课时达标检测(6) 等差数列前n项和的性质及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(六) 等差数列前n项和的性质及应用 基础达标 一、单项选择题 1.已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,且前n项和为200,则n= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析　依题意,a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,所以a1+an=40,所以Sn=200=·n=20n,解得n=10。 B 2.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是 ( ) A., B.,1 C.1, D.,2 解析　设等差数列为{an},首项为a1,公差为d,由S偶-S奇=5d=15-=,得d=。再由S10=10a1+×=15+,得a1=。 A 3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则 ( ) A.S6<S5 B.S4=S5 C.S4<S5 D.S6=S5 解析　由条件知解得所以an=2n-10,所以n=5时,a5=0,所以S4=S5。 B 4.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,前n项和为Sn,则数列的前10项和为 ( ) A.120 B.100 C.75 D.70 解析　由题意,得Sn==n(n+2),所以=n+2,所以数列是首项为3,公差为1的等差数列,数列的前10项和为10×3+×1=75。 C 5.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 016=S2 023,Sk=S2 014,则正整数k为 ( ) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2 016= S2 023,Sk=S2 014,可得=,解得k=2 025。 D 6.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2 022+a2 023>0,a2 022·a2 023<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( ) A.4 043 B.4 044 C.4 045 D.4 046 解析　因为a1+a4 044=a2 022+a2 023>0,所以S4 044>0。又因为a1>0,a2 022+a2 023>0,a2 022·a2 023<0,所以a2 023<0,所以S4 045=4 045·a2 023<0。故选B。 B 二、多项选择题 7.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题正确的是 ( ) A.若d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,对任意n∈N*,均有Sn>0 D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 解析　由题意,得Sn=na1+n(n-1)d=n2+n。由二次函数的性质知Sn有最大值时,则d<0,故A,B正确;因为{Sn}为递增数列,则d>0,不妨设a1=-1,d=2,显然{Sn}是递增数列,但S1=-1<0,故C错误;对任意n∈N*,Sn均大于0时,a1>0,d>0,{Sn}必是递增数列,D正确。 ABD 8.等差数列{an}中,若S6<S7,且S7>S8,则下列结论正确的是 ( ) A.a1>0 B.S9<S6 C.a7最大 D.(Sn)max=S7 解析　等差数列{an}中,若S6<S7且S7>S8,则a7>0,a8<0,故d<0。a1=a7-6d>0,A正确; S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,故S9<S6,B正确;因为a6>a7,故C错误;因为a7>0,a8<0,故(Sn)max=S7,D正确。故选ABD。 ABD 三、填空题 9.已知数列{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取到最大值的n=_____。  解析　设等差数列{an}的公差为d,由题意得故d=a4-a3=-2, an=a3+(n-3)d =7-2(n-3)=13-2n。令an>0,得n<6.5。所以在等差数列{an}中,其前6项均为正,其他各项均为负,于是使Sn取到最大值的n的值为6。 6 10.已知在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,已知S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=_____。  解析　因为S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,所以S9-S6=5。 5 11.某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫,假设该厂第一年需投入运营成本3万元,从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元,该厂每年可以收入20万元,若该厂n(n∈N*)年后,年平均盈利额达到最大值,则n等于____。(盈利额=总收入-总成本)  解析　设每年的运营成本为数列{an},依题意该数列为等差数列,且a1=3,d=2。所以n年后总运营成本Sn=n2+2n,因此,年平均盈利额为=-n-+18≤-2+18=10,当且仅当n=4时取等号。 4 四、解答题 12.在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn。求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值。 解　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,因为a16+a17+a18=3a17=-36,所以a17=-12,所以d==3,所以an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60,令得20≤n≤21,所以S20=S21=-630,所以当n=20或21时,Sn取最小值为-630。 13.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线。经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时。从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线? 解　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25。由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-。25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25= 25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480。因为500>480,所以在24小时内能构筑成第二道防线。 素养提升 14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=,则等于 ( ) A. B. C. D. 解析　由等差数列的性质,知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,设S3=k,S6=4k(k≠0),则S9=3S6-3S3=9k,S12=3S9-3S6+S3=16k,所以=。 C 15.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则公差d的取 值范围是__________。  解析　由题意,当且仅当n=8时,Sn有最大值,可知即解得-1<d<-。   16.已知等差数列{an}满足a1+a3=8,a4-a2=4。 (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)记数列的前n项和为Tn,若Tn>,求n的最小值。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d。依题意有解得所以an=2n,Sn=n2+n。 (2)因为==-,所以Tn=++…+=++…+=1-。因为Tn>,即1->,所以n>99。所以n的最小值为100。 $$