课时达标检测(9) 等比数列的前n项和公式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(九) 等比数列的前n项和公式 基础达标 一、单项选择题 1.在等比数列{an}中,a3=,其前3项的和S3=,则数列{an}的公比q= ( ) A.- B. C.-或1 D.或1 解析　由题意,可得a1q2=,a1+a1q+a1q2=,两式相除,得=3,解得q=-或q=1。 C 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2+a5=0,则等于 ( ) A.11 B.5 C.-8 D.-11 解析　设{an}的公比为q。因为8a2+a5=0,所以8a2+a2·q3=0,所以a2(8+q3)=0。因为a2≠0,所以q3=-8,所以q=-2。所以=====-11。故选D。 D 3.在等比数列{an}中,已知a4=8a1,且a1,a2+1,a3成等差数列,则{an}的前5项和为 ( ) A.31 B.62 C.64 D.128 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为a4=8a1,所以a1q3=8a1,a1≠0,解得q=2,又a1,a2+1,a3成等差数列,所以2(a2+1)=a1+a3,所以2(2a1+1)=a1(1+22),解得a1=2,所以{an}的前5项和为2×=62。 B 4.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于 ( ) A.-2 B.-1 C. D. 解析　由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=,将q=代入S2=3a2+2中,得a1+a1=3×a1+2,解得a1=-1。故选B。 B 5.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 ( ) A.190 B.191 C.192 D.193 解析　设最下面一层灯的盏数为a1,则公比q=,n=7,由=381,解得a1=192。 C 6.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于 ( ) A.8 B.12 C.16 D.24 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15= q15(a1+a2+a3+ a4+a5)= q15S5=23×2=16。 C 二、多项选择题 7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则 ( ) A.数列{an}的公比为2 B.数列{an}的公比为8 C.=8 D.=9 解析　因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,所以=q3=8,解得q=2,所以==1+q3=9,故选AD。 AD 8.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=1,++=,则 ( ) A.{an}必是递减数列 　B.S5= C.公比q=4或 　D.a1=4或 解析　设等比数列{an}的公比为q,则q>0,因为a1a5==1,a3=a1q2=1,所以+ += 1++=1+=1+a1+a5=a1+1+=,解得或当a1=4,q=时,S5==,数列{an}是递减数列;当a1=,q=2时,S5=,数列{an}是递增数列。综上,S5=。故选BD。 BD 三、填空题 9.已知正项等比数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn(n∈N*),且-=,则S4=_____ 。  解析　正项等比数列{an}中,a1=1,且-=,所以1-=,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),所以S4==15。 15 10.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=______ 。  解析　设{an}的公比为q,则奇数项构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,偶数项之和与奇数项之和分别为S偶,S奇,由题意S偶+S奇=3S奇,即S偶=2S奇,因为数列{an}的项数为偶数,所以q==2。 2 11.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项的和为____ 。  解析　由=q,q=2,得=2⇒a2+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450。 450 四、解答题 12.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列。 (1)求数列{an}的公比q; (2)若a1-a3=3,求Sn。 解　(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0。又q≠0,从而q=-。 (2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4。从而Sn==。 13.设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项。 (1)求{an}的公比; (2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和。 解　(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2。所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2。故{an}的公比为-2。 (2)记Sn为{nan}的前n项和。由(1)及题设可得,an=(-2)n-1。所以Sn=1+2×(-2)+… + n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n。两式相减可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n。所以Sn=-。 素养提升 14.{an}中,a1=2,am+n=aman。若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　令m=1,则由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=qk(a1+a2+…+a10) =2k×= 2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1),解得k=4,故选C。 C 15.已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+r,则a3-r=______,数列的最大项是第k项,则k=______ 。  解析　等比数列前n项和公式具有特征:Sn=aqn-a,据此可知r=-1,则Sn=3n-1,a3= S3-S2=(33-1)-(32-1)=18,a3-r=19。令bn=n(n+4),则=·,由=·>1可得n2<10,由=·<1可得n2>10,据此可得,数列中的项满足b1<b2<b3<b4,且b4>b5>b6>b7>…,则k=4。 19 4 16.已知数列{an}中,a1=1,anan+1=。 (1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列; (2)若数列{an}的前2n项和为T2n,令bn=(3-T2n)n(n+1),求数列{bn}的最大项。 解　(1)证明:数列{an}中,a1=1,anan+1=,所以an+1an+2=,所以=。因为a1=1,所以a2=,故数列{a2n-1}是以1为首项,为公比的等比数列;数列{a2n}是以为首项,为公比的等比数列。 (2)由(1),得T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-,所以bn=(3-T2n)·n(n+1)=3n(n+1),所以bn+1-bn=3(n+1)=3(n+1)(2-n),所以b3=b2>b1,且b3>b4>b5>…,故数列{bn}的最大项是b2=b3=。 $$