6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第六章 计数原理 第2课时　两个计数原理的综合应用 6.1　分类加法计数原理与分 步乘法计数原理 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第2课时　两个计数原理的综合应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　随着人们生活水平的提高,车辆拥有量迅速增长,汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求,再加上许多车主还希望车牌号“个性化”,因此,汽车号码需要进行扩容,这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数,号码的个数是如何进行计算的呢?要解决这个问题,就要综合运用两个计数原理进行运算。 能够结合具体实例,识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用,并能够运用这些原理解决简单的实际问题。 1.利用分类加法计数原理解题的思路方法及注意事项 在用分类加法计数原理解题时,首先要明确问题中要完成的“一件事”指的是什么,同时要确定一个恰当的分类标准进行分类;其次,在分类时要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且属于不同类的两种方法是不同的方法,即分类时要遵循“不重不漏,一步完成”的原则。有时各个类别的方法用列举法逐一列出更加清楚,列举时可一一列举,也可列表列举或画树状图列举,一一列举时要注意按一定的顺序才能不重不漏。 2.利用分步乘法计数原理解题的思路方法及注意事项 (1)运用分步乘法计数原理解题时,首先应根据题意确定一个合理的分步标准,然后分别计算每一步的方法数,最后利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数。 (2)在分步中,每步之间必须连续,只有每个步骤都完成了,这件事才算完成,且每步之间既不能重复也不能遗漏。 3.综合应用两个计数原理解题的思路方法 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要先设计好分类标准,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰,也可以根据题意恰当合理地画出示意图或列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题。 微思考 1.分类“不重不漏”的含义是什么? 2.含有特殊元素的计数问题一般采用什么方法解决? 提示:不重复不遗漏。 提示:直接法:特殊元素优先,一般元素在后,含特殊元素的计数问题要优先考虑特殊元素;间接法:先不考虑特殊元素进行计数,再减去不符合条件的特殊情形。 类型一 组数问题 【例1】　用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解　(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125个。 (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100个。 (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法。因而有12+18=30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数。 对于组数问题,应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解。 (2)要注意数字“0”不能排在数的最高位。 【变式训练】　在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数为_________。  解析　能被5整除的四位数的末位是0或5,因此分两类:第一类,末位为0时,其他三位从剩下的数中任意排3个即可,有5×4×3=60(个);第二类,末位为5时,首位不能排0,则首位只能从1,2,3,4选1个,第二位和第三位从剩下的数中任选2个即可,有4×4×3=48(个)。根据分类加法计数原理得可以组成60+48=108个不同的能被5整除的四位数。 108 类型二 抽取与分配问题 　　　　　　　　　　 　　【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有 ( ) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 解析　先计算三个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即4×4×4-3×3×3=37(种)方案。故选C。 C 解决选(抽)取与分配问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法。 (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理;②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。 【变式训练】　3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法? 解　(以小球为研究对象)分三步来完成: 第1步:放第一个小球有5种选择; 第2步:放第二个小球有4种选择; 第3步:放第三个小球有3种选择。 根据分步乘法计数原理,共有方法种数为N=5×4×3=60。 类型三 涂色问题 【例3】　(1)如图所示,有A,B,C,D四个区域,用红、黄、蓝三种颜色涂色,要求任意两个相邻区域的颜色各不相同,共有________种不同的涂法。  18 解析　①若A,C涂色相同,则按照分步乘法计数原理,A,B,C,D可涂颜色的种数依次是3,2,1,2,则有3×2×1×2=12(种)不同的涂法。②若A,C涂色不相同,则按照分步乘法计数原理,A,B,C,D可涂颜色的种数依次是3,1,2,1,则有3×1×2×1=6(种)不同的涂法。所以根据分类加法计数原理,共有12+6=18(种)不同的涂法。 (2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里,每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,则不同的种植方法共有________种。(用数字作答)  解析　从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法,共有3×2×2×2×2=48种方法,其中5块试验田只种植2种作物的种植方法共有3×2×1×1×1=6种,所以不同的种植方法有48-6=42种。 42 涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算。 (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理计算。 (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题。 (4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准。 【变式训练】　(1)给下图中A,B,C,D四个区域涂色,要求相邻区域涂不同色,现有五种不同颜色可供选用,则不同的涂色方法有_________种。  解析　由题意知,本题是一个分步乘法计数问题,首先涂区域A,有5种结果,再涂区域B,有4种结果,然后涂区域C,有4种结果,再涂区域D有4种,即5×4×4×4=320(种)。 320 (2)在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共多少种? 解　当A种在B左边时(括号内为田垄的序号), (1)间隔6垄时,(1,8),(2,9),(3,10); (2)间隔7垄时,(1,9),(2,10): (3)间隔8垄时,(1,10)。 上述共有6种选垄方法, 当B种在A左边时,同理也有6种选垄方法, 综上所述,总的选垄方法数为6+6=12(种)。 正难则反——间接法的应用 【典例1】　有1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张,则由这5张人民币可组成　　　　种不同的币值。  【解析】　对于每一张人民币来说,都有两种选择,用或不用,而都不用则形不成币值,由分步乘法计算原理,可得可组成的不同币值有N=2×2×2×2×2-1=25-1=31(种)。 【答案】　31 【典例2】　如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有6个焊接点A,B,C,D,E,F ,如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通,现在电路不通了,那么焊接点脱落的不同情况共有 ( ) A.6种 B.36种 C.63种 D.64种 【解析】　每个焊接点都有正常与脱落两种情况,共有26种情况,但其中有一种情况是各焊接点都正常的情况,所以共有26-1=63种电路不通的情况。 C 以上两个例题若采用直接法需要多次讨论,难度较高,采用“正难则反”的原理运用间接法则轻易求解。 【变式训练】　从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有多少种? 解　若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2=6种不同的种植方法。同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2=6种不同的种植方法。故不同的种植方法共有6×3=18种。 1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为 ( ) A.30 B.20 C.10 D.6 解析　从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种取法;②取出的两数都是奇数,共有3种取法。故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6(种)取法。故选D。 D 2.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左数第2个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这10个数字中选择(数字可以重复)。若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他可选的车牌号码的所有可能情况有 ( ) A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 解析　按照车主的要求,从左到右第1个号码有5种选法,第2个号码有3种选法,其余3个号码各有4种选法。因此共有5×3×4×4×4=960(种)情况。故选D。 D 3.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种植方法种数是 ( ) A.420 B.180 C.64 D.25 解析　先排B,C,D,两两不同,有5×4×3=60种,再排A,只要与B,C不同即可,有3种,故共180种。 B 4.现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100 m接力赛跑,第一棒只能从甲、乙两个人中安排一人,第四棒只能从甲、丙两个人中安排一人,则不同的安排方法共有______种。  解析　若甲跑第一棒,则丙跑第四棒,此时不同的安排方法有4×3=12(种);若乙跑第一棒,则不同的安排方法有2×4×3=24(种)。故不同的安排方法共有24+12=36(种)。 36 5.从1到200这200个自然数中,各个数位上都不含数字8的共有多少个? 解　应分三类来解决该问题。 第一类,一位数中符合要求的数有8个。 第二类,两位数中,十位上的数字有8种选法,个位上的数字有9种选法,故两位数中符合要求的数有8×9=72个。 第三类,三位数中百位上的数字为1,十位和个位上的数字都有9种选法,故三位数中,百位上的数字为1的符合要求的数有9×9=81个;三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求。所以三位数中符合要求的数有81+1=82个。 由分类加法计数原理,符合要求的数共有8+72+82=162个。 $$