6.1 第1课时 两个计数原理(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第六章 计数原理 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第1课时　两个计数原理 6.1　分类加法计数原理与分 步乘法计数原理 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.1　第1课时　两个计数原理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 ▶导语:分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础。通过本章的学习,要能够结合具体实例,识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用,并能够运用这些原理来解决简单的实际问题。利用两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式。通过本章的学习,会运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题,并能够运用它们解决简单的实际问题,特别是概率中的某些问题。 要点精准概括 3个重要原理(定理):分类加法计数原理、分步乘法计数原理、二项式定理 6个重要概念:排列、排列数、组合、组合数、二项式系数、项的系数 3个重要公式:排列数公式、组合数公式、二项展开式的通项公式 5种重要关系:分类与分步、排列与组合、排列与排列数、组合与组合数、二项式系数与项的系数 2个重要性质:组合数的性质、二项式系数的性质 7种重要方法:列举法、树状图法、整体法、插空法、捆绑法、排除法、赋值法 3个关键能力:逻辑推理能力、运算求解能力、数学建模能力 　　某人要从济南前往北京参加会议,他有两类快捷途径可供选择:一是乘飞机,二是乘高铁。假如当天飞机有3个航班可乘,高铁有4个班次可乘。那么他从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢? 要解决这个问题,就要运用有关排列、组合的知识。在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这节课,我们来学习这两个原理。 通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=__________种不同的方法。这一原理被称为分类加法计数原理。 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=__________种不同的方法。这一原理被称为分步乘法计数原理。 m+n m×n 3.两个原理的推广 (1)分类加法计数原理的推广。 完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_____________________种不同的方法。 (2)分步乘法计数原理的推广。 完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__________________种不同的方法。 m1+m2+…+mn m1·m2·…·mn 4.两个计数原理的区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类方法都能独立完成这件事。它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就能完成 任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既不能重复,也不能遗漏 微思考 1.从书架上取一本数学书或一本语文书是分类问题还是分步问题? 2.从甲地经丙地到乙地是分类问题还是分步问题? 提示:分类问题。分为取数学书和语文书两类。 提示:分步问题。分甲地到丙地,丙地到乙地两个步骤。 类型一 分类加法计数原理 　　【例1】　某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目。 (1)当这些频道播放的节目互不相同时,一台电视机共可以选看多少个不同的节目? (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛,其余频道正在播放互不相同的节目,那么一台电视机共可以选看多少个不同的节目? 解　(1)当所有频道播放的节目互不相同时,一台电视机选看的节目可分为3类: 第一类,选看中央台频道的节目,有12个不同的节目; 第二类,选看本地台频道的节目,有10个不同的节目; 第三类,选看其他省市频道的节目,有46个不同的节目。 根据分类加法计数原理,一台电视机共可以选看12+10+46=68个不同的节目。 (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛,所以这3个频道转播的节目只有1个,而其余频道共有(12+10+46-3)个正在播放的互不相同的节目,所以一台电视机共可以选看1+(12+10+46-3)=66个不同的节目。 分类加法计数原理解题的一般思路 　【变式训练】　(1)设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有 ( ) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 解析　因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n。当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个)。 A (2)如图,电路中共有3个电阻与1个灯泡,若灯泡不亮,则因电阻断路的情况共有_____种。  解析　每个电阻都有断路与通路两种状态,灯泡不亮可以分3种情况讨论:①1个电阻断路,此时只有1种情况;②2个电阻断路,此时有3种情况;③3个电阻断路,此时只有1种情况。根据分类加法计数原理,可知灯泡因电阻断路不亮的情况共有1+3+1=5(种)。 5 类型二 分步乘法计数原理 　　【例2】　(1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,则不同的报名方法种数为 ( ) A.43 B.34 C.7 D.12 解析　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=34(种)报名方法。 B (2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”,则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有_________个。  解析　第一步,确定千位,除去0和6,有8种不同的选法;第二步,确定百位,除去6和千位上的数字外,有8种不同的选法;第三步,确定十位,除去6和千位、百位上的数字外,有7种不同的选法。故共有8×8×7=448(个)无复重数字的“吉祥数”。 448 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可。 (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路:①分步:将完成这件事的过程分成若干步;②计数:求出每一步中的方法数;③结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果。 【变式训练】　(1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( ) A.56 B.65 C.30 D.11 解析　第一名同学有5种选择方法,第二名也有5种选择方法,…,依次,第六名同学也有5种选择方法,综上,6名同学共有56种不同的选法。故选A。 A (2)现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果选1条长裤与1件上衣配成一套,那么不同的配法种数为______。  解析　要完成配套需分两步:第1步,选上衣,有4种不同选法;第2步,选长裤,有3种不同选法。故不同的配法种数为4×3=12。 12 类型三 两个计数原理的综合应用 　　【例3】　现有高一年级四个班的学生共34人,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外学习小组,若推选两人做小组组长,这两人需来自不同的班级,则有多少种不同的选法? 解　可分为6类,每类又分为两步。 从(1)班、(2)班学生中各选1人,有7×8种不同的选法; 从(1)班、(3)班学生中各选1人,有7×9种不同的选法; 从(1)班、(4)班学生中各选1人,有7×10种不同的选法; 从(2)班、(3)班学生中各选1人,有8×9种不同的选法; 从(2)班、(4)班学生中各选1人,有8×10种不同的选法; 从(3)班、(4)班学生中各选1人,有9×10种不同的选法。 所以共有不同的选法7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431种。 使用两个计数原理的原则 使用两个计数原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手,“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理。 【变式训练】　(1)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。如22,121,3 443,94 249等。显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个101,111,121,…,191,202,…,999。则5位回文数有________个。  解析　第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法,故5位回文数有 9×10×10=900个。 900 (2)如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有_____个。  解析　满足条件的三角形有两类。第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个)。 40 1.某学生去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方式共有 ( ) A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 解析　分3类:买1本书,买2本书和买3本书。各类的购买方式依次有3种、3种和1种,故购买方式共有3+3+1=7(种)。 C 2.设M,N是两个非空集合,定义M􀱋N={(a,b)|a∈M,b∈N},若P={0,1,2},Q={1,2},则P􀱋Q中元素的个数是 ( ) A.4 B.9 C.6 D.3 解析　因为P={0,1,2},Q={1,2},所以a有3种选法,b有2种选法,根据分步乘法计数原理,可得P􀱋Q中元素的个数为3×2=6。故选C。 C 3.用1,2,3这三个数字能写出______个没有重复数字的两位偶数。  解析　能组成12,32两个没有重复数字的两位偶数。 2 4.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员。现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有_______种。(用数字作答)  解析　分为两类:第一类是2名老队员、1名新队员,有3种选法;第二类是2名新队员、1名老队员,有2×3=6(种)选法,即共有9种不同的选法。 9 5.(1)5名学生从4项体育项目中选择参赛,若每一名学生只能参加一项,则有多少种不同的参赛方法? (2)若5名学生争夺4项比赛的冠军(每一名学生参赛项目不限),则冠军获得者有几种不同情况(没有并列冠军)? 解　(1)每名学生都可从4项体育项目中任选1项,有4种选法,故5名学生不同的参赛方法有4×4×4×4×4=1 024(种)。 (2)每个冠军皆有可能被5名学生中任1名获得,则冠军获得者的不同情况有5×5×5×5=625(种)。 $$