微专题01 实数的混合运算通关专练-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

微专题01 实数混合运算通关专练 1．计算：． 2．（1） （2） 3．计算（1） （2） 4．计算：． 5．求下列各式中的值： (1) (2) 6．计算： (1)； (2)． 7．计算：． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算题． (1)； (2)． 11．已知+2的小数部分为a，8﹣的小数部分为b，求a+b的平方根． 12．计算： (1) (2) 13．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)则的值为________； (2)若，求的值． 14．对任意有理数，定义一种运算“”：． (1)计算的结果为______； (2)计算的值； (3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 15．计算：． 16．计算： 17．第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．注： (1)八进制数换算成十进制数是___________； (2)张同学设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 18．阅读理解题： 形如的数（均为实数，）叫做复数．其中的叫做它的实部，叫做它的虚部，叫做虚数单位，并规定：①的平方等于，即；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如： ， ． 请类比完成以下任务： (1)填空：___________，____________； (2)计算：； (3)计算：． 19．计算：． 20．计算：． 21．计算： 22．计算：． 23．计算：． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1)． (2) (3) 26．计算：． 27．计算： (1) (2) 28．计算： (1) (2) 29．阅读材料，对于任何数，我们规定符号 的意义是： =ad﹣bc，例如： =1×4﹣2×3=﹣2． （1）按照这个规定，请你计算 的值． （2）按照这个规定，当 =5时，求x的值． 30．计算 (1)； (2)． 31．计算： (1) (2) 32．计算：． 33．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且）在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：，例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解．所以 (1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，那么对任意一个完全平方数，__________． (2)如果一个两位正整数，（，且，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值． 34．若，，且a>b，求的值． 35．定义：若，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数，与是关于-3的伴随数． (1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与是关于2的伴随数． (2)若a与是关于3的伴随数，与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求 的值. (3)现有与(k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值． 36．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)请求出的值； (2)若，求的值． 37．计算或求x值 (1). (2). 38．计算： (1)． (2)． (3)． 39．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中、为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 40．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的x为81时．输出的y值是_________； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值； (3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值． 41．定义新运算：，如． (1)求：的值． (2)计算： ． 42．若定义一种新运算“”：,如． (1)求的值； (2)求的值． 43．计算：． 44．计算： 45．（1）计算： （2）求下列式中的值： ①     ② 46．已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值． 47．若一个三位数m＝（其中x，y，z不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差数M（537）＝753﹣357＝396 （1）若一个三位数t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），求证：M（t）能被99整除． （2）若一个三位数m，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m被4除余1，求所有符合条件的M（m）的最小值． 48．在已有运算的基础上定义一种新运算：，的运算级别高于加减乘除运算，即的运算顺序要优先于运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算： ； （2）若，则 ； （3）在数轴上，数的位置如下图所示，试化简：；    （4）如图所示，在数轴上，点分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点向正方向运动，点向负方向运动，秒后点分别运动到表示数和的点所在的位置，当时，求的值．    49．观察下列等式： ，，…… （1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______． （2）直接写出下面算式的结果：____________； 以下两小题，需写出解答过程： （3）计算： （4）探究并计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 实数混合运算通关专练 1．计算：． 【答案】0 【知识点】二次根式的乘法、实数的混合运算 【分析】先算乘方，再算乘法和减法，即可． 【详解】 【点睛】本题考查实数的混合运算，关键是掌握． 2．（1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】（1）先求算术平方根，再计算乘法，后加减即可得到答案； （2）先求立方根，算术平方根，再计算加减即可得到答案． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是实数的加减运算，考查了求一个数的算术平方根，立方根，掌握以上知识是解题的关键． 3．计算（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算 【分析】（1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果． （2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）， ， ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，要从高级到低级，即先乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 4．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值、实数的混合运算 【分析】依次求出的乘方，36的算术平方根，8的立方根和去绝对值，再根据实数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确求出36的算术平方根，8的立方根，是解答本题的关键． 5．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：原方程整理得： ， 则； （2）解：原方程整理得： ， 则． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，算术平方根的定义计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．计算：． 【答案】． 【知识点】求一个数的算术平方根、化简绝对值、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】根据绝对值的性质、立方根及算术平方根的性质进行化简，再按照从左到右的顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值的性质、立方根及算术平方根的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)1 【知识点】实数的混合运算 【详解】（1）原式＝2＋2＋4＝8． （2）． （3）． （4）原式＝1＋2－3＋1＝1． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 10．计算题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)﹣3 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简、实数的混合运算 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案． 【详解】（1）原式＝0.5﹣2 ； （2）原式＝﹣4+23﹣（1） ＝﹣4+2﹣21 ＝﹣3． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各项是解题的关键． 11．已知+2的小数部分为a，8﹣的小数部分为b，求a+b的平方根． 【答案】a+b的平方根为±1； 【知识点】无理数的大小估算、不等式的性质、求一个数的平方根、实数的混合运算 【分析】根据可得，，由不等式的性质求得a、b的值，再计算求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴a+b＝1， ∴a+b的平方根为±1； 【点睛】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，平方根的计算；掌握无理数的估算方法是解题关键． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)2． 【知识点】实数的混合运算 【分析】（1）直接利用立方根、平方根性质化简以及有理数加减运算法则计算即可； （2）直接利用算术平方根性质以及绝对值的性质分别化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 13．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)则的值为________； (2)若，求的值． 【答案】(1)－32 (2)a=3 【知识点】新定义下的实数运算、一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）将a=-2，b=3代入规定的新运算中即可求值． （2）将和-3代入到新运算中化简后得到，再令，解方程即可得到a的值． 【详解】（1）根据题意得， ． （2）根据题意得， 所以，解得． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次方程等知识，能够按照规定的新运算正确代入求值及化简是解题关键． 14．对任意有理数，定义一种运算“”：． (1)计算的结果为______； (2)计算的值； (3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2)22 (3)定义的新运算“”对交换律成立 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义下实数运算． （1）按照给定的新定义运算计算即可； （2）先按照新定义运算计算 ，再将其结果与计算即可求出结果； （3）按新定义分别运算和即可说明理由． 【详解】（1）解： （2） ； （3）∵，， ∴， 定义的新运算“”对交换律成立． 15．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、化简绝对值、实数的混合运算、求一个数的算术平方根 【分析】利用立方根、算术平方根、绝对值的定义求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、算术平方根、绝对值，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 16．计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算、化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值的意义，进行计算即可． 【详解】解： ， ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握立方根定义，算术平方根定义，绝对值的意义，准确计算． 17．第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是表示的举办年份．注： (1)八进制数换算成十进制数是___________； (2)张同学设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)174 (2)7 【知识点】求一个数的平方根、含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算 【分析】（1）按照题目所给方法计算即可； （2）由题意可以得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得八进制数换算成十进制数是： ； 故答案为：174． （2）解：由题意可得： ，即， 即， 或不合题意，舍去即． 【点睛】本题主要考查新定义下的有理数的乘方运算，根据题目所给定义和规律对题目提供的特殊问题进行讨论和解决是解决此类问题的主要思路． 18．阅读理解题： 形如的数（均为实数，）叫做复数．其中的叫做它的实部，叫做它的虚部，叫做虚数单位，并规定：①的平方等于，即；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如： ， ． 请类比完成以下任务： (1)填空：___________，____________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】整式四则混合运算、计算多项式乘多项式、新定义下的实数运算 【分析】(1)的平方等于即可求得和； (2)根据复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算即可求得； (3)根据的平方等于，即总结规律即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方等于，即， ∴，， （2）解： ， ∵， ∴， （3）解：∵…… ∴的结果依次按，…四次一循环的规律出现， ∵ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了利用新定义解决数字运算规律的能力，根据新定义进行计算归纳是解题的关键． 19．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、实数的混合运算 【分析】原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值． 【详解】解：原式＝5−3− 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解本题的关键． 20．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． 先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式                 ． 21．计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】分别化简各项，再作加减法． 【详解】解： = = 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 22．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】利用算术平方根，立方根的概念和绝对值的意义进行化简，然后再计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根和立方根的概念，理解绝对值的意义是解题关键． 23．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、利用二次根式的性质化简 【详解】解：原式 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、化简绝对值、求一个数的立方根 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解； （2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键． 25．计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】（1）先算开方，乘方，化简绝对值，再算加减法； （2）先将系数化为1，再利用立方根的定义求解； （3）移项，系数化为1，再开方求解． 【详解】（1）解： ； （2）， ∴， 解得：； （3）， ∴， ∴， ∴， 解得：或． 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 26．计算：． 【答案】 【知识点】绝对值的意义、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】先根据数的开方法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数加减运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题涉及二次根式的化简、三次根式的化简、绝对值化简、实数的加减运算4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 27．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】（1）根据立方根定义、平方根的性质、绝对值的意义等计算即可； （2）根据立方根、算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解： = =2； （2）解： = =． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根、算术平方根的定义等是解题的关键． 28．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、化简绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】（1）先分别求解算术平方根、立方根，然后进行乘除运算，最后进行减法运算即可； （2）先分别求解立方根，乘方，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，乘方，绝对值，实数的混合运算．解题的关键在于正确的运算． 29．阅读材料，对于任何数，我们规定符号 的意义是： =ad﹣bc，例如： =1×4﹣2×3=﹣2． （1）按照这个规定，请你计算 的值． （2）按照这个规定，当 =5时，求x的值． 【答案】（1）8；（2）x=0.5． 【知识点】新定义下的实数运算 【详解】试题分析：（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义化简，合并得到最简结果，利用方程求出x值． 试题解析：（1）根据题中的新定义得：原式=5×4﹣2×6=20﹣12=8； （2）已知等式变形得： 解得：x=0.5． 30．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用平方根解方程、化简绝对值、实数的混合运算 【分析】（1）先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方根的意义可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 根据平方根的意义，可得， 即或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值、实数运算、平方根的意义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 31．计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)2 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）利用乘方法则，算术平方根以及立方根的定义求解即可； （2）先计算乘方、绝对值、开平方运算，然后计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】运用算术平方根、立方根、绝对值的定义进行混合运算即可得出答案． 【详解】原式， ， ． 【点睛】此题考查了算术平方根、立方根、绝对值的相关运算，准确运用知识计算是解题的关键． 33．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且）在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：，例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解．所以 (1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，那么对任意一个完全平方数，__________． (2)如果一个两位正整数，（，且，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、列代数式、新定义下的实数运算 【分析】(1)对任意一个完全平方数m，设m=n2(n为正整数)，找出m的最佳分解，确定出F(m)的值即可； (2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出“吉祥数”，再利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可． 【详解】（1）解：对任意一个完全平方数，设m=n2(n为正整数)， ∵|n-n|=0， ∴是m的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数，总有， 故答案为：1； （2）解：设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为， 则， 根据题意得：， 故y=x+6， ∵，且，为自然数， ∴“吉祥数”有：17，28，39， ∴，，，， 故“吉祥数”中，的最大值为． 【点睛】本题考查了新定义及因式分解的应用，弄清题中“最佳分解”及“吉祥数”的定义是解本题的关键． 34．若，，且a>b，求的值． 【答案】a+b=3或1． 【知识点】绝对值的意义、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出a、b，再根据a＞b判断出a、b的对应情况，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵a2=4，|b|=1， ∴a=±2，b=±1， ∵a＞b， ∴a=2，b=1或a=2，b=-1， ∴a+b=2+1=3或a+b=2+(-1)=1． 或 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，代数式求值，有理数的减法，熟记运算法则并判断出a、b的对应情况是解题的关键． 35．定义：若，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数，与是关于-3的伴随数． (1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与是关于2的伴随数． (2)若a与是关于3的伴随数，与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求 的值. (3)现有与(k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值． 【答案】(1)2023， (2)8 (3) 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、已知式子的值，求代数式的值、整式四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】(1)根据定义即可求得； (2)根据题意可得，，，由原式可得，据此即可求得； (3)首先求得，再根据题意可知的值与x无关，，即可求得k的值，据此即可解答． 【详解】（1）解：根据定义得：， ， 故2022与2023是关于-1的伴随数，与是关于2的伴随数， 故答案为：2023，； （2）解：由定义知，，，， （3）解： 与(k为常数)始终是数n的伴随数， ， 的值与x无关， ，解得， 即． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的混合运算，代数式求值问题，根据不含某项求参数，求得k的值是解决本题的关键． 36．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)请求出的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 37．计算或求x值 (1). (2). 【答案】（1）3+；（2）. 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算 【分析】（1）根据实数的运算法则及运算顺序依次计算即可；（2）根据平方根的定义解方程即可. 【详解】（1）原式=-1-2++9-3=3+； （2）， ， ， . 【点睛】本题考查了实数的混合运算及利用平方根解方程，熟练运用实数的运算法则及平方根的定义是解决问题的关键. 38．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据平方根的定义，解方程，即可求解； （2）根据算术平方根的定义，即可求解． （3）根据实数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解： （3）解：． 【点睛】本题考查了平方根的定义，算术平方根，实数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中、为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)2； (2) 【知识点】构造二元一次方程组求解、新定义下的实数运算 【分析】（1）由a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，再根据题意可知a-2=0且b+3=0，计算得出答案； （2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0得出二元一次方程组，求出解即可． 【详解】（1）由题意得： ，， ，， 故答案为：2；； （2）， ， ， ∴， 解得，， ， 的平方根是． 【点睛】本题考查了实数的运算，还涉及到解二元一次方程组，正确理解题意，熟练掌握运算法则是关键． 40．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的x为81时．输出的y值是_________； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值； (3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值． 【答案】(1)； (2)，1； (3)，（答案不唯一） 【知识点】程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 41．定义新运算：，如． (1)求：的值． (2)计算： ． 【答案】(1) (2)x＜0时，；x＞0时， 【知识点】整式四则混合运算、新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据，运用计算，得到； （2）当时，，运用计算，得到； 当时，，运用计算，得到． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）当时，，， 当时，，． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，熟练掌握新定义计算方法，整式的混合运算顺序和运算法则，是解决此类问题的关键． 42．若定义一种新运算“”：,如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】（1）根据新定义代入求解即可得到答案； （2）根据新定义代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【点睛】本题考查新定义，解题的关键是读懂新定义． 43．计算：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】先根据绝对值、平方根及立方根的性质进行化简，再进行加减即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握绝对值、平方根及立方根的性质． 44．计算： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】先算平方根、立方根、乘方和绝对值，再加减． 【详解】解：， =， =． 【点睛】本题考查了乘方、立方根、平方根和绝对值的混合运算，解题的关键是熟练应用相关法则，准确进行运算． 45．（1）计算： （2）求下列式中的值： ①     ② 【答案】（1）（2）①②或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、实数的混合运算、绝对值方程、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根解方程，解绝对值方程： （1）先进行开方、开立方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）①利用立方根解方程即可；②分两种情况，去绝对值，解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）①， ∴， ∴， ∴， ∴； ②， 当，即：时，，解得：， 当，即：时，，解得：； 综上：或． 46．已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值． 【答案】2 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】先根据求出a的值，然后代入计算即可. 【详解】解：∵ ∴当≥0时，原式＝＋＋＝0，解得＝0, ｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2. 当＜0时，原式＝－＋＝0，解得＝0， ｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2. 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根的定义，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键. 47．若一个三位数m＝（其中x，y，z不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差数M（537）＝753﹣357＝396 （1）若一个三位数t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），求证：M（t）能被99整除． （2）若一个三位数m，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m被4除余1，求所有符合条件的M（m）的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）297 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】（1）直接表示出重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，然后求差，提公因式即可证明． （2）根据题意写出满足条件的三位数m，再根据定义求出所有符合条件的M（m）的最小值． 【详解】（1）设三位数t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），则 最大数＝100b＋10a＋c， 最小数＝100c＋10a＋b， M（）＝（100b＋10a＋c）﹣（100c＋10a＋b）＝99b﹣99c＝99（b﹣c）． ∴M（t）能被99整除； （2）满足条件的三位数m有325，729， M（325）＝532﹣235＝297， M（729）＝972﹣279＝693． 故所有符合条件的M（m）的最小值为297． 【点睛】本题考查了新定义问题，对这类问题，关键要弄清楚新定义的含义． 48．在已有运算的基础上定义一种新运算：，的运算级别高于加减乘除运算，即的运算顺序要优先于运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算： ； （2）若，则 ； （3）在数轴上，数的位置如下图所示，试化简：；    （4）如图所示，在数轴上，点分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点向正方向运动，点向负方向运动，秒后点分别运动到表示数和的点所在的位置，当时，求的值．    【答案】（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x；（4）t1=3；t2= 【知识点】新定义下的实数运算、绝对值方程、化简绝对值、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果； （3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x、y的取值范围进行化简即可； （4）根据A、B在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数和，再根据（2）的解题思路即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）依题意得：， 化简得：， 所以或， 解得：x=5或x=1； （3）由数轴可知：0<x<1，y<0， 所以 = = = （4）依题意得：数a=−1+t，b=3−t； 因为， 所以， 化简得：， 解得：t=3或t=， 所以当时，的值为3或． 【点睛】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键． 49．观察下列等式： ，，…… （1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______． （2）直接写出下面算式的结果：____________； 以下两小题，需写出解答过程： （3）计算： （4）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】（1）观察题干中所给的式子可得结果； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果； （4）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）由题意可得： =； （2）由题意可得： = = =； （3） = = =； （4） = = = = = = 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，数字型规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$