< |r1-r2| (2)代数法:设两圆的一般方程分别为 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0); C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0)。 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 微思考 1.当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定外离? 提示:当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆可能外离也可能内含。 2.在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下,两圆的公切线条数分别为多少? 提示:当两圆外离时有四条公切线,当两圆外切时有三条公切线,当两圆相交时有两条公切线,当两圆内切时只有一条公切线,当两圆内含时无公切线。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两圆位置关系的判定 　　【例1】　已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0)。试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含。 解　圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1。所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1。所以|C1C2|==a。 (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切。 (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交。 (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离。 (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含。 　　(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤: ①化成圆的标准方程,写出圆心和半径; ②计算两圆圆心的距离d; ③通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围,必要时可借助于图形,数形结合。 (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求待定参数的取值范围是非常简单清晰的,注意理清圆心距与两圆半径的关系。 　　【变式训练】　(1)设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是(B) A.相交 B.外离 C.外切 D.内含 解析　解法一:画出两圆,如图所示,由图可直观得出两圆外离。 解法二:根据题意,可知圆C1的半径r1=1,圆C2的半径r2=1,且圆C1与圆C2的圆心距d=>1+1,即d>r1+r2,故两圆外离。 (2)两圆(x-2)2+(y-1)2=4与(x+1)2+(y-2)2=9的公切线有(B) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析　两圆的圆心距为。两个圆的半径之和为5,半径之差为1。因为1<<5,所以两个圆相交,公切线有2条。 类型二　两圆相切问题 　　【例2】　(1)已知以C(3,4)为圆心的圆与圆x2+y2=1外切,则圆C的方程为 (x-3)2+(y-4)2=16 。  解析　设圆C的半径为r,则圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=r2。由题意得两圆圆心距d==5,因为两圆外切,所以圆心距为两圆半径之和,即5=r+1,解得r=4。故圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=16。 (2)已知圆O1:x2+y2-8y+48=0,圆O2过点A(0,-4),若圆O2与圆O1相切于点B(2,2),求圆O2的方程。 解　圆O1的方程变为(x-4)2+(y-4)2=16,所以圆心O1(4,4),因为圆O2与圆O1相切于点B(2,2),所以圆O2的圆心在直线y=x上,不妨设为(a,a),因为圆O2过点A(0,-4),所以圆O2与圆O1外切,因为圆O2过B(2,2),所以a2+(a+4)2=2(a-2)2,所以a=0,所以圆O2的方程为x2+y2=16。 　　解决两圆相切问题的两个步骤 (1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论。 (2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)。 　　【变式训练】　圆C1:x2+y2-4x+3=0与圆C2:(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线,则实数a的值是(C) A.4 B.6 C.16 D.36 解析　圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1,因为两圆有三条公切线,所以两圆外切,因为,解得a=16。 类型三　两圆相交问题 　　【例3】　已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0,判断两圆的位置关系。 解　将两圆方程配方化为标准方程,得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5。圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=。又因为|C1C2|=2,r1+r2=5,r1-r2=5,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交。 　　处理两圆相交的有关问题的方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数。 (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解。 　　【变式训练】　求圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线l被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=截得的弦长。 解　由题意将两圆的方程相减,可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0。又圆C3的圆心坐标为(1,1),其到直线l的距离为d=,所以所求弦长为2。 圆系方程问题 常见的圆系方程的几种类型 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中的a,b是定值,r是参数。 (2)半径相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中的r是定值,a,b是参数。 (3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0。 (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解)。 当λ=-1时,圆系方程表示直线l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0(当两圆是同心圆时,此直线不存在): ①若两圆相交,则l为两圆公共弦所在直线; ②若两圆相切,则l为公切线; ③若两圆相离,则l为与两圆圆心连线垂直的直线。 【典例】　圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为() A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0 C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0 【解析】　根据题意,设过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0,其圆心坐标为,又由圆心在直线x-y-4=0上,则有-4=0,解得λ=-7。则所求圆的方程为-6x2-6y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0。又圆x2+y2+6y-28=0的圆心为(0,-3),不在直线x-y-4=0上。所以所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0。 【答案】　A 【变式训练】　已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0。 (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值; (2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程。 解　(1)由圆C1:x2+y2=4,知圆心坐标C1(0,0),半径为r1=2,又由圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),可得x2+y2-2x-4y+5-r2=0,两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x+4y-9+r2=0。因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4,此时公共弦过圆心C1(0,0),即r2=9(r>0),解得r=3。 (2)设过圆C1与圆C2的交点的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0,所以,由圆心到直线x+2y=0的距离等于圆的半径,可得,解得λ=1,故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0。 当堂检测提素养 1.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-3)2+(y+4)2=9,则圆C1与圆C2的位置关系是(B) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 解析　|C1C2|=5=r1+r2,选B。 2.(多选)圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标有(CD) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) 解析　联立方程组所以两圆交于点(-1,0)和(0,-1)。 3.已知两圆C1:x2+y2-4x+2y-1=0与C2:x2+y2+4x-4y-17=0,则它们的公共弦所在直线的方程为 4x-3y-8=0 。  解析　由题意,C1:x2+y2-4x+2y-1=0与C2:x2+y2+4x-4y-17=0相交,所以两圆的方程作差得8x-6y-16=0,即公共弦所在直线的方程为4x-3y-8=0。 4.已知圆系方程(x-m)2+(y-2m)2=5(m∈R,m为参数),这些圆的公切线方程为 2x-y±5=0 。  解析　由题意知圆心的轨迹方程为y=2x,则这些圆的公切线与直线y=2x平行,设圆的公切线方程为2x-y+c=0,则,所以c=±5,所以这些圆的公切线方程为2x-y±5=0。 5.求圆心在直线x-y-4=0上,且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程。 解　解法一:由所以圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1),B(3,3),线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1)。由所以所求圆的圆心坐标为(3,-1),半径长为=4,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16。 解法二:设所求圆的方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),化简可得x2+y2-y-6=0,其圆心坐标为在直线x-y-4=0上,所以-4=0,解得λ=-,所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$