1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 情境导入 课程标准 　　我们已经把向量由平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题。我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键。 我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面。 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 自主预习明新知 1.空间中点的向量表示 如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的位置向量。 2.空间中直线的向量表示 如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta①,将=a代入①式得②。①式和②式都称为空间直线的向量表示式。 3.空间中平面的向量表示 如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使。我们把该式称为空间平面ABC的向量表示式。 4.平面的法向量 如图,直线l⊥α。取直线l的方向向量a,则称向量a为平面α的法向量。给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}。 微思考 1.如何确定直线的方向向量? 提示:在直线上任取两点A,B,则向量为直线的一个方向向量。有时根据实际情况A,B可以取在某些特殊位置上。 2.如何确定一个平面的法向量? 提示:(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z)。 (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,。 (3)列方程组:由列出方程组。 (4)解方程组: (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1)。 (6)得结论:得到平面的一个法向量。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间中点的向量表示 　　【例1】　已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: ①AP∶PB=1∶2; ②AQ∶QB=2∶1。 求点P和点Q的坐标。 解　(1)由已知,得,即=2(),。设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3)=。因此P点的坐标是。 (2)因为AQ∶QB=2∶1,所以,=-2(),。设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),因此Q点的坐标是(0,2,6)。 　　求空间中点的坐标,一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标,根据向量式列出方程组,把向量运算转化为代数运算,解方程组可得点的坐标。 　　【变式训练】　已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且,则点C的坐标为(C) A. B. C. D. 解析　设C(x,y,z),因为C为线段AB上一点且,所以,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),所以所以x=,y=-1,z=。因此点C的坐标为。故选C。 类型二　求直线的方向向量 　　【例2】　(1)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于(A) A.0 B.1 C. D.3 解析　因为A(0,y,3)和B(-1,2,z),所以=(-1,2-y,z-3),因为直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),故设=km,所以所以y-z=0。 (2) 在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD⁃A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为 (0,0,1) ,直线BC1的一个方向向量为 (0,1,1)(答案不唯一) 。  解析　因为DD1∥AA1,=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)。 　　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量。 (2)直线的方向向量不唯一。 　　【变式训练】　(1)(多选)若M(1,0,-1),N(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(AB) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 解析　因为M,N在直线l上,所以=(1,1,3),故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线l的一个方向向量。 (2)在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E在PC上,且CE=3EP,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线AE的一个方向向量。 解　 如图所示,()=()=a+b+c,故直线AE的一个方向向量是a+b+c。 类型三　求平面的法向量 　　【例3】　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面DEF的一个法向量。 解　 连接PF,CF。因为PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB,又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABCD。连接AC,因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以CF⊥AB。以F为原点,建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示)。由题意得F(0,0,0),P,D,C,E,。设平面DEF的法向量 为m=(x,y,z),则令y=2,则x=,z=-2。所以平面DEF的一个法向量为m=(,2,-2)。 　　求平面的法向量的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量。 (2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为一特殊值得另两个值,就是平面的一个法向量。 (3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0。 　　【变式训练】　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的一个法向量。 证明　设正方体的棱长为1,以D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则=(1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1)。于是有·=0,所以,即DB1⊥AC。同理,DB1⊥AD1,又AC∩AD1=A,AC,AD1⊂平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的一个法向量。 当堂检测提素养 1.(多选)若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量可为(AD) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D. 解析　因为=(2,4,6),所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量。 2.(多选)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量可为(CD) A.(-1,1,-1) B. C.(1,1,1) D. 解析　由=(-1,1,0),=(-1,0,1),结合选项,验证知应选CD。 3.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是 x+2y-3z=0 。  解析　由题意得e⊥,则·e=(x,y,z)·(1,2,-3)=0,故x+2y-3z=0。 4.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1)。若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为 -1 , 2 。  解析　c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1)。由c为平面α的法向量,得 5. 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量。 解　因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直。如图,以A为原点, AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D(0,,0),E,B(1,0,0),C(1,,0),于是,=(1,,0)。设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则令y=-1,则x=z=。所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,)。 学科网（北京）股份有限公司 $$