2.1 两角和与差的三角函数（4知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

2.1 两角和与差的三角函数 课程标准 学习目标 （1）经历推导两角差余弦公式的过程, 知道两角差余弦公式的意义； （2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 （1）掌握两角和与差的余弦公式，并会灵活运用； （2）掌握两角和与差的正弦公式，并会灵活运用； （3）掌握两角和与差的正切公式，并会灵活运用。 知识点01 两角和与差的余弦公式 余弦两角和差公式： 推导如下 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以. 根据两点间的距离公式，得 化简得 而 【即学即练1】 （24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（    ） A． B．0 C． D． 知识点02 两角和与差的正弦公式 正弦两角和差公式 推导如下 【即学即练2】 （24-25高三上·宁夏银川·期末）（    ） A． B． C． D． 知识点03 两角和与差的正切公式 正切两角和差公式： 【即学即练3】 （24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知为锐角,，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 辅助角公式 辅助角公式 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 【即学即练4】 （24-25高三上·江西宜春·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型一：两角和与差的余弦公式】 例1．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式1-1．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（2025·江西景德镇·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（   ） A． B． C． D． 变式1-4．（24-25高一上·浙江温州·期末）在三角形中，内角，，满足，则角的值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 余弦两角和差公式： ； 2 在题中遇到类似的式子，可考虑利用余弦两角和差公式展开式子； 3 注意余弦两角和差公式的逆运用. 【题型二：两角和与差的正弦公式】 例2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（2025·浙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 正弦两角和差公式 ； 2 在题中遇到类似的式子，可考虑利用正弦两角和差公式展开式子； 3 注意正弦两角和差公式的逆运用. 【题型三：两角和与差的正切公式】 例3．（24-25高一上·云南昭通·期末）若中，和是关于的方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 变式3-2．（2024·江西·二模）已知，，则（    ） A．8 B． C． D． 变式3-3．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 正切两角和差公式： ； 2 在题中遇到类似的式子，可考虑利用正切两角和差公式展开式子； 3 注意正切两角和差公式的逆运用. 【题型四：利用和与差公式证明等式】 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 变式4-1．（22-23高一·全国·课堂例题）求证： (1)；(2)． 变式4-2．（2022高三·全国·专题练习）已知，，．求证： 变式4-3．（20-21高一·全国·课后作业）在中，求证： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 证明三角恒等变换的等式，可以从等式左边入手利用各公式进行推理得到等式右边，也可以同时从左右两边同时进行推导得到它们均与某式子相等即可. 【题型五：和与差公式中的角度变换】 例5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】. 注意已知角与所求角之间的关系，往往要看它们的和差是否为定值(比如、)或它们之间存在和差关系. 【题型六：辅助角公式的运用】 例6．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25高三下·湖南·开学考试）当时，函数取得最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 变式6-3．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数在上恰有2个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 辅助角公式：，其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 2 利用辅助角公式可以把化为，进而求其函数的性质会更容易. 【题型七：和与差公式的综合运用】 例7．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 变式7-1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角（）交单位圆于点A、顺时针旋转角（）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为，且的面积为，则点B的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D．1 一、单选题 1．（24-25高一上·福建三明·期末）（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4.（云南省德宏州2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一监测数学试题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·河南·开学考试）已知均为锐角，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7.（24-25高二上·浙江·期中）在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 8.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，函数，则下列四个命题中， ①的图象关于点成中心对称； ②若对，都有，则的最小值为； ③将的图象向左平移个单位，可以得到的图象； ④.使.真命题有（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 11．（24-25高三下·河南·开学考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 三、填空题 12．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知，，则的值为 . 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 14．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则的最大值是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知A、B都是锐角，且，，求. 16. （23-24高一上·上海·期末）已知，且. (1)化简并求值： ；(2)若，求. 17.（2020高一·全国·专题练习）已知中，，且将，试判断的形状. 18.（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 19. （24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 两角和与差的三角函数 课程标准 学习目标 （1）经历推导两角差余弦公式的过程, 知道两角差余弦公式的意义； （2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 （1）掌握两角和与差的余弦公式，并会灵活运用； （2）掌握两角和与差的正弦公式，并会灵活运用； （3）掌握两角和与差的正切公式，并会灵活运用。 知识点01 两角和与差的余弦公式 余弦两角和差公式： 推导如下 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以. 根据两点间的距离公式，得 化简得 而 【即学即练1】 （24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案. 【详解】. 故选：C 知识点02 两角和与差的正弦公式 正弦两角和差公式 推导如下 【即学即练2】 （24-25高三上·宁夏银川·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 , 故选：D 知识点03 两角和与差的正切公式 正切两角和差公式： 【即学即练3】 （24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知为锐角,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正切的和角公式得到，再利用商数关系和平方关系，即可求解. 【详解】由,， 则， 得到①，又为锐角，②，由①②解得， 故选：A. 知识点04 辅助角公式 辅助角公式 其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 【即学即练4】 （24-25高三上·江西宜春·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简，即可得到最大值. 【详解】由题意得，， ∴的最大值为1. 故选：A. 【题型一：两角和与差的余弦公式】 例1．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用差角余弦公式得，再应用齐次式法并化弦为切得，结合求函数值. 【详解】由，则， 所以，又为锐角，则， 所以，可得. 故选：D 变式1-1．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系得，再根据两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】∵，，所以， 则， 故选：C． 变式1-2．（2025·江西景德镇·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式得到，再利用弦化切化简原式代入即可求得结果. 【详解】 由，可得， ∴， 故选：C． 变式1-3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及差角余弦公式、三角形内角的性质得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 又为三角形的内角，则，而， 所以. 故选：B 变式1-4．（24-25高一上·浙江温州·期末）在三角形中，内角，，满足，则角的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角变换公式可得，据此可求角的值. 【详解】因为，故， 故， 故，故， 由题设有，故，而为三角形内角，故， 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 余弦两角和差公式： ； 2 在题中遇到类似的式子，可考虑利用余弦两角和差公式展开式子； 3 注意余弦两角和差公式的逆运用. 【题型二：两角和与差的正弦公式】 例2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边同时平方得到的值，结合得到，的正负情况，然后求得的值，并得到的值，然后由和差角公式展开后得到结果. 【详解】因为，所以． 又因为，所以，， 所以，即， 所以． 故选： 变式2-1．（2025·浙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式即可求得. 【详解】由 ，即，解得. 故选：. 变式2-2．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先切化弦，结合两角和差公式运算求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 变式2-3．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 1 正弦两角和差公式 ； 2 在题中遇到类似的式子，可考虑利用正弦两角和差公式展开式子； 3 注意正弦两角和差公式的逆运用. 【题型三：两角和与差的正切公式】 例3．（24-25高一上·云南昭通·期末）若中，和是关于的方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，根据诱导公式得出，即可求得角的值. 【详解】由题意，， 所以， 由，故， 又，所以. 故选：D 变式3-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合同角关系化简条件可得，再根据两角和正切公式求结论. 【详解】由，等式两边同乘可得． 移项得到，故． 所以． 故选：. 变式3-2．（2024·江西·二模）已知，，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的和角公式，可得答案. 【详解】因为，， 所以 . 故选：D. 变式3-3．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助三角恒等变换公式及同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】由， 即， 即， 即 由，则， 即， 即有，解得， 故. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 正切两角和差公式： ； 2 在题中遇到类似的式子，可考虑利用正切两角和差公式展开式子； 3 注意正切两角和差公式的逆运用. 【题型四：利用和与差公式证明等式】 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）由两角和与差的余弦公式，结合条件求证即可． 【详解】（1） ， 即； （2） ， 即． 变式4-1．（22-23高一·全国·课堂例题）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用余弦函数的和差公式进行加减运算即可得证. 【详解】（1）因为， ， 两式相加，得， 将上式两边同除以2，得． （2）因为， ， 两式相减，得． 将上式两边同除以，得． 变式4-2．（2022高三·全国·专题练习）已知，，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】对题干条件进行凑角转化，结合和差公式进行证明. 【详解】证明：由， 得， 即， ， ，， ． 变式4-3．（20-21高一·全国·课后作业）在中，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，， ，正弦的二倍角公式，由两角和差的余弦公式展开即可求证； （2）利用，，余弦的二倍角公式，由两角和差的余弦公式展开即可求证； 【详解】（1）因为，，是的内角，所以，即， 所以等式左边 右边 （2）左边 右边. 【方法技巧与总结】 证明三角恒等变换的等式，可以从等式左边入手利用各公式进行推理得到等式右边，也可以同时从左右两边同时进行推导得到它们均与某式子相等即可. 【题型五：和与差公式中的角度变换】 例5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 变式5-1．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用已知条件求出的值，然后将表示为，再运用两角和的余弦公式来求解的值. 【详解】已知，那么. 因为，根据， 可得：. 则. 把，，，代入上式可得： . 故选：B. 变式5-2．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角差的正弦公式化简即可求解. 【详解】因为，所以. 又，所以， 所以 故选：C. 变式5-3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 【方法技巧与总结】. 注意已知角与所求角之间的关系，往往要看它们的和差是否为定值(比如、)或它们之间存在和差关系. 【题型六：辅助角公式的运用】 例6．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整体代换法求得函数对称中心的横坐标，结合题设条件，得出，进而求得的最小值． 【详解】由题意，函数，又因为最小正周期为，所以，所以 令，解得 则函数的对称中心的横坐标为， 又因为，函数关于对称，函数在上单调， 所以， 当时，，即的最小值为. 故选：B. 变式6-1．（24-25高三下·湖南·开学考试）当时，函数取得最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先跟及两角和差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质即可得解. 【详解】 ， 当，即时，取得最大值， 所以的值可能为C选项. 故选：C. 变式6-2．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及辅助公式可得，再利用正弦函数的周期公式，结合正弦函数的最值即可得答案. 【详解】， 所以该函数的最小正周期为，最大值为 故选：C. 变式6-3．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数在上恰有2个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，求出函数的零点，再根据函数在上恰有2个零点列不等式，可求得ω的取值范围 【详解】 令,则 所以或 解得或 当时，或 当时，或 因为在上恰有2个零点，且， 所以且 解得 即的取值范围为 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 辅助角公式：，其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配 型，配 2 利用辅助角公式可以把化为，进而求其函数的性质会更容易. 【题型七：和与差公式的综合运用】 例7．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 变式7-1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角（）交单位圆于点A、顺时针旋转角（）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为，且的面积为，则点B的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得，，显然，利用三角形面积公式列方程得，进而得到并求，结合点B在第四象限即可得答案. 【详解】由题设，点A的纵坐标为，得，，显然， 而，即， 又，则，故，则， 所以， 又点B在第四象限，所以点B的纵坐标为. 故选：A 变式7-2．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形得， 则，又，因此， 所以. 故选：C 变式7-3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】依题意可得，再由余弦定理得到，由得到，再结合辅助角公式得到，从而求出、，结合前述推导式子求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，又，即， 所以， 所以， 所以， 因为，即， 又（其中）， 所以，则， 即， 又，即，即， 又，所以，解得， 所以，解得， 所以. 故选：B 一、单选题 1．（24-25高一上·福建三明·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C. 2.（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值. 【详解】因为，， 所以， 解得， 因此. 故选：A. 3.（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 4.（云南省德宏州2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一监测数学试题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解. 【详解】由，则， 又，， 而 . 故选：D. 5.（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角平方和为1公式和两角差正弦公式求值即可. 【详解】因为，都是锐角，所以， 又因为 所以 则 ， 故选：C. 6.（24-25高一下·河南·开学考试）已知均为锐角，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式展开并化为有关正切的关系式，再根据同角三角函数之间的关系以及基本不等式得到结果. 【详解】由题可得， 两边同时除以得， 所以， 因为均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换及最值问题，关键点如下： （1）根据两角和的正弦公式展开关系式； （2）同角三角函数之间的关系看似简单，但用的时候容易想不到，尤其是将“1”转化为平方和的形式； （3）运用基本不等式时，一定要注意“一正二定三相等”. 7.（24-25高二上·浙江·期中）在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，， 所以，所以， 又， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故选：D. 8.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，函数，则下列四个命题中， ①的图象关于点成中心对称； ②若对，都有，则的最小值为； ③将的图象向左平移个单位，可以得到的图象； ④.使.真命题有（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据函数的对称性求出，即可得到函数、的解析式，再根据正弦函数、余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】函数关于直线对称， 所以，解得，， 又，当时，所以； 所以函数， 令，解得， 当时，，所以的图象关于点成中心对称，故①正确. ②若对，都有，即，，即的最小值为，故②错误. ③将的图象向左平移个单位，得到，故③错误. ④由于 ， 当满足时，，故④正确； 故真命题为①④. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦、余弦的两角和差公式即可逐一求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确， 故选：ACD. 10．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【答案】AB 【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可. 【详解】函数， 对于选项A，，A正确； 对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确，C错误； 对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确； 故选：AB. 11．（24-25高三下·河南·开学考试）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 【答案】BCD 【分析】应用正弦定理及两角和差公式化简，再结合诱导公式得出或计算判断即可. 【详解】由题意可得 所以 由正弦定理可得 所以 即 即 等价于 所以则或即 若则c是最大边，a，b可能是最小边； 若则b是最大边，a，c可能是最小边. 综上，选项B，C，D正确. 故选： 三、填空题 12．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知，，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 【答案】7. 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解. 【详解】已知， 则， 即， 则， 则， 则. 故答案为：7. 14．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】将，运用差角公式展开，化简，得到.结合 又，代入后，得到，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为， 所以， 即，即. 又， 等号当且仅当时成立，所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知A、B都是锐角，且，，求. 【答案】 【分析】在锐角三角形中，利用同角三角函数间的关系可得的值，进一步得的值，接下来结合两角和的正切公式进一步求解即可. 【详解】∵A、B都锐角，， ∴， ∴， ∴. ∵A、B都是锐角，∴，∴. 16. （23-24高一上·上海·期末）已知，且. (1)化简并求值： ； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求出，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得； （2）求出，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以， 当时，原式. （2）因为，，所以， 所以. 17.（2020高一·全国·专题练习）已知中，，且将，试判断的形状. 【答案】等腰钝角三角形 【分析】由，利用两角和的正切公式可求得,，由三角形内角和定理得，再根据，可求的三角形的各个内角，即可得出结论. 【详解】∵，即. ∴. ∵在中，，∴， 则，将代入， 得. ∵，得，∴. 因此，为等腰钝角三角形. 18.（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据诱导公式以及辅助角公式化简，即可利用周期的计算公式求解， （2）利用整体法即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，. 19. （24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)曼哈顿距离为2，其余弦距离为 (2)①；② 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； （2）①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合两角正余弦的和差公式进行化简，得到所要求的距离即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$