4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学命题叫“宝塔装灯”,内容为:“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗,可以得出塔的顶层有3盏灯,你知道是怎样算出来的吗? 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题。 实际应用中的等比数列求和 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤如下: ①构建数列模型; ②由题设确定数列为等比数列,并求公比q,或建立数列递推关系,并化归为等比数列,求出公比q; ③利用等比数列前n项和公式进行计算。 微思考 1.日常生活中数列求和有许多应用,比如银行的存款、贷款业务,那么复利与单利有什么区别呢? 提示:复利是把上一期的本金和利息都作为下一期的本金计算,即“利滚利”,而单利只是把上一期本金也作为下一期的本金计算,不是“利滚利”。 2.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。问几何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的。问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,试写出Sn的表达式。 提示:由题意可知,大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,2为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2n-1,小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2-n-1,所以Sn=2n-1+2-n-1=2n-n-1+1。 类型一 几何图形中的求和问题 　　【例1】　如图所示,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后再作 新三角形的内切圆。如此下去,前n个内切圆的面积和为____________。   π 解析　设第n个正三角形的内切圆的半径为an,因为从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的,每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的,所以a1=atan 30°=a,a2=a1,…,an=an-1,所以数列{an}是以a为首项,为公比的等比数列,所以an=×a,设前n个内切圆的面积为Sn,则Sn=π(++…+)=π=π1+++…+=×π=π=π。 此类几何问题可以转化为等比数列模型,利用等比数列的有关知识解决,要注意步骤的规范性。 【变式训练】　如图,画一个边长为2的正三角形,再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形,…,依此类推,一共画了5个正三角形。那么这五个正三角形的面积之和等于 ( ) A.2 B. C. D. D 解析　此五个正三角形的边长an形成等比数列:2,1,,,。所以这五个正三角形的面积之和=×=×=。 类型二 生活实践中的求和问题 　　【例2】　若某地区2019年人口总数为45万,实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从2020年开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.5万人,从2030年开始到2039年年底每年人口为上一年的99%。 (1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注:2020年为第1年); (2)若实施新政策后,从2020年到2039年年底平均每年的人口总数超过49万,则需调整政策,否则无须调整。试判断到2039年年底是否需要调整政策。(0.9910≈0.9) 解　(1)当1≤n≤10时,数列{an}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,所以an=45.5+ 0.5×(n-1)=45+0.5n;当11≤n≤20时,数列{an}是公比为0.99的等比数列,又a10=50,所以an=50×0.99n-10。故实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an= (2)设Sn为数列{an}的前n项和,结合(1)知,S20=S10+(a11+a12+…+a20)= 10×45.5+ ×0.5+=477.5+4 950×(1-0.9910)≈972.5,因为≈48.625<49,故到2039年年底不需要调整政策。 本题注意:①数列项数的确定,特别是涉及年份的问题,要能正确确认起始年份;②正确判断问题是求数列的第n项,还是求数列的前n项和。 【变式训练】　某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个死去1个,2小时后分裂成6个死去1个,3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活的个数是_____。  解析　设每个小时后细胞的存活数构成数列{an},则a1=2×2-1=3,a2= 2×3-1= 5,a3=2×5-1=9,…。由此得,an=2an-1-1(n≥2),an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}为等比数列,且公比为2,所以an-1=2n,所以a6-1=26=64,a6=64+1=65。所以6小时后细胞存活的个数为65。 65 类型三 递推数列型应用题 　　【例3】　某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,则经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg 2≈0.3) 解　设该项目逐年的项目资金数依次为a1,a2,a3,…,an。则由已知an+1=an(1+25%)-200(n∈N*)。即an+1=an-200,即an+1-800=(an-800)(n∈N*)。故数列{an-800}是以a1-800为首项,为公比的等比数列。因为a1=1 000(1+25%)-200=1 050,所以a1-800=250,所以an-800=250,所以an=800+250(n∈N*)。由题意an≥4 000,所以800+250≥4 000,即≥16。两边取常用对数,得nlg≥lg 16,即n(1-3lg 2)≥4lg 2。因为lg 2≈0.3,所以0.1n≥1.2,所以n≥12。即经过12年后,该项目资金可以达到或超过翻两番的目标。 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的递推关系式,那么我们就可以用递推数列的知识求解问题。 【变式训练】　某地区位于沙漠边缘,人与沙漠进行长期不懈的斗争,到2018年底全地区的绿化率已达到30%,从2019年开始,每年将出现以下变化:原有沙漠面积的16%将栽上树,被改造为绿洲,同时,原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠。 (1)设全区面积为1,2018年底绿洲的面积为a1=,经过1年(指2019年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:数列为等比数列; (2)问:至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)。 解　(1)证明:因为2018年底绿洲面积为a1=,所以2018年底的沙漠面积为1-a1=,经过n-1年后绿洲面积为an,沙漠面积为1-an,由题意得,再过一年,即经过n年后,绿洲面积为an+1=(1-an)×16%+an(1-4%),即an+1=an+。所以an+1-=。又因为a1-=-=-,所以数列是以为公比,-为首项的等比数列。 (2)由(1),知an-=×,所以an=-·。设经过n年的努力可使全区的绿洲面积超过60%,即an+1>60%。所以-·>,所以<。验证当n=1,2,3,4时,>。当n=5时,=<,故至少经过5年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%。 1.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ( ) A.- B. C.- D. 解析　因为S3=a2+10a1=a1+a2+a3,所以9a1=a3,根据等比数列的通项公式有a3=a1q2,可得q2=9,又因为a5=a1q4=9,所以a1=。 D 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为 ( ) A.2 B.3 C. D. 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以S1+3S3=2×2S2,所以a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2),所以3a3=a2,解得q=。 D 3.《庄子·天下》中记述了一个著名命题:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”反映这个命题本质的式子是 ( ) A.1+++…+=2- B.1+++…++…<2 C.++…+=1 D.++…++…<1 解析　据已知可得每次截取的长度构成一个以为首项,以为公比的等比数列,因为++…+=1-<1。故反映这个命题本质的式子是++…++…<1。 D 4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(n∈N*)为______ 。  解析　记第n天植树的棵数为an,则数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列。所以Sn==3n-1≥100,解得n≥5。故需要的最少天数n为5。 5 5.已知数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(n∈N*)。 (1)求a2及an; (2)若Sn满足>,求n的值。 解　(1)由2an+1+Sn=3,得2a2+a1=3。因为a1=,所以a2=。由2an+1+Sn=3,2an+Sn-1=3(n≥2),得=(n≥2)。又=,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列。故an=·n-1= 3·n(n∈N*)。 (2)由(1)可得Sn==31-n,所以S2n=31-2n。因此=1+n。令1+n>,得n>,即2n<63,n≤5且n∈N*。故n的值可以为1,2,3,4,5。 $$