1.2集合间的基本关系（讲义）-2026届高三体育单招数学一轮复习

1.2集合间的基本关系（讲义） 目录 1 知识点01集合与集合的关系 2 2 知识点02真子集 2 3 知识点03空集 2 4 题型一、子集、真子集、非空真子集的个数 3 5 题型二、集合间的包含关系 4 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作：A⊆B(或B⊇A) 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等，即A是B的子集，B也是A的子集 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点02真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 图示： 知识点03空集 空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论： （1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （2）若则 （3）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，非空真子集的个数为，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一、子集、真子集、非空真子集的个数 1．一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 2．已知集合，则集合有几个子集，几个非空真子集（   ） A．8；7 B．16；14 C．8；6 D．16；15 3．已知集合，则的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 6．已知集合，则集合的非空子集个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的子集的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 8．集合的真子集的个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 9．已知，则集合M的真子集的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 10．集合的子集个数为（   ） A． B． C． D． 11．已知集合，则集合的非空子集个数共有（ ） A．3 B．7 C．8 D．15 12．集合的真子集的个数是（ ） A． B． C． D． 13．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 14．已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　） A．3 B．4 C．8 D．7 题型二、集合间的包含关系 1．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D．A 3．设集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果集合，那么（    ） A． B． C． D． 5．下列各式，①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 9．在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 12．下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． $$1.2集合间的基本关系（讲义） 目录 1 知识点01集合与集合的关系 2 2 知识点02真子集 2 3 知识点03空集 2 4 题型一、子集、真子集、非空真子集的个数 3 5 题型二、集合间的包含关系 4 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作：A⊆B(或B⊇A) 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等，即A是B的子集，B也是A的子集 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点02真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 图示： 知识点03空集 空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论： （1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （2）若则 （3）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，非空真子集的个数为，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一、子集、真子集、非空真子集的个数 1．一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用集合子集个数的公式计算作答. 【详解】有5个元素的集合的子集个数为. 故选：C 2．已知集合，则集合有几个子集，几个非空真子集（   ） A．8；7 B．16；14 C．8；6 D．16；15 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合中元素个数直接求出子集及非空真子集个数即可. 【详解】集合中有4个元素， 所以集合有个子集，有个非空真子集. 故选：B 3．已知集合，则的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集个数的计算公式，计算出集合的子集个数. 【详解】因为集合，所以集合的子集个数为个. 故选：D. 4．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个计算可得. 【详解】集合含有个元素， 所以集合的真子集有个. 故选：C 5．若集合 则的真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．25 D．24 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可. 【详解】集合共有5个元素， 所以集合共有个真子集. 故选：B 6．已知集合，则集合的非空子集个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集的概念写出集合的所有子集，再去掉空集可得答案. 【详解】集合所有子集为：，，，，，，，， 其中非空子集为：，，，，，，，共7个. 故选：A 7．集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的子集的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的描述法，列举出集合中的元素，由子集个数即可求解. 【详解】∵x∈N，n∈N， ∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}． ∴其子集的个数是23=8． 故选：B 【点睛】本题考查了求子集的个数，列举法表示集合，属于基础题. 8．集合的真子集的个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解. 【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是． 故选：A. 9．已知，则集合M的真子集的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集. 【详解】依题意，， 所以集合有个元素，真子集的个数为个. 故选：C 10．集合的子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合，再由子集定义求其个数即得. 【详解】由题意得，则集合的子集个数为. 故选：B. 11．已知集合，则集合的非空子集个数共有（ ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用列举法表示集合，确定集合中元素的个数，进而可求得集合的非空子集个数. 【详解】，集合中共个元素， 因此，集合的非空子集个数是. 故选：B 12．集合的真子集的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据题意求得集合，再根据集合真子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】∵集合， ∴集合，则集合的真子集的个数是. 故选：D. 13．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、常用数集或数集关系应用 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 14．已知集合，则集合A的真子集的个数为（　　） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式化简集合，再求出其真子集个数. 【详解】集合 所以集合A的真子集的个数为. 故选：D 题型二、集合间的包含关系 1．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D．A 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、判断两个集合的包含关系 【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误. 【详解】由题可得，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 3．设集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，即得：. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的分析能力，属于基础题. 4．如果集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，即可判断选项. 【详解】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系可知， ，，或，其中只有D正确. 故选：D 5．下列各式，①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的包含关系，即得解. 【详解】由于①；②；③；④；⑤，因此其中错误的有2个. 故选：B 【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合之间的包含关系，考查了学生的概念理解能力，属于基础题. 6．给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据常见数集的符号表示，结合属于关系与包含关系的定义、空集的性质进行判断即可. 【详解】因为是实数，所以①正确； 因为所以的整数都是有理数，所以，因此②不正确； 因为空集中没有元素，所以③不正确； 因为空集是任何集合的子集，所以④正确， 因此正确的个数为， 故选：B 7．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 8．已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 9．在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可. 【详解】由，可得，又，所以 故选：B 10．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】首先列举法表示集合，再判断选项. 【详解】由条件可知，，根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系， 可知，. 故选：C 11．若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的包含关系写出集合，即可得答案. 【详解】由，则或. 故选：A 12．下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解. 【详解】对于正确；对于中无任何元素，而有一个元素错误； 对于C，，C正确；对于D，数对满足，则D正确. 故选：B $$