4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.2　第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题。 1.会利用等差数列的性质简化求和运算。 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 3.会利用等差数列前n项和解决一些实际问题。 1.等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为。 (2)若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为________。 (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=。 m2d 最大 2.等差数列前n项和及其最值 (1)前n项和公式:Sn=na1+d=n2+n。 (2)等差数列前n项和的最值。 ①在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有_______值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定;当a1<0,d>0时,Sn有_______值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定。 ②因为Sn=n2+n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有_______值;当d<0时,Sn有_______值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值。 最大 最小 最小 微思考 1.在等差数列{an}中,当a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值? 2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值? 提示:当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值;当a1<0,d<0时,Sn的最大值为a1,无最小值。 提示:因为an=2n-37,an+1-an=2>0,所以{an}为递增数列。由an=2n-37≥0,得n≥18.5。所以a18<0,a19>0,所以S18最小,即当n=18时,Sn取得最小值。 类型一 等差数列前n项和的性质应用 　　【例1】　(1)等差数列前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前3n项的和为 ( ) A.130 B.170 C.210 D.260 解析　由等差数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,得Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),即30+(S3n-100)=2×(100-30),解得S3n=210。 C (2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于 ______。  解析　因为等差数列共有2n+1项,所以S奇-S偶=an+1=,即132-120=,解得n=10。 10 (3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=______。  解析　由等差数列前n项和的性质,知=====。   等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解。 (2)待定系数法:利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算。 (3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解。 【变式训练】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S18等于 ( ) A.36 B.18 C.72 D.9 解析　由S3,S6-S3,…,S18-S15成等差数列,知S18=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+… +(S18-S15) ==36。 A (2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn',如果=(n∈N*),则的值是 ( ) A. B. C. D. 解析　由等差数列前n项和的性质,得======。 C 类型二 等差数列前n项和的最值问题 　　【例2】　在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值。 解　解法一:因为S9=S17,a1=25,所以9×25+d=17×25+d,解得d=-2。所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169。所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法二:同解法一,求出公差d=-2。所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27。因为a1=25>0,由得又因为n∈N*,所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法三:同解法一,求出公差d=-2。因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0。由等差数列的性质,得a13+a14=0。所以a13>0,a14<0。所以当n=13时,Sn有最大值169。 解法四:同解法一,求出公差d=-2。设Sn=An2+Bn。因为S9=S17,所以二次函数对称轴为n==13,且开口方向向下,所以当n=13时,Sn取得最大值169。 求解等差数列{an}前n项和Sn的最值问题常用方法 (1)二次函数法:即先求得Sn的表达式,然后配方。若对称轴恰好为正整数,则就在该处取得最值;若对称轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时n的值有两个,有时可能为1个。 (2)不等式法: ①当a1>0,d<0时,由⇒Sm为最大值; ②当a1<0,d>0时,由⇒Sm为最小值。 　【变式训练】　已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值? 解　(1)由a1=9,a4+a7=0,得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,所以an=a1+(n-1)d=11-2n。 (2)解法一:由(1),知a1=9,d=-2,Sn=9n+×(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值。 解法二:由(1),知a1=9,d=-2<0,所以{an}是递减数列。令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤。因为n∈N*,所以n≤5时,an>0,n≥6时,an<0。所以当n=5时,Sn取得最大值。 类型三 实际应用问题 　　【例3】　某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%。若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解　设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50) ×1%=59.5,…,a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,即第10个月应付款55.5元。由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有S20=×20=1 105,即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元)。 遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点: ①抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型; ②深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n。 　【变式训练】　在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢。问:几日相逢? ( ) A.4日 B.3日 C.5日 D.6日 解析　由题意,可知良马第n日行程记为an,则数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列,驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1) =15n+82,bn=92-(n-1)=93-n。因为数列{an}的前n项和为=,数列{bn}的前n项和为=,所以+=840,整理,得14n2+364n-1 680=0,即n2+26n-120=0,解得n=4(n=-30舍去),即4日相逢。 A 等差数列综合题鉴赏 【典例】　(1)若数列{an}是等差数列,首项a1>0,公差d<0,且a2 021(a2 020+a2 021)>0,a2 022(a2 021+ a2 022)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 (　　) A.4 041 B.4 042 C.4 043 D.4 044 【解析】　由题意,得数列{an}是递减数列,由a2 021(a2 020+a2 021)>0,且a2 022(a2 021+a2 022)<0,可得a2 021>0,a2 022<0,且|a2 021|>|a2 022|,a2 021+a2 022>0,所以S4 043=4 043a2 022<0,S4 042== 4 042×=2 021(a2 021+a2 022)>0,所以使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 042。 B (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点Pn,,Qn+2,(n∈N*)的直线的斜率为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】　因为数列{an}为等差数列,所以数列也是等差数列,则数列的图象是一条直线上的一些等间隔的点,因此经过P,Q两点的直线必经过点2,与5,,故直线PQ的斜率k===2,故选C。 C 典例(1)应用了等差数列的项与前n项和的关系及“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”“Sn=”的性质进行解题。典例(2)应用了等差数列{an}的前n项和Sn的性质:是等差数列。 【变式训练】　(多选)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N*),则下列命题正确的是 ( ) A.若S3=S11,则必有S14=0 B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项 C.若S7>S8,则必有S8>S9 D.若S7>S8,则必有S6<S9 ABC 解析　根据等差数列的性质,若S3=S11,则S11-S3=4(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14= =7(a7+a8)=0,A正确;根据Sn的图象,当S3=S11时,对称轴是n==7,且d<0,那么S7是{Sn}中的最大项,B正确;若S7>S8,则a8<0,且d<0,所以a9<0,所以S9-S8<0,即S8>S9,C正确;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,D不正确。 1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a14=-8,S9=-9,则S18= ( ) A.-162 B.-1 C.3 D.-81 解析　根据题意,在等差数列{an}中,S9==9a5=-9,解得a5=-1,又由a14=-8,则S18===-81。 D 2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　由题知S偶-S奇=5d,所以d==3。 C 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为 ( ) A.84 B.108 C.144 D.156 解析　由等差数列的性质,知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以2(48-12)=12+S15-48,解得S15=108。 B 4.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为 ____ 。  解析　因为an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+ (n-1)×(-3)=22-3n。设前k项和最大,则有所以所以≤k≤。因为k∈N*,所以k=7。故满足条件的n的值为7。 7 5.(1)已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积 231,求数列{an}的通项公式。 (2)成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数。 解　(1)由于数列{an}为等差数列,因此可设前三项分别为a-d,a,a+d,由题意得即解得或由于数列{an}为递增数列,因此从而an=4n-1。 (2)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题意知解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2。 $$