专题10 一次函数中含参数问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题10 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 10 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）若是一次函数，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了学生对一次函数的定义的理解及掌握情况，一次函数的未知数的次数是1，同时系数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）函数是一次函数，则常数m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】形如（k、b为常数，）的函数叫做一次函数，由此得出，，即可求得m的值． 本题考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数的定义求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的性质．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【答案】（或） 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·山西运城·期末）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据、的取值判断一次函数图象，即可解题． 【详解】解：中， 一次函数图象必过二、四象限， ， 一次函数与轴交于负半轴， 函数图像大致是 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，分别假设，，逐个图象分析，判断两条直线中k，b的正负是否一致即可． 【详解】解：A、假设，则过一、二、三象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，，两结论相矛盾，故本选项错误； B、假设，则过一、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，两结论相矛盾，故本选项错误； C、假设，过二、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，故本选项正确； D、假设，其中一条过一、二、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，两结论相矛盾，故本选项错误． 故选：C．． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数图像，解题的关键是掌握一次函数、正比例的图像与系数的关系．根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数图像分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图像可知，，，，故；正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； B、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像不满足这一关系，故此选项符合题意； C、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； D、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行直线，求的值； (2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】本题考查了两直线相交与平行，一次函数的定义与性质，熟记平行直线的解析式的k值相等是解题的关键， (1)根据互相平行的两条直线比例系数相等求出m的值即可； (2)这个函数不经过原点，排除，时，根据一次函数的性质，时，y随着x的增大而减小，常数项不等于0，求出m的取值范围． 【详解】（1）函数的图象与直线平行， ， 解得； （2）当函数的图象不经过原点， 即当时，， ∴， 这个函数是一次函数，且随着的增大而减小， ，解得． ∴且， 即 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． (1)请直接写出函数的“逆反函数”______． (2)若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 【答案】(1) (2)m值为3，n值为 【知识点】求一次函数解析式、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了新定义运算，求一次函数解析式，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）根据“逆反函数”的定义写出结果即可； （2）把分别代入和，得出m、n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：函数的“逆反函数”为； （2）解：把分别代入和中，，， 解得：，； ∴m值为3，n值为． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值； （3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 函数表达式为； （2）解：点在该函数图象上， ， ； （3）解：设点， 直线与轴交于点， 当时， 交点的坐标为， ， ， 或， 点坐标或． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）已知两个一次函数和， (1)若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． (2)直线经过的定点坐标是________． (3)当时，，求的取值范围．直接写出结果． (4)若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的交点坐标，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得m的值，再将坐标代入，求得k的值； （2）在中，令，得，即可求解； （3）将代入得，，得直线过点，将代入得，，得，再通过数形结合即可求解； （4）联立方程组求解，再列出不等式组求解即可． 【详解】（1）将代入得，，解得：， 将代入得，，解得：， （2）在中，令，得， 所以直线经过的定点坐标是， 故答案为：； （3）将代入得，， 所以直线过点， 将代入得，，得， 所以当时，，则的取值范围是且； （4）联立方程组得：， 解得：， 两个一次函数的图像交点在第一象限内， ， 解得：且， 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： ∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，再解一元一次不等式组即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一次函数，y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 4．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据题意，利用图象与性质逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：选项A中，由过原点的直线可得，由另一直线得， ∴两个函数的值一致，故A选项符合题意； 选项B中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故B选项不符合题意． 选项C中，由过原点的直线得，由另一直线得， ∴两个函数的k值矛盾，故C选项不符合题意； 选项D中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故D选项不符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知直线，下列说法不正确的是（　　） A．直线必经过点 B．直线与函数的图象至少有1个交点 C．若点在直线上，，则 D．关于的方程的解为 【答案】D 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】当时，， ∴直线l必经过点， 故A正确； ∵直线经过点，，画出大致图象如下： 由图象可知，直线l与函数的图象最少有1个交点，故B正确； ∴y随x的增大而减小， ， 故C正确； 当时， 解得： 这与相矛盾， 故D不正确 故选：D 二、填空题 6．（23-24八年级下·广东·阶段练习）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由函数图象经过第一、三象限，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，牢记的图象在一、三象限是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过原点和第一、第三象限 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如(为常数)的函数为一次函数．根据定义得：且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点，是函数图象上的两个点， ， ∴． ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据题意得出线段平行于轴，进而可表示出线段的长度，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】解：因为点坐标为，点坐标为 ， 所以线段平行于轴， 则， 因为，两点不重合， 所以，即， 当时， ， 此时随的增大而增大，故不符合题意； 当时， ， 此时随的增大而减小， 所以的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 2 【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据一次函数的图象与系数的关系得出关于的不等式组，求出的取值范围再根据是整数求出的值． （2）根据当时，直线的函数表达式为．所以随的增大而增大，再根据求出的范围． 【详解】解：（1）根据一次函数的性质，由题意可得 解得． 又因为是整数， 所以． 故答案为：2 （2）当时，直线的函数表达式为． ∵， ∴随的增大而增大， 当时，； 当时，， 故当时，的取值范围为． 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的定义求参数 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围； 此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）因为是一次函数， 所以，解得， 因为，所以； （2）将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，， 所以当时，的取值范围是． 12．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键． （1）经过原点，则且，再进一步求解即可； （2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴． 13．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与性质． （1）由一次函数随增大而减小，可知，解不等式即可得出结论； （2）先求出直线与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当函数图象经过第一、三、四象限时可得出，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】（1）解：∵随增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵时，， ∴直线与x轴的交点， 又∵一次函数与直线的交点在轴上， ∴一次函数过点， ∴， 解得：； （3）解：分两种情况考虑： 当函数图象经过第一、三、四象限时，， 解得：； 当函数图象经过第一、三象限时，， 解得：． 综上所述：的取值范围为， ∵为整数， ∴或． 15．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）当时，，根据点即可求得． 【详解】（1）解：由图象的平移可知，， 将代入得，， 解得，， ∴这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 把点代入， 得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”． (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)． 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题； （1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：的“友好函数”是， 点在一次函数的图象上， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：的“友好函数”是， 联立， 解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数中含参数问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一次函数的定义求参数 2 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8 类型五、含参数的一次函数综合问题 10 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1. 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 3.用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 压轴题型讲练 类型一、利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）若是一次函数，则的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）函数是一次函数，则常数m的值是 ． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【变式训练】 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·山西运城·期末）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A．B．C．D． 类型五、含参数的一次函数综合问题 例题：（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行直线，求的值； (2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当a，b为常数，且，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如：和为“逆反函数”． (1)请直接写出函数的“逆反函数”______． (2)若点既在函数（m，n为常数，且）的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图像上，求m，n的值． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）已知两个一次函数和， (1)若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． (2)直线经过的定点坐标是________． (3)当时，，求的取值范围．直接写出结果． (4)若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 4．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知直线，下列说法不正确的是（　　） A．直线必经过点 B．直线与函数的图象至少有1个交点 C．若点在直线上，，则 D．关于的方程的解为 二、填空题 6．（23-24八年级下·广东·阶段练习）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 8．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数， (1)求的值； (2)该一次函数当时，求的取值范围． 12．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 13．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数． (1)若随增大而减小，求的取值范围； (2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值； (3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值． 15．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”． (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$