1.3.1 空间直角坐标系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 情境导入 课程标准 　　我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……。” 几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算。 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置。 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 自主预习明新知 1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}。以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴。这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量。 (2)通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分。 2.空间直角坐标系的画法 (1)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°。 (2)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。 3.空间向量的坐标 (1)点的坐标:在单位正交基底{i,j,k}下与向量=xi+yj+zk对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标。 (2)向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a。由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk。有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z)。 微思考 1.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系?为什么? 提示:是。在给定的空间直角坐标系下,给定空间一点其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间直角坐标系中也有唯一的点与之对应。 2.在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则向量在基底{i,j,k}下的坐标是什么? 提示:=3i+2j+5k,所以向量在基底{i,j,k}下的坐标是(3,2,5)。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间中点的坐标表示 　　【例1】　如图所示,在四棱锥D⁃OABC中,建立空间直角坐标系Oxyz,若OD=2,OA=4,OC=6,M是BD的中点,求点M的坐标。 解　解法一:点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1,M2,M3,它们在坐标轴上的坐标分别为2,3,1,所以点M的坐标是(2,3,1)。 解法二:设{i,j,k}为此空间直角坐标系的一个单位正交基底,则()=[-()]=×4i+×6j+×2k=2i+3j+k=(2,3,1)。 　　建系确定点坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性。 (2)求某点的坐标时,一般先找这一点在坐标轴上的射影,确定一条坐标轴上点的坐标,再找出它在另两个坐标轴上的射影,确定点的坐标。 　　【变式训练】　如图,棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标。 解　 如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Dxyz,E点在Dxy平面中,且|EA|==i+j+0k,所以E点的坐标为。同理B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1),因为F是BB1的中点,故F点坐标为。同理可得G点坐标为。 类型二　求向量的坐标 　　【例2】　在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,并写出,,的坐标。 解　 分别取BC,B1C1的中点D,D1,连接DD1,DA,由题意得DC,DA,DD1两两垂直,所以以D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示。设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,因为AD=,DC=,所以=2k,i-j+2k,i-j+2k,所以=(0,0,2),,。 　　求向量坐标时需注意的问题 建系时要充分利用图形的线面垂直关系,选择合适的基底,在写向量的坐标时,考虑图形的性质,充分利用向量的线性运算,将向量用基底{i,j,k}表示,表示后再写出向量的坐标。 　　【变式训练】　如图所示,在三棱锥O⁃ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,E,F分别为AC,BC的中点,建立以,,方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,求EF中点P的坐标。 解　令x,y,z轴方向上的单位向量分别为i,j,k,因为()+()+()=i+×2j+×3k=i+j+k=,所以点P的坐标为。 类型三　空间中点的对称问题 　　【例3】　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4)。 (1)求点P关于x轴的对称点的坐标; (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标。 解　(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4)。 (2)由于点P关于Oxy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4)。 (3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12)。 　　空间中点关于坐标轴、坐标平面的对称点的求法 “关于谁对称谁不变,其余的相反”。如:关于x轴对称的点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于坐标平面Oxy对称的点,横、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数。 　　【变式训练】　保持例3中的点P不变, (1)求点P关于y轴的对称点的坐标; (2)求点P关于Oyz平面的对称点的坐标; (3)求点P关于点N(-5,4,3)的对称点的坐标。 解　(1)由于点P关于y轴对称后,它在y轴的分量不变,在x轴、z轴的分量变为原来的相反数,故对称点的坐标为P1(2,1,-4)。 (2)由于点P关于Oyz平面对称后,它在y轴、z轴的分量不变,在x轴的分量变为原来的相反数,故对称点的坐标为P2(2,1,4)。 (3)设所求对称点为P3(x,y,z),则点N为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得-5=,4=,3=,即x=2×(-5)-(-2)=-8,y=2×4-1=7,z=2×3-4=2,故P3(-8,7,2)。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到Oyz平面的距离是(A) A.1 B.2 C.3 D. 解析　点P到Oyz平面的距离就是点P的横坐标的绝对值。 2. 已知点A(3,2,-3),则点A关于y轴的对称点的坐标是(C) A.(-3,-2,3) B.(-3,2,-3) C.(-3,2,3) D.(-3,-2,-3) 解析　关于y轴的对称点的纵坐标不变,横坐标与竖坐标是原来的相反数。 3.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是(D) A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量的坐标相同 解析　由坐标相同。 4.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为 (2,-4,5),(1,2,-3) 。  5.在直三棱柱ABO⁃A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求,的坐标。 解　设与,,同向的单位方向向量分别为i,j,k。因为=-()=-=-2i-j-4k,所以=(-2,-1,-4)。因为-()==-4i+2j-4k,所以=(-4,2,-4)。 学科网（北京）股份有限公司 $$