课时达标检测4 空间直角坐标系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(四)　空间直角坐标系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(A) A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定 解析　由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(-1,1,-1)。 2.点A(-2,3,-4)关于坐标平面Ozx的对称点A'的坐标为(A) A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 解析　点A的横、竖坐标不变,纵坐标变为原来的相反数即得A'的坐标为(-2,-3,-4)。 3.如图,在长方体OABC⁃O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,P是B1C1的中点,则点P的坐标为(C) A.(3,5,4) B. C. D. 解析　由图知,点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1,C,O1,它们在x,y,z轴上的坐标分别是,5,4,故点P的坐标是。 4.点P(a,b,c)到坐标平面Oxy的距离是(D) A. B.|a| C.|b| D.|c| 解析　点P在Oxy平面的射影的坐标是P'(a,b,0),所以|PP'|=|c|。 5.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面Oxy的垂线PQ,则点Q的坐标为(D) A.(0,,0) B.(0,,) C.(1,0,) D.(1,,0) 解析　由于点Q在Oxy平面内,故其竖坐标为0,又PQ⊥平面Oxy,故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同,从而点Q的坐标为(1,,0)。 6.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,则=(C) A. B. C. D. 解析　=k-j=。 二、多项选择题 7.下列命题中正确的是(BCD) A.在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c) B.在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c) C.在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c) D.在空间直角坐标系中,在Ozx平面上的点的坐标是(a,0,c) 解析　空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标是(a,0,0),故A错误,B,C,D正确。 8.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(ACD) A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 解析　根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),选项A正确;B的坐标为(4,5,0),C1的坐标为(0,5,3),故点C1关于点B对称的点为(8,5,-3),选项B错误;在长方体中AD1=BC1==5=AB,所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),选项C正确;点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),选项D正确。 三、填空题 9.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中建立空间直角坐标系。已知AB=AD=2,BB1=1,则的坐标为 (0,2,1) ,的坐标为 (2,2,1) 。  解析　因为A(0,0,0),D1(0,2,1),C1(2,2,1),所以=(0,2,1),=(2,2,1)。 10.点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 (2,0,0) , (0,3,0) , (0,0,4) 。  解析　P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0),在y轴上的射影为(0,3,0),在z轴上的射影为(0,0,4)。 11. 如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为  ,的坐标为  。  解析　由题意可知,BG=,所以AG=,所以,。 四、解答题 12. 如图所示,V⁃ABCD是正四棱锥,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点。已知|AB|=2,|VO|=3,建立如图所示空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标。 解　因为底面是边长为2的正方形,所以|CE|=|CF|=1。因为O点是原点,所以C(1,1,0),同样的方法可以确定B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0)。因为V在z轴上,所以V(0,0,3)。 13.已知,在棱长为2的正四面体A⁃BCD中,以△BCD的中心O为原点,OA为z轴,OC为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,求的坐标。 解　易知△BCD的中线长为,则OC=。所以OA=。设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,x轴与BC的交点为E,则OE=,所以()=()=()=i-j+k,所以。 素养提升 14.已知长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,向量a在基底{,,}下的坐标为(2,1,-3),则向量a在基底{,,}下的坐标为(B) A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9) 解析　因为a=2,所以向量a在基底{,,}下的坐标为(-1,2,-3)。 15.若p=xa+yb+zc,则称(x,y,z)为p在基底{a,b,c}下的坐标。若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(B) A. B. C. D. 解析　设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为。 16.若四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 (5,13,-3) 。  解析　由四边形ABCD是平行四边形知,设D(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3),=(1,12,-6),所以即顶点D的坐标为(5,13,-3)。 学科网（北京）股份有限公司 $$